2023-2024学年湖南省张家界市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数，则对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，向量，若，则等于( )
A. B. C. D.
3.某学校有高中学生人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为，，为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为( )
A. B. C. D.
4.已知边长为的正方形中，为中点，连接，则( )
A. B. C. D.
5.甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为( )
A. B. C. D.
6.对于两个平面，和两条直线，，下列命题中真命题是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
7.科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号如图是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器年月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成次升空大气科学观测，最高升空至米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力“极目一号”Ⅲ型浮空艇长米，高米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图所示，则极目一号体积约为( )
参考数据：，，
A. B. C. D.
8.随着北京冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升．某校为提升学生的综合素养、大力推广冰雪运动，号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动的主力军”，开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程．甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件“甲乙两人所选课程恰有一门相同”，事件“甲乙两人所选课程完全不同”，事件“甲乙两人均未选择陆地冰壶课程”，则( )
A. 与为对立事件 B. 与互斥 C. 与相互独立 D. 与相互独立
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9. 某校名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示同一组中的数据用该组区间的中点值作代表分数不低于即为优秀，已知优秀学生有人，则( )
A. B.
C. 分以下的人数约为人 D. 本次考试的平均分约为
10.如图所示，为了测量，两岛的距离，小明在处观测，，分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则下列结论正确的是( )
A. B. ，之间的距离为海里
C. ，之间的距离为海里 D. ，两岛间的距离为海里
11.正三棱柱的各棱长均相等，是的中点，，是线段，上的动点含端点，且，当，运动时，下列结论正确的是( )
A. 平面平面 B. 三棱锥的体积为定值
C. 可能为直角三角形 D. 平面与平面所成的锐二面角的范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在，，，，，这六个数中，第百分位数是______．
13.已知复数为纯虚数，则 ______．
14.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，，，则球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数．
是虚数单位
Ⅰ从三个式子中选择一个，求出这个常数；
Ⅱ根据三个式子的结构特征及Ⅰ的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论．
16.本小题分
全国文明城市简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市全国文明城市称号是反映中国城市整体文明水平的最高荣誉称号为普及相关知识，争创全国文明城市，张家界市组织了文明城市知识竞赛，现随机抽取了甲、乙两个单位各名职工的成绩单位：分如表：
甲单位
乙单位
根据如表中的数据，分别求出甲、乙两个单位名职工的成绩的平均数和方差，并比较哪个单位的职工对文明城市知识掌握得更好；
用简单随机抽样法从乙单位名职工中抽取人，求抽取的名职工的成绩差的绝对值不小于的概率．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为的中点，平面，，为的中点．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正切值．
18.本小题分
乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分如图，甲上有两个不相交的区域、，乙被划分为两个不相交的区域、某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在上记分，在上记分，其它情况记分对落点在上的来球，队员小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为；对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为假设共有两次来球且落在、上各一次，小明的两次回球互不影响求：
小明对落点在、上的来球回球的得分为分的概率；
小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
两次回球结束后，小明得分之和的所有可能取值及对应的概率．
19.本小题分
已知点为的重心，内角，，的对边分别为，，．
若，求实数的值；
若，且
，求实数的值；
，求实数的值．
答案解析
1.
【解析】解：复数，则对应的点位于第一象限，
故选：．
2.
【解析】解：向量，向量，若，
则，解得．
故选：．
3.
【解析】解：采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，
则应抽取高一年级学生的人数为：．
故选：．
4.
【解析】解：如图，
，
．
故选B．
5.
【解析】解：甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，所有可能出现的结果列表如下：
甲，乙 锤 剪子 包袱
锤 锤，锤 锤，剪子 锤，包袱
剪子 剪子，锤 剪子，剪子 剪子，包袱
包袱 包袱，锤 包袱，剪子 包袱，包袱
由表格可知，共有种等可能情况．其中平局的有种：锤，锤、剪子，剪子、包袱，包袱．
甲和乙平局的概率为：．
故选：．
6.
【解析】解：在中：若，，则或，故A错误；
在中：若，，则与相交、平行或，故B错误；
在中：若，，，则与相交、平行或异面，故C错误；
在中：若，，，则由线面垂直和面面垂直的性质得，故D正确．
故选：．
7.
【解析】解：由图可知，半球的半径米，圆柱的底面半径米，高为米，圆台的下底面半径为米，上底面半径为米，高为米．
则极目一号体积约为
．
故选：．
8.
