第八节 自由落体相对运动
需要掌握的内容
1清楚相对运动的速度以及位移关系
由于两个自由落体运动向下的重力加速度相等，所以两物体间的相对运动为匀速直线运动，相对运动速度不变。
2通过相对运动列出新的运动关系
根据相对运动可以直接求出相遇时间，属于简易算法。
经典习题
单选题1．甲乙两物体从同一直线不同地点同时出发，沿同一方向做加速直线运动且加速度大小相同，甲在前乙在后，若它们的初速度，则在运动过程中（ ）
A．两物体间的距离不断增大
B．两物体的速度之比与时间成正比
C．两物体间的距离保持不变
D．两物体速度之差不断增大
单选题2．如图所示，两位同学在教学楼。上做自由落体实验，甲同学在四楼先将小球A释放，当下落距离为h时，乙同学在三楼将小球B释放，小球B释放时间t后，两球恰好同时落地，小球A、B不在同一条竖直线上，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（ ）
A．甲同学释放点离地高度为
B．甲同学释放点离地高度为
C．若两位同学均各上一层楼重做以上实验，两小球仍能同时落地
D．若两位同学均各下一层楼重做以上实验，小球A先落地
3．一长为L的金属管从地面以的速率竖直上抛，管口正上方高处有一小球同时自由下落，金属管落地前小球从管中穿过。已知重力加速度为g，不计空气阻力。关于该运动过程：
（1）小球从开始下落到穿过管所用时间？
（2）若小球在管上升阶段穿过管，则满足的条件？
（3）若小球在管下降阶段穿过管，则满足的条件？
单选题4．某人在高50m的塔顶，每隔0.5s由静止释放一个金属小球，不计空气阻力。取，下列分析正确的是（ ）
A．空中最多能有6个小球 B．空中任意两个相邻小球时间差小于0.5s
C．每个小球落地速度大小均为 D．在空中相邻两球的最大距离为6.25m
多选题5．黄州青云塔始建于1574年，距今400多年。某物理研究小组测量出塔高为H，甲同学在塔顶让物体A自由落下，同时乙同学将物体B自塔底以初速度v0竖直上抛，且A、B两物体在同一直线上运动。重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．若v0=，则两物体在地面相遇
B．若v0=，则两物体在地面相遇
C．若v0>，两物体相遇时，B正在上升途中
D．若
（1）求直棒通过该空心管所用的时间（直棒通过管后继续进入公路下的直径略大于细棒的深坑）；
（2）当棒开始下落时，汽车以20m/s的速度在距离管子36m处向管子驶来，汽车会不会碰到直棒，如不会请说明为什么；如会，在不改变车行驶方向的情况下，司机该如何处理。（计算时不考虑车的大小，）
7．在一种新的“子母球”表演中，让同一竖直线上的小球A和小球B，从距水平地面高度为ph（p＞1）和h的地方同时由静止释放，如图所示．球A的质量为m，球B的质量为3m．设球与地面碰撞后速度大小不变，方向相反，重力加速度大小为g，忽略球的直径、空气阻力及碰撞时间．
（1）求球B第一次落地时球A的速度大小；
（2）若球B在第一次上升过程中就能与球A相碰，求p的取值范围；
单选题8．如图所示，水平线在某竖直平面内，距地面高度为h，一条长为L（）的轻绳两端分别系小球A和B，小球A在水平线上，竖直向上的外力作用在A上，A和B都处于静止状态。现从上另一点静止释放小球1，当小球1下落至与小球B等高位置时，从上静止释放小球A和小球2，小球2在小球1的正上方。则下列说法正确的是（ ）
A．小球B将与小球1同时落地
B．h越大，小球A与小球B的落地时间差越大
C．从小球2释放到小球1落地前，小球1与2之间的距离随时间的增加而均匀增大
D．若1落地后原速率弹回，从此时开始计时，1与2相遇的时间随L的增大而减小
多选题9．如图所示，时刻将小球甲从距离地面高度为处以速度竖直向上抛出，同时小球乙从距离地面高度为处开始自由下落，小球运动的过程中不计空气阻力，重力加速度取，则下列说法中正确的是（ ）
A．小球乙落地前，两小球的速度差保持不变
B．小球甲、乙在空中运动的平均速度大小之比为
C．小球甲、乙运动的第1s内位移相同
D．时，两小球在同一水平高度
单选题10．一同学在三楼窗口外以相同的速率v抛出甲、乙两个物体，甲被竖直上抛，乙被竖直下抛，这两个物体落地时间相差是；如果该同学在五楼窗口外同样以相同的速率v抛出丙、丁两个物体，丙被竖直上抛，丁被竖直下抛，这两个物体落地时间相差是，不计空气阻力，则
A．
B．
C．
D．无法比较第八节 自由落体相对运动
需要掌握的内容
1清楚相对运动的速度以及位移关系
由于两个自由落体运动向下的重力加速度相等，所以两物体间的相对运动为匀速直线运动，相对运动速度不变。
