三角形初步
知识梳理
1.三角形的定义
由三条不在同一直线上的线段，首尾依次相接组成的图形称为三角形.
2.三角形的分类
三角形可以按内角的大小进行分类：
(1)三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形.
(2)有一个内角是直角的三角形是直角三角形.
(3)有一个内角是钝角的三角形是钝角三角形.
3.三角形三边性质
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
4.三角形角的性质
三角形三个内角的和是 180°.
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
5.三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.如图 1 -1 所示，AD 是△ABC中的一条角平分线.
6.三角形的中线
连接三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段，叫作三角形的中线.如图1-2 所示，AE 是△ABC 中BC 边上的中线.
7.三角形的高线
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线. 如图 1-3所示,AF 是 中 BC 边上的高线.
典型例题
例 1
三角形中最大的内角不能小于( ).
A.30° B.45° C.60° D.90°
分析 三角形内角和180°，若最大角小于 60°，则三角相加小于 180°.
解 C
例2
三角形中有一边比第二条边长3厘米，这条边又比第三条边短4 厘米，这个三角形的周长为28厘米，求最短边的长.
分析 不妨设第二条边为x 厘米，则第一条边为( 厘米，第三条边为( 厘米，三边之和为28厘米，由此可以建立一个方程，求解出x的值即可.
解 设第二条边为x厘米，得
x+(x+3)+(x+7)=28
x=6
所以最短边为 6 厘米
例3
钝角三角形的高在三角形外的条数是( ).
A.0 B.1 C.2 D. 3
分析 考查学生对三角形的中线、高线、角平分线的理解.三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点，三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点，而高线则不一定.
解C
例 4
如图1-4所示,在△ABC中,AB=6,AC=8,则BC 边上中线AD 的取值范围为( ).
A.2
解 延长AD 至点E,使得AD=DE,连接BE
因为BD=CD,AD=ED,∠BDE=∠CDA
所以△ADC≌△EDB(SAS)
所以BE=AC=8
又因为AB=6
所以2
1.一个三角形最多有 个直角，最多有 个锐角，最多有有 个钝角.
2.三角形的两边分别为4和5，第三边为x，则x的取值范围是 .
3. 在△ABC中,AB=9,BC=2,并且AC 为奇数,那么△ABC 的周长是 .
4.△ABC中, 则三个内角分别为 .
5.在△ABC中,AB=2,BC=5,则
7.在△ABC 中,∠A 是∠B 的 2 倍,∠C 比∠A +∠B 还大12°,则这个三角形是 三角形.
8.小亮、小丽和小军三位同学同时测量△ABC的三边长.小亮说：“三角形的周长是11.”小丽说：“有一条边长为4.”小军说：“三条边的长度是三个不同的整数.”请你回答，三边的长度应该是 .
9.两根木棒的长分别是2厘米和3厘米，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形框架，且第三根木棒长x(厘米)是一个整数，则x是 .
10.如图1-5 所示,图中的三角形有( ).
A. 6个 B. 8个 C. 10个 D. 12个
11.如图1-6 所示,图中三角形的个数为( ).
A. 3 个 B. 4个 C. 5 个 D. 6个
12.△ABC中,三边长为a,b,c,且a>b>c,若b=8,c=3,则a的取值范围是( ).
A.3
A.3种 B. 4种 B. 5 种 D. 6 种
14.已知△ABC 的三边长a,b,c,化简|a+b-c|--|b-a-c|的结果是( ).
A.2a B. -2b C.2a+2b D.2b-2c
15.已知一个三角形三个内角度数的比是1：5：6，则其最大内角的度数为( ).
A.60° B.75° C. 90° D.120°
16.以下说法错误的是( ).
A.三角形的三条高一定在三角形内部交于一点
B.三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点
C.三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点
D.三角形的三条高可能相交于外部一点
17.若三角形的周长为17，且三边长都是正整数，那么满足条件的三角形有多少个
18.在△ABC 中,如果 那么△ABC是什么三角形
19.等腰三角形的周长为19厘米，其中一边长为4厘米，求其他各边长.
20. 如图1-7 所示,△ACB 中,∠ACB=90°,∠1=∠B.试证明 CD 是△ABC的高.
能力提升
21.如图1-8 所示,在△ABE 中,AE 所对的角是 ,在△ADE 中,AD 是 的对边,在△ADC 中,AD 是 的对边.
22.如图1-9所示，以AB 为一边的三角形共有 个.
23.如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是( ).
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
24.根据下列条件，能确定三角形形状的是( ).
(1) 最小内角是 20°;
(2) 最大内角是 100°;
(3) 最大内角是89°;
(4) 三个内角都是60°;
(5) 有两个内角都是80°.
A.(1)(2)(3)(4) B.(1)(3)(4)(5)
C.(2)(3)(4)(5) D.(1)(2)(4)(5)
25.如图1-10 所示,直线 DE 交△ABC 的边AB,AC 于 D,E,交 BC 延长线于F,若∠B=67°,∠ACB=74°,∠AED=48°,求∠BDF 的度数.
26.如图1-11所示,BD 平分. ,求∠C 的度数.
27. 如图 1-12 所示, 中,AD 是BC 上的高,AE 平分. 45°,求∠DAE 与 的度数.
28. 如图1-13所示,在等腰三角形ABC 中, ，一腰上的中线 BD 将这个等腰三角形的周长分为15 和6两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长.
29. 如图1-14 所示,AD 是 的角平分线， ,EF 交AD 于点O.DO 是 的角平分线吗 如果是，请证明；如果不是，请说明理由.
30.一个零件的形状如图 所示，按规定 应等于 应分别是 和 李叔叔量得 ，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗
拓展资源
31.已知a,b,c为△ABC的三边,化简:|a+b-c|+|b-c-a|-|c-a-b|.
32.(1)如图1-16所示,求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数.
(2) 如图1-17所示,求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数.
33. 如图1-18所示,BD,CD 分别是△ABC的两个外角∠CBE,∠BCF 的平分线,试探索∠D 与∠A 之间的数量关系.
34.如图1-19所示,BD 为 的角平分线，CD 为 的外角 的平分线，它们相交于点 D，试探索 与 之间的数量关系.
已知 中,AB长为5,BC 边上的中线AD 长为7,求 AC 的取值范围.
1.1,3,1 2.1
14. D 15. C 16. A 17.8个 18.直角三角形 19.7.5 厘米,7.5 厘米
20.解:因为∠ACB=90°,即∠1+∠DCB=90°
又因为∠1=∠B
所以∠B+∠DCB=90°
所以. ,即 CD 是△ABC的高
21.∠ABE,∠AED,∠ACD
22. 4 23. B 24. C 25.87° 26.70° 27.∠DAE=15°,∠AEC=105° 28.10,10,1
29. DO 是△DEF 的角平分线
因为 AD 是△ABC的角平分线
所以∠FAD=∠EAD
又因为DE∥AB,DF∥AC
所以∠EDA=∠FAD,∠FDA=∠EAD
所以∠EDA=∠FDA,即 DO是△DEF 的角平分线
30.延长 BC 交AD 于点E
因为∠D=20°,∠BCD=142°
所以.
又因为∠B=30°
所以 °与按规定∠A 为 90°矛盾
故不合格.
31. a-b+c
32.(1)360°;(2) 360°
33.2∠D+∠A=180°
34.∠A=2∠BDC
35. 延长AD 至点E,使得 AD=DE,连接CE
因为AE=7×2=14,CE=AB=5,所以9
