2023-2024学年黑龙江省绥化市绥化一中高二下学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，则是成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为( )
A.
B.
C.
D.
4.设随机变量的分布列，则( )
A. B. C. D.
5.记为等比数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
6.已知是周期为的奇函数，当时，设，，则( )
A. B. C. D.
7.某市选派名医生到个乡镇义诊，其中有名男医生、名女医生，要求每个乡镇分配名医生，则每个乡镇均有男医生的分配方法种数为( )
A. B. C. D.
8.已知，是函数的图象上两个不同的点，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的命题是( )
A. 已知随机变量服从正态分布，，则
B. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则
D. 若样本数据，，，方差为，则数据，，，方差为
10.已知函数，则以下结论正确的是( )
A. 为奇函数 B. 在区间上单调递增
C. 曲线在处的切线的斜率为 D. 函数有三个零点
11.如图，该形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中，后人称为“三角垛”“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D. 数列的前项和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数的定义域是，则函数的定义域是 ．
13.在的二项展开式中，若各项系数和为，则项的系数为 ．
14.设正项数列的前项和为，，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在数列中，已知当时，满足．
求数列的通项公式
记，求数列的前项和．
16.本小题分
某学校准备订做新的校服，有正装和运动装两种风格可供选择，为了解学生和家长们的偏好，学校随机调查了名学生及每名学生的一位家长，得到以下的列联表：
更喜欢正装 更喜欢运动装
家长
学生
根据以上数据，判断是否有的把握认为学生与家长对校服风格的偏好有差异；
若从家长中按不同偏好的人数比例用分层随机抽样的方法抽取人进行座谈，再从这人中任选人，记这人中更喜欢正装的家长人数为，求的分布列和数学期望．
附： ，．
17.本小题分
已知函数．
当时，求函数的极值；
求函数单调区间．
18.本小题分
记数列的前项和，．
求的通项公式
设数列的前项和为，证明：．
19.本小题分
某品牌汽车厂今年计划生产万辆轿车，生产每辆轿车都需要安装一个配件，其中由本厂自主生产的配件可以满足的生产需要，其余的要向甲、乙两个配件厂家订购．已知本厂生产配件的成本为元件，从甲、乙两厂订购配件的成本分别为元件和元件，该汽车厂计划将每辆轿车使用配件的平均成本控制为元件．
Ⅰ分别求该汽车厂需要从甲厂和乙厂订购配件的数量；
Ⅱ已知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件的次品率分别为，和，求该厂生产的一辆轿车使用的配件是次品的概率；
Ⅲ现有一辆轿车由于使用了次品配件出现了质量问题，需要返厂维修，维修费用为元，若维修费用由甲厂、乙厂和本厂按照次品配件来自各厂的概率的比例分担，则它们各自应该承担的维修费用分别为多少？
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：在数列中，，，显然，则，
因此数列是以为首项，为公差的等差数列，，所以数列的通项公式是．
由知，，
，
于是，
两式相减得
，
所以．
16.解：由题可知
更喜欢正装 更喜欢运动装 总计
家长
学生
总计
零假设：学生与家长对校服风格的偏好没有差异．
则，
因为，
所以根据小概率值的独立性检验，可以判断假设错误，即认为学生与家长对校服风格的偏好有差异，即有的把握认为学生与家长对校服风格的偏好有差异．
座谈的家长中更喜欢正装的人数为，更喜欢运动装的人数为．
由题意可得的所有可能取值为，，，
则，，，
故的分布列为
所以的数学期望．
17.解：当时，，定义域为，
则，
令，解得或，
当时，，当时，，
当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
所以的极大值为，极小值为；
，
，
当时，时，
时，
即增区间为，减区间为
当时，时，
时，
即增区间为和，减区间为
当时，在上恒成立，即增区间为
当时，时，
时，
即增区间为和，减区间为
综上所述：当时，增区间为，减区间为
当时，增区间为和，减区间为
当时，增区间为，无减区间
当时，增区间为和，减区间为．
18.解：由，可得时，，解得，
当时，由，可得，
上面两式相减可得，
化为，
则是首项和公差均为的等差数列；
故．
，
则，
由是递增数列，可得，
则，即．
19.解：Ⅰ设使用甲厂生产的配件的比例为，则使用乙厂生产的配件的比例为，
由已知可得，解得．
所以需要从甲厂订购配件的数量为万个；
从乙厂订购配件的数量为万个．
Ⅱ由Ⅰ知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件的比例分别为，，，
所以该汽车厂使用的配件的次品率的估计值为，
所以该厂生产的一辆轿车使用的配件是次品的概率为．
Ⅲ设“该轿车使用了次品配件”，“配件来自甲厂”，
“配件来自乙厂”，“配件来自本厂”．
由Ⅱ可知．
该次品配件来自甲厂的概率为：，
该次品配件来自乙厂的概率为：，
该次品配件来自本厂的概率为：，
所以甲厂应承担的费用为元，乙厂应承担的费用为元，
本厂应承担的费用为元．
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