1.3.2基本不等式
——高一数学北师大版(2019)必修一课时优化训练
1.已知a,b为正实数，且满足，则的最小值为( )
A. B. C.8 D.6
2.已知，则的最大值为( )
A. B. C. D.3
3.若正数a,满足：,则的最大值为( )
A. B. C. D.2
4.中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半.现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为( )
A.6 B. C.12 D.
5.负实数x，y满足，则的最小值为( )
A.1 B.0 C.-1 D.-4
6.已知a，b为正实数，，则( )
A.的最小值为4 B.的最大值为4
C.的最小值为2 D.的最大值为2
7.已知正实数x,y满足,则的最小值为( )
A.24 B.25 C.26 D.27
8.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是( )
A. B.或
C. D.或
9.（多选）若，且，则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
10.（多选）若，，且，则( )
A.mn的最大值为 B.的最小值为5
C.的最小值为 D.的最大值为
11.已知,,且,则的最小值为______.
12.已知正实数m，n满足，则的最大值为___________.
13.已知实数x，，且，则的最小值是________.
14.已知正实数a，b满足，求的最小值.
15.为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元.
（1）要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？
（2）是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
答案以及解析
1.答案：C
解析：根据题意，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：C
2.答案：B
解析：由题意得，，即，
当且仅当，即，或，时等号成立，
所以的最大值为.
故选：B.
3.答案：B
解析：因为a,b为正数,所以,
因为,所以,
所以,所以,当且仅当,时,取等号.
故选：B.
4.答案：B
解析：由题意得，所以此三角形的面积，当且仅当即时取等号.
5.答案：B
解析：负实数x，y满足，则，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为0.
6.答案：A
解析：因a，b为正实数，由可得，
即得，当且仅当时取等号，
即，时，的最小值为4.
故选：A.
7.答案：B
解析：因为正实数x,y满足,
所以,
所以
,
当且仅当,即,时取等号,
所以的最小值为25.
故选：B.
8.答案：D
解析：由两个正实数x，y满足，得，则，当且仅当，即时取等号.由不等式有解，得，解得或.
9.答案：AD
解析：
A √ ，恒成立，即恒成立.
B × 当，时，，而，不等式不成立.
C × 当，时，，而，不等式不成立.
D √ 由，且，得，，则，当且仅当，即时取等号.
10.答案：ABC
解析：
A √ 因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立.
B √ ，当且仅当时，等号成立.
C √ ，当且仅当，且，即，时，等号成立.
D × ，当且仅当，即，时，等号成立.
11.答案：6
解析：因为,,且,
所以,所以,
所以或(舍去),当且仅当时,等号成立,所以的最小值为6.
12.答案：2
解析：依题意得，
则，
即，则，
解得，则的最大值为2.当且仅当时取得最大值.
故答案为：2.
13.答案：
解析：，，且，
，
，
当且仅当，即，时取等号，
的最小值是，
故答案为：.
14.答案：
解析：
.
由，得（当且仅当时等号成立），
所以，且，
所以，
所以的最小值为.
15.答案：（1）75人
（2）存在实数m满足条件，且实数m的值为7
解析：（1）依题意可得调整后研发人员的人数为，年人均投入为万元，
则，解得，
又，，所以调整后的技术人员最多有75人.
（2）假设存在实数m满足条件.
由条件①，得，解得.
又，，所以当时，取得最大值7，所以.
由条件②，得，不等式两边同除以ax，
得，整理得，
因为，当且仅当，
即时等号成立，所以.
综上，得.
故存在实数m满足条件，且实数m的值为7.
