2.2 基本不等式（同步检测）
一、选择题
1.(多选)已知实数a，b，下列不等式一定正确的有( )
A.≥ B.a＋≥2
C.≥2 D.2(a2＋b2)≥(a＋b)2
2.(多选)下列条件可使＋≥2成立的是( )
A.ab>0 B.ab<0
C.a>0，b>0 D.a<0，b<0
3.若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A. B.2
C.2 D.4
4.将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
A.6.5 m B.6.8 m
C.7 m D.7.2 m
5.“ab＜”是“a＞b＞0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知x＞0，y＞0，且x＋y＋xy＝3，则x＋y的最小值为（ ） ( )
A.2 B.3
C.2 D.2
7.如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么( )
A.ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一
B.ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一
C.ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一
D.ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一
8.已知a>1，则，，三个数的大小顺序是( )
A.<< B.<<
C.<< D.<≤
9.若－4
C.有最小值－1 D.有最大值－1
二、填空题
10.已知x＞3，则x＋的最小值为________
11.设x＞0，则函数y＝x＋－的最小值为________
12.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2．
13.二十大报告中提到：“我国制造业规模稳居世界第一”．某公司为提高产能，购买一批新型设备，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转______年时，年平均利润最大，最大值是______万元．
三、解答题
14.设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥6．
15.已知a，b，c都是正数，且abc＝1，
证明：＋≥2．
16.已知正数x，y满足4x＋y－xy＋8＝0．求：
(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．
参考答案及解析：
一、选择题
1.CD 解析：当a＜0，b＜0时，≥不成立；当a＜0，时，a＋≥2不成立；因为＝＋≥2，故C正确；因为2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，故D正确．故选CD．
2.ACD 解析：当且仅当＝>0，即a，b同号时等号成立．故选ACD．
3.C 解析：由＝＋≥2，得ab≥2，当且仅当＝时取“＝”．
4.C 解析：设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，所以ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，所以选7 m最合理．
5.B 解析：∵a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，∴ab＜ a≠b，a，b∈R，∴充分性不成立．∵a＞b＞0 a2＋b2＞2ab，∴必要性成立．故选B．
6.A 解析：∵x＋y＋xy＝3，∴y＋1＝，∴x＋y＝x＋1＋－2≥2－2＝2，当且仅当x＋1＝，即x＝y＝1时取等号．故选A．
7.A 解析：由a＋b≥2可知ab≤4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，又cd≤，故c＋d≥4，当且仅当c＝d＝2时等号成立，∴c＋d≥ab．故选A．
8.C 解析：当a，b是正数时，≤≤≤ ，令b＝1，得≤≤．又a>1，即a≠b，故上式不能取等号，故选C．
9.D 解析：y＝＝，
又∵－4
当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．故选D．
二、填空题
10.答案：7
解析：∵x＞3，∴x－3＞0，＞0．∴x＋＝x－3＋＋3≥2＋3＝7，当且仅当x－3＝，即x＝5时，x＋取得最小值7．
11.答案：0 解析：y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立．所以函数的最小值为0．
12.答案：25
解析：设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y m2，则另一边为 ×(20－2x)＝(10－x)m，则y＝x(10－x)≤＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，y取最大值25．
13.答案：5，8
解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，且x＞0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．
三、解答题
14.证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，所以＋≥2，＋≥2，＋≥2，
所以＋＋≥6，当且仅当＝，＝，＝，即a＝b＝c时，等号成立，
所以＋＋≥6．
15.证明：因为a，b，c都是正数，且abc＝1，所以c＝．
所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号．
故＋≥2成立．
16.解：(1)由题意知x，y为正数，
xy－8＝4x＋y≥2＝4，当且仅当4x＝y，即x＝1＋，y＝4＋4时等号成立，
则()2－4－8≥0，解得≥2＋2或≤2－2(舍去)，
所以xy≥(2＋2)2＝16＋8，即xy的最小值为16＋8．
(2)由题意知x，y为正数，4x－xy＝－y－8，故x＝，
因为x＞0，y＞0，所以y＞4，则x＋y＝＋y＝y＋＋1＝(y－4)＋＋5．
因为y＞4，y－4＞0，＞0，(y－4)＋＋5≥4＋5，即x＋y≥4＋5，
当且仅当y－4＝，即y＝4＋2时等号成立．
所以x＋y的最小值为5＋4．
