2023-2024学年河南省开封市高一下学期7月期末
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.设，为两个平面，则的充要条件是( )
A. 内有无数条直线与平行 B. 内有两条相交直线与平行
C. ，平行于同一条直线 D. ，垂直于同一平面
3.演讲比赛共有位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从个原始评分中去掉个最高分、个最低分，得到个有效评分个有效评分与个原始评分相比，不变的数字特征是( )
A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差
4.在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为现采用随机模拟的方法估计甲获得冠军的概率先由计算机模拟产生之间的整数随机数，当出现随机数，或时表示甲获胜，出现，时表示乙获胜因为比赛采用了局胜制，所以每个随机数为一组，代表局的结果，经随机模拟产生以下组随机数：
据此估计所求概率的值为( )
A. B. C. D.
5.已知，，且与的夹角，则( )
A. B. C. D.
6.在中，角，，的对边分别为，，，已知，且，，则( )
A. B. C. D.
7. 中，为的中点，与对角线相交于点，记，，用，表示( )
A. B. C. D.
8.在九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑已知四面体为鳖臑，且，，记二面角的平面角为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则下列说法中正确的是( )
A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 如果，互斥，那么
D. 如果，互斥，那么
10.已知复数，则( )
A. B. C. D.
11.如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走到达处，在处测得山顶的仰角为，则山高( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，在网格中的位置如图所示若网格纸上小正方形的边长为，则 ．
13.已知正方体的内切球体积为，则该正方体的外接球体积为 ．
14.已知复数，，且，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在一个不透明的盒子中有大小质地完全相同的个红球和个白球，从中随机地摸出一个球，观察其颜色后放回设事件“摸球次出现次红球”，“摸球次出现次红球”．
分别写出“摸球次”和“摸球次”这两个试验的样本空间
猜想和的大小关系，并验证你的猜想是否正确．
16.本小题分
在平面直角坐标系中，已知向量，，，其中
求
若，求向量在向量上的投影向量的坐标．
17.本小题分
有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的的鱼被人食用后，就会对人体产生危害在一批该鱼中随机抽取条作为样本，检测其汞含量乘以百万分之一如下：
依据样本数据，补充完成下列频率分布直方图，并分析这条鱼的汞含量的分布特点
分别依据样本数据和中频率分布直方图估计这批鱼的汞含量的第百分位数，得到的结果完全一致吗为什么
将样本中汞含量最低的两条鱼分别放入相互连通的、水池，若这两条鱼的游动相互独立，均有的概率游入另一个水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，平面平面．
证明：平面
若是棱的中点，且平面，求异面直线与所成角的余弦值．
19.本小题分
当内一点满足条件时，称点为的布洛卡点，角为的布洛卡角如图，在中，角，，的对边分别为，，，记的面积为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为．
证明：
证明：
若，且，求及．
答案解析
1.
【解析】解：由题意可得 ．
2.
【解析】解：对于，内有无数条直线与平行，与相交或；
对于，内有两条相交直线与平行，则；
对于，，平行于同一条直线，与相交或；
对于，，垂直于同一平面，与相交或．
故选B．
3.
【解析】解：设位评委的评分按从小到大排列为．
对于，原始评分的中位数为，去掉最低分，最高分后，
剩余评分的大小顺序为，中位数仍为，故A正确
对于，原始评分的平均数，
有效评分的平均数，
因为平均数受极端值影响较大，所以与不一定相同，故B不正确
对于，原始评分的方差，
有效评分的方差，由易知，不正确
对于，原始评分的极差为，有效评分的极差为，显然极差变小，故D不正确．
故选：．
4.
【解析】解：由题意可知，组随机数中甲获得冠军的有：，，，，， ，，，，，，，有组，
所以甲获得冠军的频率为，
所以甲获得冠军的概率的近似值约为。
5.
【解析】解： ，，且与的夹角，
．
故选D．
6.
【解析】解：，
由正弦定理可得，
变形可得：
为三角形的内角，
，所以，
，
故选B．
7.
【解析】解：如图：
因为点为的中点， ，
所以，
所以．
故选C．
8.
