2023-2024学年广东省湛江市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是( )
A. B. C. D.
2.如图，下边长方体中由右边的平面图形围成的是( )
A. B.
C. D.
3.下列各组数的方差从小到大排序是( )
，，，，，，，，；，，，，，，，，；
，，，，，，，，；，，，，，，，，．
A. B. C. D.
4.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为( )
A. B. C. D.
5.已知点、、在所在平面内，且，，，则点、、依次为的( )
A. 重心、外心、垂心 B. 重心、外心、内心 C. 外心、重心、垂心 D. 外心、重心、内心
6.在等腰中，，平分且与相交于点，则向量在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现奇数点”，事件“第二枚出现偶数点”，则与的关系是( )
A. 互斥 B. 互为对立 C. 相互独立 D. 相等
8.已知直线，与平面，，，能使的充分条件是( )
A. ， B. ，，
C. ， D. ，
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是( )
A.
B. 若，则面积的最大值为
C. 不可能为锐角三角形
D. 若为的外心，则
10.已知，，方程有一个虚根为，为虚数单位，另一个虚根为，则( )
A. 该方程存在实数根 B. C. D.
11.已知一个不透明袋子中装有大小、质地完全一样的个白球、个红球、个黑球，现从中依次不放回地随机抽取个小球，事件“取到红球和黑球”，事件“第一次取到黑球”，事件“第二次取到黑球”，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数，，若，则的取值范围是______．
13.已知和是两个不共线的向量，，，且与是共线向量，则实数的值是______．
14.如图，透明塑料制成的长方体内灌进一些水，固定容器底面一边于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题：
有水的部分始终呈棱柱形；
没有水的部分始终呈棱柱形；
水面所在四边形的面积为定值；
棱始终与水面所在平面平行；
当容器倾斜如图所示时，是定值．
其中所有正确命题的序号是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，平面，底面为矩形，于点，于点．
求证：平面；
设平面交于点，求证：．
16.本小题分
已知的三个角，，的对边分别为，，．
已知，求边上中线长．
请用，，表示边的中线长，并写出推导过程．
17.本小题分
为检测同学体能，学校从高一年级随机抽取了名同学参加体能测试，并将成绩分数分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图已知第一、二组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同．
估计这名同学体能成绩分数的平均分和第百分位数；
现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人进行成绩分析，第二组同学成绩的平均数和方差分别为和，第四组同学成绩的平均数和方差分别为和，据此估计这次第二组和第四组所有同学成绩的方差．
18.本小题分
是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展，某中学举行了科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为与，乙连续次答错的概率为．
求乙答对题的概率；
若甲、乙两人各回答次，求两人共答对次的概率．
19.本小题分
如图，矩形中，，，过顶点作对角线的垂线，交对角线于点，交边于点，现将沿翻折，形成四面体，如图．
求四面体外接球的体积；
求证：平面平面；
若点为棱的中点，请判断在将沿翻折过程中，直线能否平行于面若能请求出此时的二面角的大小；若不能，请说明理由．
答案解析
1.
【解析】解：的虚部为，以的实部为，
要求的新复数是，
故选：．
2.
【解析】解：根据长方体的平面展开图知，长方体中有个面是阴影部分，两个空白部分是相对部分，
剩余是个阴影部分，所以围成的长方体如图所示：
故选：．
3.
【解析】解：根据方差的意义，方差反映了一组数据的波动大小，故可先求出各组数据的平均数，
组数据的平均数为，方差为；
组数据的平均数为，方差为；
组数据的平均数为，方差为；
组数据的平均数为，方差为，
所以，
故方差从小到大排序是．
故选：．
4.
【解析】解：设上底面半径为，
因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，母线长为，圆台的侧面积为，
所以，解得，
所以圆台较小底面的半径为．
故选：．
5.
【解析】证明：，
到三角形三个顶点的距离相等，
是三角形的外心，
根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有，两个选项，
只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以，
，
，
，
，
同理得到另外两个向量都与相对应的边垂直，
得到是三角形的垂心，
故选：．
6.
【解析】解：如图，根据题意，，，
在上的投影向量为：．
故选：．
7.
【解析】解：由题可知，抛掷两枚质地均匀的骰子，第一枚和第二枚出现点数的分类情况如下，
奇数，奇数，奇数，偶数，偶数，奇数，偶数，偶数，
事件“第一枚出现奇数点”，
事件“第二枚出现偶数点”，
两个事件不相等，排除，
，所以不是互斥事件，排除，，
选项，事件“第一枚出现奇数点”，，
事件“第二枚出现偶数点”，，
事件“第一枚出现奇数点，第二枚出现偶数点”，，
满足，
所以事件和事件是相互独立事件，
故选：．
8.
