2023-2024学年四川省成都市区县联考高一下学期7月期末调研考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.平面向量，，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到的图象所对应的函数的解析式为( )
A. B. C. D.
4.已知非零向量满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知，是空间中两条不同的直线，是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
7.已知梯形按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形，且，，，现将梯形绕旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数其中，，的部分图象如图所示，则下列说法错误的是( )
A. 函数的最小正周期是
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的图象关于点对称
D. 函数在区间上单调递增
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
10.在中，，分别是线段上的两个三等分点两点分别靠近，两点，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 若，，则
D. 若，，则
11.如图，在棱长为的正方体中，，，分别是线段，，的中点，则下列说法正确的是( )
A. 平面
B. 正方体的外接球的表面积为，体积为
C. 平面截正方体所得截面的形状是五边形
D. 若底面内的动点包含边界满足平面，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数是纯虚数，则 ．
13.某海警船在处看灯塔在它的北偏东，距离为，在处看灯塔在海警船的北偏西，距离为，海警船由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离为 ．
14.在直三棱柱中，，，是棱上一动点，则三棱锥的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
求的值；
若向量与垂直，求的值；
若向量与的夹角为锐角，求的取值范围．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，为线段的中点．
求证：平面；
求证：平面平面
17.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，目．
求的值；
若，，求的面积；
若，，求中边上的中线长．
18.本小题分
如图，四棱锥的侧面是边长为的正三角形，底面为正方形，平面平面，为线段的中点．
求证：；
求二面角的正切值；
求异面直线与所成角的余弦值．
19.本小题分
已知函数．
若，且，求的值；
在锐角三角形中，若，求的取值范围；
设函数，若在区间上恒成立，求的取值范围．
答案解析
1.
【解析】由可得，所以，
故选：
2.
【解析】由可得，
故对应的点为，位于第三象限，
故选：
3.
【解析】将函数的图象上所有的点
向左平移个单位长度得到．
故选：
4.
【解析】由题意在上的投影向量为，即，
所以，又，所以，
而，所以，
故选：．
5.
【解析】由题意，
故选：．
6.
【解析】，时，也有可能， B错误；
若，，则或， C错误；
若，，则或， D错误．
由线面垂直的性质定理知A正确，
故选：．
7.
【解析】由题意该梯形为直角梯形，如图，
其中，，，，，
将梯形绕转一周得到的几何体是圆台，
且该圆台的上底面圆半径为，下底面圆半径为，高为，
该几何体的体积为．
故选：
8.
【解析】由图象可得，，则，故 A正确；
所以，再根据五点法作图，可得，
则，由，则，所以，
对称轴，则，当时，则，故 B正确；
当，则，当时，则，
所以为对称中心，故 C正确；
当，则，
所以的单调递增区间为，
当时，所以在单调递增，观察图象可得在单调递减，故 D错误．
故选：
9.
【解析】对于，，故 A正确，
对于，， B错误，
对于，， C正确，
对于，， D正确，
故选：
10.
【解析】对于：，，
又，分别是线段上的两个三等分点两点分别靠近，两点，
所以，所以，故 A错误；
对于：，，所以，
则，故 B正确；
对于：因为，所以为的外心，且外接圆的半径，
又，所以为的重心，
所以为等边三角形，且边长为，
又，
，
所以
，故 C正确；
对于：因为，
即，
所以，
又，即，
所以，
所以，且，
所以
，故 D正确．
故选：
11.
【解析】若平面，则，
正方体的棱长为，则，
，故与不垂直，则与平面不垂直，则错误；
正方体的体对角线即正方体外接球的直径，根据正方体外接球半径与正方体棱长的关系式，则外接球的表面积为，体积为，故正确；
如图，延长，使，再连接，使，
连接，延长，使，连接，使，连接，则则五边形为平面截正方体所得截面的形状，故正确；
如图，取中点为，连接，
分别为的中点，
，又平面，平面，
平面，
分别为的中点，
又在正方体中，有，且，
四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
平面，又，平面，
平面平面，
若底面内的动点包含边界满足平面，
则点为上任一点，且，故，故正确；
故选：．
12.
【解析】由题意，解得，即，所以，
故答案为：．
13.
【解析】在中，，则，
由正弦定理得，，
得，得，
在中，，，
则由余弦定理得，
所以．
故答案为：
14.
【解析】由直三棱柱，，，
所以，则侧面垂于底面直，
可得到平面的距离为，
则由等体积法可得．
故答案为：．
15.解：由，，
得，故；
与垂直，
，
，
整理得：，解得；
与的夹角为锐角，
，且与不共线，
即，且，
解得且，
综上：当与的夹角为锐角时，．
【解析】根据向量运算及模的坐标表示计算；
由求解；
由向量与的数量积大于且两向量不共线可得．
16.解：连接，
底面是菱形，点为线段的中点，
为中点，为的中位线，，
平面，平面，平面；
平面，平面，，
底面是菱形，，
平面，，平面，
平面，平面平面．
【解析】只需证明根据三角形中位线性质证明即可；
只需证明平面，进而转化为证明和．
17.解：在中，由正弦定理得：，
，，，，
由，解得；
在中，由余弦定理得，
得，解得或舍，
由知，故的面积；
设为的中点，则，
，
解得，即中边上的中线长为．
【解析】根据正弦定理边角互化可得，即可由同角平方和关系求解，
根据余弦定理可得，即可根据面积公式求解，
根据向量的模长公式即可求解．
18.解：证明：是边长为的正三角形，为中点，
，且平面，
又平面平面，平面平面
平面，
又平面，；
由知，，
为二面角的平面角，
底面为正方形，，
在中，，，；
取中点，连接，，
为中点，，
异面直线与所成的角是或的补角，
由知，平面，平面，，
底面是正方形，，
平面，平面，
平面，，
在中，，，，
在中，，，，
在中，，，
，
异面直线与所成的角的余弦值为．
【解析】利用线面垂直证明线线垂直；
利用定义法计算得到面面角的正切值；
利用中位线找到平行关系，再利用定义法异面直线夹角，结合余弦定理求得；
19.解：，
由题意知，所以，
又，，
则，
故；
由得，
，，，，
故，
由是锐角三角形，得，
则，得，
即的取值范围为；
，
当时，，
令，则，在区间上恒成立，
等价于关于的不等式在区间上恒成立，
即有在区间上恒成立，
又在区间上单调递减，
当时，有最大值，
故有，即的取值范围为．
【解析】利用三角恒等变形，最后化为已知角的某个三角函数值，去求另一个角的三角函数值；
利用三角形已知一个角，再利用三角形内角和消元，从而化为一个三角函数的值域来求解；
利用二倍角关系，转化为同一个角的三角函数式上来，再利用分离参变量思想来求解．
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