【解析】解：已知四面体为鳖臑，且，，
所以，，
设，
则，，
在中，，若，则，
此时中三边长分别为，，，不能构成三角形，舍去；
则，，，，．
在平面内，过点作，垂足为，
在平面内，过点作，交于点，
则即为二面角的平面角，
所以，，
在等腰直角三角形中，，
在中，，，，
由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
即，所以．
9.
【解析】解：对于，如果，则，故A正确
对于，如果，则，故B正确
对于，如果与互斥，则，故C正确
对于，如果与互斥，则，故D错误
故选ABC．
10.
【解析】解：因为，，
所以可得，故A正确；
，故B正确；
，
，故C错误；
，故D正确．
11.
【解析】解：在中，由正弦定理可得，，
所以
，
，
过作于点，则，
在中，由正弦定理可得，，即，
即，即，
则，
所以，
所以．
故选AC．
12.
【解析】解：以交点为坐标原点，沿网格线建立直角坐标系，
则，
，，
．
故答案为，．
13.
【解析】解：由正方体的内切球体积为，正方体内切球的直径是正方体的棱长，设正方体的棱长为，
则，得，
因为正方体的棱长为，则其体对角线长为，
又正方体的外接球的直径是正方体的体对角线，所以外接球的半径为，
外接球体积为 ．
故答案为．
14.
【解析】解：依题意，，且，
即，
，
当时，；
当时，；
的取值范围是．
故答案为：．
15.解：用表示“取出红球”，表示“取出白球”，摸球次，
样本空间为，包含个等可能的样本点
摸球次，样本空间为，
包含个等可能的样本点
猜想应该有，，故，
，故，
根据古典概型概率计算公式，得，，
所以，猜想正确．
【解析】用表示“取出红球”，表示“取出白球”，摸球次，然后分别写出样本空间即可
猜想应该有，然后根据古典概型概率计算公式，得，，
猜想正确．
16.解：因为，，
，又，所以，所以，
，
所以，解之得，
设向量和向量的夹角为，又，
所以向量在向量上的投影向量为：
，
当时，，，
当时，，，
所以向量在向量上的投影向量的坐标为或．
【解析】先得到，然后利用，得到即可，
先得到向量在向量上的投影向量为：，然后分
当时，当时，分别计算即可．
17.解：
汞含量分布偏向于大于的方向，即多数鱼的汞含量分布在大于的区域，
依据样本数据：由，样本数据的第百分位数为第，项数据的平均数，
即，所以估计这批鱼的汞含量的第百分位数为
依据频率分布直方图：由，
所以估计这批鱼的汞含量的第百分位数为，
两种方式得到的估计结果不一致，但相差不大，
因为在频率分布直方图中已经损失了一些样本信息，
我们无法知道每个组内的数据是如何分布的，此时，通常假设数据在组内均匀分布，
记“两条鱼最终均在水池”为事件，则，
记“两条鱼最终均在水池”为事件，则，
所以这两条鱼最终在同一水池的概率为．
【解析】完成频率分布直方图，然后得到结论；
利用数据，分别计算即可；
记“两条鱼最终均在水池”为事件，记“两条鱼最终均在水池”为事件，然后得到这两条鱼最终在同一水池的概率为即可．
18.解：平面平面，交线为，
又平面，，平面，
又平面，，
又，，、平面，
平面；
取中点，记为，连接，，
又为中点，，
与所成角即为与所成角，
又平面，平面，平面，
又平面，，、平面，
平面平面，
又平面平面，平面平面，，
由知，平面，平面，平面，
，，，，
．
所以异面直线与所成角的余弦值为．
【解析】由面面垂直的性质得平面，所以，又，由线面垂直的判定即可得证；
易得与所成角即为与所成角，计算即可．
19.解：证明：
式，
所以，
证明：在，，中，
分别由余弦定理得：
，
，
，
三式相加整理得：式，
结合式，可得，
整理可得，所以原式得证，
若，则，所以，所以∽，
所以，即，又，
在中，由余弦定理得，
又，所以，
由，得，
解之可得．
【解析】利用
即可；
在，，中，
分别由余弦定理得到，
然后利用已知结论得到，
然后整理可得，
先得到，然后由，得即可．
第1页，共1页