【解析】解：依题意甲、乙两人所选课程有如下情形：
有门相同，门都相同，门都不相同，
与互斥不对立，与不互斥，故A，B错误；
，，，
，，
，，
与相互独立，与不相互独立，故C正确，D错误．
故本题选C．
9.
【解析】解：对于，，A正确；
对于，因为第六组有人，第五组有人，
所以，B错误；
对于，分以下的人数为人，C错误；
对于，平均成绩，D正确，
故选：．
10.
【解析】解：由题意可得，，
，，故A正确；
在中，由正弦定理可得，即，
解得，故B正确；
在中，由，可得，，故C错误；
在中，由余弦定理可得，
即，解得，故D正确．
故选：．
11.
【解析】解：如图，
对于：当、分别在、上运动时，若满足，
则线段必过正方形的中心，而平面，
平面平面，故A正确；
对于：当、分别在、上运动时，的面积不变，到平面的距离不变，
棱锥的体积不变，
即三棱锥的体积为定值，故B正确；
对于：若为直角三角形，则必是以为直角的直角三角形，
但的最大值为，而此时，的长大于，
不可能为直角三角形，故C错误；
对于：当、分别为，中点时，
平面与平面所成的角为，
当与重合，与重合时，
平面与平面所成的锐二面角最大，为，等于，
平面与平面所成的锐二面角范围为，故D正确．
故选：．
12.
【解析】解：因为，
则第百分位数为．
故答案为：．
13.
【解析】解：，
复数为纯虚数，，解得．
，．
则．
故答案为：．
14.
【解析】解：三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，，，
根据勾股定理易得，，又，
平面，
设底面三角形的外接圆的半径为，球的半径为，
易知，，
，
，
球的表面积为．
故答案为：．
15.解：Ⅰ，
Ⅱ根据三个式子的结构特征及Ⅰ的计算结果，可以得到：
，
证明如下，
，
故得证．
【解析】Ⅰ由复数的运算得：，
Ⅱ由归纳推理得：，得解．
16.解：，
，，
，
显然，，可知，甲单位的成绩比乙单位稳定，、
故甲单位的职工比乙单位的职工对文明城市知识掌握得更好．
从乙单位名职工中随机抽取名，他们的成绩组成的所有基本事件为，，，，，，，，，，共个．
记“抽取的名职工的成绩差的绝对值不小于”为事件，则事件包含的基本事件为，，，，，共个．由古典概型计算公式可知．
【解析】结合平均数、方差公式，即可求解；
结合列举法，即古典概型的概率公式，即可求解．
17.证明：连接，，在平行四边形中，
为的中点，为的中点，
又为的中点，
，
平面，平面，
平面．
解：取中点，连接，，
为的中点，
，且，
由平面，得平面，
是直线与平面所成的角，
在中，，，，，
，
在中，，
即直线与平面所成角的正切值为．
【解析】连接，，在平行四边形中，由为的中点，知为的中点，再由为的中点，知，由此能够证明平面．
取中点，连接，，由为的中点，知，且，由平面，得平面，故是直线与平面所成的角，由此能求出直线与平面所成角的正切值．
18.解：因为小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为；对落点在上的来球，
小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为．
所以记为事件“小明对落点在上的来球回球的得分为分”，
则，，；
记为事件“小明对落点在上的来球回球的得分为分”，
则，，．
记为事件“小明两次回球的落点中恰有次的落点在乙上”．
由题意，，
由事件的独立性和互斥性，
，
，
小明两次回球的落点中恰有次的落点在乙上的概率为．
由题意，可能的取值为，，，，，，
由事件的独立性和互斥性，得：
，
，
，
，
，
．
【解析】根据题意，分析出得分为的情况，进行求解即可．
根据事件的独立性和互斥性，进行分析即可．
根据事件的独立性和互斥性，由乘法公式进行计算即可．
19.解：因为，
所以，
所以，即，
因为点为的重心，
所以，
所以，解得．
如图，连接，并延长交于点，
由点为的重心，知为的中点，
由，得，
由重心的性质，得，
在中，由余弦定理得，，
在中，由余弦定理得，，
因为，，
所以，
所以，
即，
所以．
因为，
所以，
所以．
【解析】根据已知条件和平面向量的线性运算法则，可得，再结合重心的性质，即可得解；
连接，并延长交于点，在和中，分别利用余弦定理，结合，可得，从而得解；(ⅱ)利用同角三角函数的商数关系与两角和的正弦公式化简已知等式，再结合中结论，即可得解．
第1页，共1页
