2023-2024学年辽宁省辽阳市高一下学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.在中，，则( )
A. B. C. D.
3.已知直线，及平面，，且，，下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4.已知单位向量，满足，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
D.
6.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，则该四棱锥外接球的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.已知四边形的顶点都在半径为的圆上，且经过圆的圆心，，四边形的面积为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点中心对称 D. 的最大值为
10.已知平面向量，则下列结论正确的是( )
A. 的最小值为
B. 若与的夹角为锐角，则的取值范围是
C. 一定存在一个实数，使得
D. 若，则在上的投影向量的坐标为
11.有一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图也可由正方体切割而成，如图在如图所示的“蒺藜形多面体”中，若，则( )
A. 该几何体的表面积为 B. 该几何体的体积为
C. 直线与直线所成的角为 D. 二面角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数，则 ．
13.如图，四棱台的侧棱长均相等，四边形和四边形都是正方形，，则该四棱台的体积为 ．
14.若函数在上有个零点，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
若，求；
若向量，，求与夹角的余弦值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为的中点，点在线段上，平面．
证明：；
求的值．
17.本小题分
已知函数，且．
求的 值；
求的单调递增区间；
若的值域是，求的取值范围．
18.本小题分
如图，在四棱柱中，平面平面，，，，．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
是直线外一点，点在直线上点与点任一点均不重合，我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记在中，角的对边分别是，点在射线上
若是角的 平分线，且，由点对施以视角运算，求的值；
若，由点对施以视角运算，，求的周长；
若，，由点对施以视角运算，，求的最小值．
参考答案
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15.解：因为，，所以．
由，可得，
即，解得，
所以，故．
依题意得．
因为，所以
解得，则．
，，，
所以，
所以与夹角的余弦值为．
16.解：因为，为的中点，
所以．
因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面．
因为平面，
所以．
设为的中点，连接，，如图所示，
因为，，
所以四边形是平行四边形，
所以．
因为平面，平面，
所以平面．
因为平面，平面，
所以平面平面．
因为平面，
所以平面．
因为平面平面，平面，
所以，
所以．
17.解：因为，所以，
可得，
所以，
所以．
的单调增区间为．
因为，
又因为，
所以即．
18.解：如图：在线段上取一点，使得，连接，
因为，，，所以四边为正方形，
所以，，，，
又因为，，所以，所以，
又因为，，所以，
因为，，，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为，所以，
由于且，，平面且必相交与一点，
所以平面．
由可知，，所以，
又因为平面，，所以平面，
设点到平面的距离为，与平面的夹角为，
在中，，，，
，，
所以，
而，
由可得：，
所以，所以与平面夹角的正弦值为．
19.解：因为是角的平分线，所以且在线段上，
所以，
又，所以；
因为点在射线上，，且，所以在线段外，且，
所以，
所以，
在中，由余弦定理可得，
即，解得负值已舍去，
所以，
所以的周长为．
【小问详解】
因为，所以，则，
因为，所以，
又，所以，
又，所以，所以，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为．
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