2通过相对运动列出新的运动关系
根据相对运动可以直接求出相遇时间，属于简易算法。
经典习题
单选题1．甲乙两物体从同一直线不同地点同时出发，沿同一方向做加速直线运动且加速度大小相同，甲在前乙在后，若它们的初速度，则在运动过程中（ ）
A．两物体间的距离不断增大
B．两物体的速度之比与时间成正比
C．两物体间的距离保持不变
D．两物体速度之差不断增大
单选题2．如图所示，两位同学在教学楼。上做自由落体实验，甲同学在四楼先将小球A释放，当下落距离为h时，乙同学在三楼将小球B释放，小球B释放时间t后，两球恰好同时落地，小球A、B不在同一条竖直线上，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（ ）
A．甲同学释放点离地高度为
B．甲同学释放点离地高度为
C．若两位同学均各上一层楼重做以上实验，两小球仍能同时落地
D．若两位同学均各下一层楼重做以上实验，小球A先落地
3．一长为L的金属管从地面以的速率竖直上抛，管口正上方高处有一小球同时自由下落，金属管落地前小球从管中穿过。已知重力加速度为g，不计空气阻力。关于该运动过程：
（1）小球从开始下落到穿过管所用时间？
（2）若小球在管上升阶段穿过管，则满足的条件？
（3）若小球在管下降阶段穿过管，则满足的条件？
单选题4．某人在高50m的塔顶，每隔0.5s由静止释放一个金属小球，不计空气阻力。取，下列分析正确的是（ ）
A．空中最多能有6个小球 B．空中任意两个相邻小球时间差小于0.5s
C．每个小球落地速度大小均为 D．在空中相邻两球的最大距离为6.25m
多选题5．黄州青云塔始建于1574年，距今400多年。某物理研究小组测量出塔高为H，甲同学在塔顶让物体A自由落下，同时乙同学将物体B自塔底以初速度v0竖直上抛，且A、B两物体在同一直线上运动。重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．若v0=，则两物体在地面相遇
B．若v0=，则两物体在地面相遇
C．若v0>，两物体相遇时，B正在上升途中
D．若
（1）求直棒通过该空心管所用的时间（直棒通过管后继续进入公路下的直径略大于细棒的深坑）；
（2）当棒开始下落时，汽车以20m/s的速度在距离管子36m处向管子驶来，汽车会不会碰到直棒，如不会请说明为什么；如会，在不改变车行驶方向的情况下，司机该如何处理。（计算时不考虑车的大小，）
7．在一种新的“子母球”表演中，让同一竖直线上的小球A和小球B，从距水平地面高度为ph（p＞1）和h的地方同时由静止释放，如图所示．球A的质量为m，球B的质量为3m．设球与地面碰撞后速度大小不变，方向相反，重力加速度大小为g，忽略球的直径、空气阻力及碰撞时间．
（1）求球B第一次落地时球A的速度大小；
（2）若球B在第一次上升过程中就能与球A相碰，求p的取值范围；
单选题8．如图所示，水平线在某竖直平面内，距地面高度为h，一条长为L（）的轻绳两端分别系小球A和B，小球A在水平线上，竖直向上的外力作用在A上，A和B都处于静止状态。现从上另一点静止释放小球1，当小球1下落至与小球B等高位置时，从上静止释放小球A和小球2，小球2在小球1的正上方。则下列说法正确的是（ ）
A．小球B将与小球1同时落地
B．h越大，小球A与小球B的落地时间差越大
C．从小球2释放到小球1落地前，小球1与2之间的距离随时间的增加而均匀增大
D．若1落地后原速率弹回，从此时开始计时，1与2相遇的时间随L的增大而减小
多选题9．如图所示，时刻将小球甲从距离地面高度为处以速度竖直向上抛出，同时小球乙从距离地面高度为处开始自由下落，小球运动的过程中不计空气阻力，重力加速度取，则下列说法中正确的是（ ）
A．小球乙落地前，两小球的速度差保持不变
B．小球甲、乙在空中运动的平均速度大小之比为
C．小球甲、乙运动的第1s内位移相同
D．时，两小球在同一水平高度
单选题10．一同学在三楼窗口外以相同的速率v抛出甲、乙两个物体，甲被竖直上抛，乙被竖直下抛，这两个物体落地时间相差是；如果该同学在五楼窗口外同样以相同的速率v抛出丙、丁两个物体，丙被竖直上抛，丁被竖直下抛，这两个物体落地时间相差是，不计空气阻力，则
A．
B．
C．
D．无法比较
答案
1．A
【详解】AC：设甲、乙两物体间的初始间距是，甲在前乙在后，据，两物体间的距离，则两物体间的距离随时间不断增大．故A项正确，C项错误．
B：据，两物体的速度之比．故B项错误．
D：据，两物体的速度之差．故D项错误．
2．B
【详解】AB．小球A下落h所需时间为t′，则
解得
故小球A下落到地面所需时间为
下降的高度为
故A错误B正确；
