备战2025年高考数学：双曲线模拟题训练
一、选择题
1．（2024·新疆维吾尔自治区模拟）下列双曲线中以为渐近线的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·万江模拟）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左，右焦点分别为．点在上，且，则的离心率为（ ）
A． B． C．3 D．2
3．（2024高三下·四川模拟）已知，分别为双曲线C的左、右焦点，过的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三下·湖南模拟）双曲线的上焦点到双曲线一条渐近线的距离为，则双曲线两条渐近线的斜率之积为( )
A． B．4 C． D．2
5．（2024高三下·丽水月考）双曲线的渐近线方程为，则( )
A． B． C． D．
6．（2024高三下·长沙模拟）如图，在中，，其内切圆与AC边相切于点D且.延长BA至点E使得，连接CE.设以C，E两点为焦点且经过点A圆的离心率为，以C，E两点为焦点且经过点A双曲线的离心率为，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
7．（2024高三下·成都模拟）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
8．（2024高三下·成都模拟）若双曲线的左、右焦点分别为，过右焦点的直线与双曲线交于两点，已知的斜率为，，且，，则直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．（2024·湖北模拟） 已知双曲线E：过点，则（ ）
A．双曲线E的实轴长为4
B．双曲线E的离心率为
C．双曲线E的渐近线方程为
D．过点P且与双曲线E仅有1个公共点的直线恰有1条
10．（2024·重庆模拟）已知双曲线的左 右焦点分别为，直线：与相交于点，与的一条渐近线相交于点.记的离心率为，那么（ ）
A．若，则 B．若，则
C．落，则 D．若，则
11．（2024高三上·岳阳）已知双曲线：的实轴长为2，左焦点到右顶点的距离为3.为坐标原点.直线交双曲线的右支于，两点（不同于右顶点），且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点（，位于第一象限），则（ ）
A．双曲线方程为
B．点到两条渐近线的距离之和的最小值为
C．
D．若，则的面积为
三、填空题
12．（2024高三下·保定模拟）已知圆锥曲线的焦点在轴上，且离心率为2，则 .
13．（2024·宁波模拟）已知双曲线的离心率，则双曲线的渐近线方程为 .
14．（2024·广东模拟）已知点，分别为双曲线的左、右焦点，点A为C的右顶点，点P为C右支上的动点，记，分别为，内切圆半径.若，，成等差数列，则 .
四、解答题
15．（2024·金华模拟）已知双曲线的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1.
（1）求的方程；
（2）过上一点作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，若，求点的坐标.
16．（2024·诸暨模拟）已知双曲线：与直线：交于、两点（在左侧），过点的两条关于对称的直线、分别交双曲线于、两点（在右支，在左支）．
（1）设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值；
（2）若直线与双曲线在点处的切线交于点，求的面积．
17．（2024高三下·保定模拟）已知圆，动圆与圆相内切，且经过定点
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）若直线与（1）中轨迹交于不同的两点，记外接圆的圆心为（为坐标原点），平面上是否存在两定点，使得为定值，若存在，求出定点坐标和定值，若不存在，请说明理由.
18．（2024·南宁模拟）双曲线上一点到左 右焦点的距离之差为6，
（1）求双曲线的方程，
（2）已知，过点的直线与交于（异于）两点，直线与交于点，试问点到直线的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由，
19．（2024高三下·长沙模拟）已知为坐标原点，双曲线：（，）和椭圆：（）均过点且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.
（1）求，的方程；
（2）是否存在直线，使得与交于，两点，与只有一个公共点，且？证明你的结论；
（3）椭圆的右顶点为，过椭圆右焦点的直线与交于、两点，关于轴的对称点为（与点不重合），直线与轴交于点，，的面积分别为，，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】A
5．【答案】D
6．【答案】D
7．【答案】C
8．【答案】A
9．【答案】A,B
10．【答案】A,C
11．【答案】A,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）解：因为双曲线实轴长为，故的一条渐近线方程为，
则，故双曲线的方程为.
（2）解：设则，不防设Q到直线.离为：
，同理，
所以①
又因为②，
由①②解得或，
当时，解得，
又，则，解得，
同理有或或，
所以存在点或或或满足.
16．【答案】（1）解：由题意知直线斜率为1，直线的倾斜角，
设直线、的倾斜角分别为、（、），
直线、关于直线对称，，
．
（2）解：联立可得，双曲线在点处的切线方程为．
不妨设直线为，，，
联立得，
整理得，将等式看作关于的方程：
两根之和，两根之积，
而其中，
由（1）得，
直线为，过定点，
又双曲线在点处的切线方程为，过点，，
．
17．【答案】（1）解：设圆的半径为，圆与动圆内切于点，因为点在圆内部，所以点在圆内部，
所以，
故点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，其方程为；
（2）解：联立与椭圆方程，消得，
设，则，
的中垂线方程为：，即①，
同理可得的中垂线方程为：②，
由①②两式可得，
则外接圆圆心的横坐标，
其中
，
又因为的中垂线方程为，即，
所以圆心的纵坐标为，
所以，所以圆心在双曲线上，
所以存在定点，使得（定值）
18．【答案】（1）解：由题意可得，解得，
故双曲线的方程为.
（2）解：由题意可得直线的斜率不为0，如图所示：
设直线的方程为，，
联立，消去，得，
则，，
由韦达定理可得：，
又，直线，直线，
联立，两式相除，得
，
即，解得，所以点在定直线上，
因为直线与直线之间的距离为，
所以点到直线的距离为定值，且定值为.
19．【答案】（1）解：根据题意，，，
以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形，边长为，
故，，故，代入计算得到，，，
故：，：.
（2）解：假设存在直线方程满足条件，
当直线斜率不存在时，或，代入计算得到，验证不成立；
当直线斜率存在时，设直线方程为，则
即，，
化简得到.
设，，
故，故
，故，
即，即，
即，化简得到，
因为方程组无解，假设不成立.
故不存在直线满足条件.
（3）解：焦点坐标为，易知直线方程斜率不为零，
设直线方程为，，，，
则，化简得到
，
直线方程为：，
取得到
，
，故是定值，为.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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