2023-2024学年福建省泉州市泉港区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若分式的值为，则的值是( )
A. B. C. D.
2.下列等式从左到右的变形中，正确的是( )
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中，一次函数的图象一定经过( )
A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限
4.已知直线经过，两点，则与的关系为( )
A. B. C. D.
5.佳佳在射击训练后，对自己的射击成绩单位：环进行分析，方差的计算公式如下：，则下列说法正确的是( )
A. 样本的平均数是 B. 样本的众数是 C. 样本的中位数是 D. 样本的总数是
6.若关于的方程有增根，则的值为( )
A. B. C. D.
7.如图，在 中，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
9.参加“绿化家园”活动，已知乙班同学每小时比甲班多种棵树，甲班同学种棵树与乙班种棵树所用的时间相同设甲班每小时种棵树，则列出的方程是( )
A. B. C. D.
10.在平面直角坐标系中，点，是反比例函数的图象上的两点，，且，则与的关系为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.计算： ______．
12.在平面直角坐标系中，若点在轴上，则 ______．
13.在平面直角坐标系中，直线经过，则 ______．
14.一组由正整数组成的数据：，，，，，若这组数据的众数为，
则为______．
15.如图，将线段平移至，若点，，，，则的值为______．
16.如图，矩形中，，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解分式方程：．
18.本小题分
化简求值：，其中．
19.本小题分
如图，在 中，点，分别在边、上，求证：四边形是平行四边形．
20.本小题分
下面是小东完成“利用直角三角形作矩形”的尺规作图过程：
作法：作线段的垂直平分线交于点；
连结并延长，在延长线上截取；
连结，．
所以四边形为所求作的矩形．
请根据小东的尺规作图，补全图形；要求：尺规作图，保留作图痕迹
求证：四边形是矩形．
21.本小题分
为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园，某校组织初一全体学生参加了“垃圾分类知识”比赛现从该年级随机抽取甲、乙两个班，并从两个班中各抽取名学生的比赛成绩进行整理和分析，成绩得分用表示，共分成五组：组：，组：，组：，组：，组：已知甲班名学生的比赛成绩在组中的数据是：，，，，，：乙班名学生的比赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，将甲班抽取学生的比赛成绩的扇形统计图，甲、乙两班抽取学生的比赛成绩统计表绘制如下．
请根据甲、乙两班抽取学生的比赛成绩统计表，直接写出、的值；
请根据甲班抽取学生的比赛成绩的扇形统计图，求出的值；
你认为甲班与乙班，哪个班学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由．
平均数 中位数 众数
甲班
乙班
22.本小题分
某校科技创新兴趣小组设计了一个直线轨道机器人传递物资的实验机器人甲从点沿着直线轨道出发，秒后机器人乙携带物资立即从点出发，沿着同一直线轨道追寻机器人甲当机器人乙出发秒时，机器人甲以原来的速度原路返回，与机器人乙相遇时，停止运动进行物资传递科技创新兴趣小组将机器人离点的距离厘米与机器人乙所用时间秒之间绘制成函数图象，如图所示请求出机器人甲的速度和函数图象中的值；
求线段所在直线的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
23.本小题分
根据如表所示素材，探索完成任务．
如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润
素材一 某书店为了迎接“读书节”决定购进，两种新书，两种图书的进价分别是每本元、每本元．
素材二 已知种图书的标价是种图书标价的倍，若顾客用元按标价购买图书，能单独购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少本．
素材三 该书店准备用不超过元购进，两种图书共本，且种图书不少于本经市场调查后调整销售方案为：种图书按照标价的折销售，种图书按标价销售．
问题解决
任务一 探求图书的标价 请运用适当方法，求出，两种图书的标价．
任务二 探究进货方案 ，两种图书进货方案一共有多少种？
任务三 确定如何获得最大利润 书店应怎样进货才能获得最大利润？
24.本小题分
【阅读理解】求证：对于任意正实数、，．
证明：，
，
，只有当时，
推论：在、均为正实数中，若为定值，则；当时，有最小值．
根据上述内容，回答下列问题：
问题：若，当 ______时，有最小值为______．
问题：已知，试求出函数的最小值．
问题：如图，已知点、，点为双曲线在第一象限内的点过点作轴于点，轴于点试求出四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状．
25.本小题分
如图，四边形中，，，、分别是、的中点，．
求证：四边形是平行四边形；
已知，为的中点，点是线段上一动点．
当点是线段的中点时，连结求证：；
若，试求出的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.或
17.解：原方程去分母得：，
整理得：，
即，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解是．
18.解：
，
当时，原式．
19.证明：，
，
在四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形．
20.解：如图，四边形即为所求．
证明：垂直平分，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形．
21.解：，；
，
即；
甲班学生掌握垃圾分类知识较好，理由如下：
因为甲、乙班学生成绩的平均数相等，而甲班成绩的中位数大于乙班，
所以甲班高分人数多于乙班．
22.解：机器人甲的速度：厘米秒，
机器人甲离点的距离：，
当时，，
当时，
机器人甲离点的距离：
，，
设所在的直线的解析式为：，
，
解得，
线段所在的直线的解析式为．
23.解：任务一：
设种图书标价元，则种图书标价元．
根据题意，得，
解得，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
此时，
所以种图书标价元，种图书标价元，
答：种图书标价元，种图书标价元；
任务二：
设购进种图书本，则购进种图书本．
依题意得，，
，
又，
，且为整数，
可取个值，
，两种图书进货方案一共有种；
任务三：
设获得的总利润为元，
则
，
，
随的减小而增大，
，且为整数，
当时，取最大值，此时购进种图书本，
答：购进种图书本、种图书本才能获得最大利润．
24.问题：；；
问题：
；
由【阅读理解】知，当，即舍去或时，有最小值，
当时，函数有最小值；
问题：设点，其中，
轴，轴，
，，
，
，
，
，
，
，
只有当，即时，有最小值，
此时，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
25.证明：，，
，
，
四边形是平行四边形；
证明：如图，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
；
解：如图，连接、，
由得：四边形是平行四边形，
，，
、分别是、的中点，，
，
四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
，
，
，
平行四边形是菱形，
垂直平分，
，
，
当点、、三点共线时，的值最小，其最小值为的长，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，，
是等边三角形，
，
为的中点，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
的最小值为．
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