C．当两位同学均各上一层楼重做以上实验，相当于在以上实验的基础上，假设两同学不动，地平面下降了一层楼。则由自由落体运动规律可知，两球会在空中原来地平面处相遇，相遇时小球A速度大，故A先落地，故C错误；
D．若两位同学均各下一层楼重做以上实验，相当于在以上实验的基础上，假设两同学不动，地平面上升了一层楼，则两小球不能在空中相遇，根据自由落体规律可知小球B先落地，故D错误；
故选B。
3．（1）；（2）；（3）
【详解】（1）两物体竖直方向加速度相同，所以小球相对管来说在做匀速直线运动，所以小球从开始下落到穿过管所用时间为
（2）刚好在管上升最高点穿过管有
解得
若小球在管上升阶段穿过管，则
（3）若小球在管刚着地时穿管，有
解得
结合上述分析可知小球在管下降阶段穿过管则
4．C
【详解】A．根据
解得
由
可知空中最多能有7个小球，故A错误；
B．由于每隔0.5s由静止释放一个金属小球，空中任意两个相邻小球时间差等于0.5s，故B错误；
C．根据
可得每个小球落地速度大小为
故C正确；
D．当其中一个小球刚要落地时，此时离相邻上方小球的距离最大，根据逆向思维可得在空中相邻两球的最大距离为
故D错误。
故选C。
5．BCD
【详解】若物体B正好运动到最高点时两物体相遇，物体B速度减小为零所用的时间
得此时A下落的高度
B上升的高度
且
解得
若A、B两物体恰好在落地时相遇，则有
此时A下落的高度
解得
所以若，则物体B运动到最高点时两物体相遇；若，则两物体在地面相遇；若，则两物体在B上升途中相遇；若，则两物体在B下落途中相遇；
故选BCD。
6．（1）；（2）会碰到，加速a>0.9m/s2，减速a>2m/s2
【详解】（1）直棒的下端到达管子的上端的时间为
直棒的上端到达管子的下端的时间为
则直棒通过该空心管所用的时间
（2）若汽车匀速运动，则到达管子处的时间为
则汽车肯定要碰到管子；
要使汽车不碰到管子，则
汽车可以在2s内的位移小于36m，即汽车做减速运动，有
解得
a=2m/s2
即汽车减速运动的加速度a>2m/s2。
或汽车做加速运动，在管子下端到达地面时的位移大于36m，有
管子下端到达地面的时间为
解得
即汽车加速运动的加速度
a >0.9m/s
7．（1）（2）
【详解】（1）由于两球同时释放，所以球B第一次落地时A球下落的高度为h，设此时A球的速度大小为，由可得，．
（2）球B第一次落地并与地发生弹性碰撞后做竖直上抛运动．
若球B上升到最大高度h处时刚好与球A发生碰撞，设此时球A自由下落的时间tA，则
此时球A自由下落的高度．
联立以上两式，可得，则，
所以p=5．若球B在第一次上升过程中就能与球A相碰，则p的取值范围应为．
【点睛】要想在上升阶段两球相碰，临界情况是B刚好反跳回到出发点时与A相碰，据此求出A球的最大高度
8．C
【详解】A．设小球1下落到与B等高的位置时的速度为v，设小球1还需要经过时间t1落地，则：
①
设B运动的时间为t2，则
②
比较①②可知
故A错误；
B．设A运动时间为t3，则
可得
可知L是一个定值时，h越大，则小球A与小球B的落地时间差越小。故B错误；
C．1与2两球的距离
可见，两球间的距离随时间的推移，越来越大；故C正确；
D．作出小球1和小球2运动的v-t图象，如图所示
由图可知，t1时刻，小球2开始运动；t2刻，小球1落地；t3刻，小球1和小球2相遇。图中左边的阴影部分面积表示的就是轻绳的长度L，可见，若1落地后原速率弹回，从此时开始计时，1与2相遇的时间随L的增大而增大，所以D错误。
故选C。
9．ABD
【详解】A．小球乙落地前，两小球的加速度相同，则速度变化量相同，所以两小球的速度差保持不变，故A正确；
B．设小球甲、乙在空中运动的时间分别为、，则有
解得
，
则小球甲在空中运动的平均速度大小为
小球乙在空中运动的平均速度大小为
则小球甲、乙在空中运动的平均速度大小之比为，故B正确；
C．小球甲运动的第1s内位移为
方向向上；
小球乙运动的第1s内位移为
方向向下；
即小球甲、乙运动的第1s内位移大小相等，但方向相反，故C错误；
D．小球甲运动0.5s的位移为
方向向上；
此时小球甲距离地面的高度为
小球乙运动0.5s的位移为
方向向下；
此时小球乙距离地面的高度为
则时，两小球在同一水平高度，故D正确。
故选ABD。
10．A
【详解】取速度向下为正方向，由题知，甲的初速度为-v，乙的初速度为v，因甲、乙从同一高度做抛体运动，故两物体的落地速度相同，设大小为，则对甲有
对乙有
则甲、乙落地时间差为
同理对丙、丁两物体得
故
故选A.
【点睛】竖直下抛是匀加速直线运动，竖直上抛是匀减速直线运动，根据速度公式分别列式得到四个物体运动的时间，即可比较．