【解析】解：：由，，得与可能平行，A错误，
：当与相交但不垂直时，也会有，，B错误，
：当，时，与可能平行，C错误，
：当，时，过直线做平面与平面交于直线，，又，，又，，D正确，
故选：．
9.
【解析】解：对于，由正弦定理可得，
，可得，
，故A错误；
对于若，且，
，
由余弦定理得，
由，，可得，当且仅当时，等号成立，
，
面积，可得面积的最大值为，故B正确；
对于若，且，
则，
则可能为锐角三角形，故C错误；
对于，如图所示，作交于点点，
则点为的中点，且，
设，
，
，故D正确．
故选：．
10.
【解析】解：，，方程有一个虚根为，为虚数单位，另一个虚根为，所以C正确；
所以不正确；
，所以B正确；
所以D正确．
故选：．
11.
【解析】解：由题意可知，，
则，故A正确；
，，
，故B错误；
，故C正确；
，
故，故D正确．
故选：．
12.
【解析】解：，，且，
，化简可得，解得．
的取值范围是．
故答案为：．
13.
【解析】解：以和为基底，利用坐标表示，，
由与是共线向量，得，解得．
故答案为：．
14.
【解析】解：棱柱特征：有两个面是相互平行且是全等的多边形，
其余每相邻两个面的交线也相互平行，而这些面都是平行四边形
通过棱柱特征，正确．
水面所在四边形的面积，
从图，图我们发现，有条边长不变，而另外一条长随倾斜度变化而变化，
所在四边形的面积是变化的．不对
棱 始终与平行，与水面始终平行，正确．
水的体积是不变的，高始终是也不变．底面也不会，即是定值．
正确．
所以正确的是：．
故答案为：．
15.证明：四边形为矩形，，
平面，平面，
，
又，平面，平面，
平面，
又平面，
，
又，，平面，平面，
平面；
平面，
，
又，，平面，平面，
平面，
为矩形，，
平面，，
平面，，
平面，
，
平面，
．
【解析】利用线面垂直的判定定理可证得平面，所以，又因为，从而证得平面；
先证平面，所以可得，再证平面，所以，进而证得平面，
16.解：如图所示，取中点为，连接交于点，
，，，
，
又为边的中线，
，
在中，由余弦定理可得，
可得，即边上的中线长；
设的中线长为，
则，
可得，
所以，
所以的中线长为．
【解析】根据所给信息可求出的值与半边长的值，再利用余弦定理便可求得中线长；
根据，将所给条件代入到余弦公式中去，即可求解．
17.解：由题意可知：，
解得：，
则每组的频率依次为：，，，，，
所以平均数为，
因为，，
设第百分位数为，则，
则，解得：，
故第百分位数为；
设第二组、第四组同学成绩的平均数与方差分别为，，，
且两组频率之比为，
所以第二组和第四组所有同学成绩的平均数，
则第二组和第四组所有同学成绩的方差为：
，
故估计第二组和第四组所有同学成绩的方差是．
【解析】根据频率分布直方图的性质并结合题意即可列方程求得，，然后利用平均数和百分位数的公式结合频率分布直方图即可求解；
利用分层抽样中平均数及方差的公式结合题意即可求解．
18.解：设“甲答对每题的概率”为事件，“乙答对每题的概率”为事件，
由已知，，
则乙连续次答错的概率，
由题意得，解得或舍去，
乙答对题的概率为．
事件甲、乙两人各回答次，两人共答对次，可表示为事件甲答对一次、乙次全部答对，
与事件乙只答对一次、甲次全部答对的和事件．
甲答对一次、乙次全部答对的概率为，
乙只答对一次、甲次全部答对的概率为；
故两人共答对次的概率为，
所以甲、乙两人各回答次，两人共答对次的概率为．
【解析】先计算“甲答对每题的概率”，“乙答对每题的概率”，再根据题意求乙答对题的概率即可．
先计算甲答对一次、乙次全部答对的概率，乙只答对一次、甲次全部答对的概率，再进行计算即可．
19.解：取的中点，连接、，因为四边形是矩形，
所以，
所以四面体外接球的半径，
所以四面体外接球的体积；
证明：由题有，，，，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
因为，所以∽，
所以，即，
在中，，所以，
如图，过点作交于点，连接，
易知，且，平面，平面，
所以平面，
假设平面，又，，平面，
所以平面平面，又平面平面，平面平面，
所以，又点为棱的中点，
所以点为线段的中点，
又易知，而，
所以，即点不是线段的中点，
故假设不成立，所以在将沿翻折过程中，直线不能平行于面．
【解析】取的中点，连接、，根据矩形的性质可知四面体外接球的半径，即可求出外接球的体积；
依题意，，即可得到平面，从而得证；
过点作交于点，连接，即可证明平面，再假设平面，即可得到平面平面，由面面平行的性质得到，推出矛盾，即可得解．
第1页，共1页
