2023-2024学年贵州省黔西南州高二下学期期末教学质量监测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知变量和变量的对随机观测数据为，则这组样本数据的样本相关系数为( )
A. B. C. D.
2.五人站成一排拍照，其中甲乙必须相邻且两人均不能站两端，则不同的站法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.黔西南州某中学为了了解级学生的课外活动情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从男生和女生两层共抽取名学生．已知该校级男生和女生分别有人和人，则不同的抽样结果共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.的二项展开式中，当时，第项的值是，则( )
A. B. C. D.
5.己知，则( )
A. B. C. D.
6.已知随机变量的概率分布列为，其中是常数，则( )
A. B. C. D.
7.甲和乙两个箱子中各装有个球，其中甲箱中有个红球个白球，乙箱中有个红球个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为或，从甲箱子中随机摸出个球；如果点数为，从乙箱子中随机摸出个球．则摸到红球的概率为( )
A. B. C. D.
8.设随机变量的分布列如下其中，表示的方差，则当从增大到时，( )
A. 有最大值也有最小值 B. 无最大值也无最小值
C. 无最大值但有最小值 D. 有最大值但无最小值
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.针对时下的“微短剧热”，某文化公司对观众性别和喜欢微短剧是否有关联进行了一次调查，收集整理数据后将所得结果填入相应的列联表中，由列联表中的数据计算得，参照附表，则下列结论正确的是( )
附表：
A. 根据小概率值的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧有关联”
B. 根据小概率值的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧没有关联”
C. 根据小概率值的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧有关联”
D. 根据小概率值的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧没有关联”
10.若随机变量且，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. 的最小值为 D.
11.下列判断中正确的是( )
A. 一组从小到大排列的数据，若去掉与不去掉，它们的分位数相等，则
B. 已知两组数据与，设它们的平均数分别为与，将它们合并在一起，则总体的平均数为
C. 已知离散型随机变量，则
D. 在线性回归模型中，记样本相关系数为，当的值越接近时，这两个变量的线性相关性越强
12.某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是( ) 参考数据：若，则
A. B.
C. D. 取得最大值时，的估计值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知随机变量，其中，若，则 ．
14.一个袋中装有个小球，编号为，从中任取个，用表示取出的个球编号之和，则 ．
15.己知多项式，则 ．
16.泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值．若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即现已知某种元件的次品率为，抽检个该种元件，则抽到的次品的个数小于的概率约为 参考数据：
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
年月日至日，“康养胜地人文兴义”黔西南州群众文化展演在万峰林举行，共举行了场精彩的布依族刺绣节目，前场的观众人数单位：万人与场次的统计数据如下表所示：
场次编号
观众人数
求与的相关系数结果保留位小数；
已知可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程．
参考公式及参考数据：回归方程中斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为，，相关系数．
18.本小题分
每个国家对退休年龄都有不一样的规定，从年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取人进行调查，调查情况如下表：
年龄段单位：岁
被调查的人数
赞成的人数
从赞成“延迟退休”的人中任选人，此人年龄在的概率为，求出表格中，的值；
若从年龄在的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取人参与某项调查，然后再从这人中随机抽取人参加座谈会，记这人中赞成“延迟退休”的人数为，求的分布列及数学期望．
19.本小题分
观察杨辉三角如图所示的相邻两行，发现三角形的两个腰都是由数字组成的，其余的数都等于它肩上的两个数相加，即已知数列满足．
求数列的通项公式；
请利用上述杨辉三角的性质求数列的前项和．
20.本小题分
今天，中国航天仍然迈着大步向浩瀚宇宙不断探索，取得了举世瞩目的非凡成就某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试满分分，随机抽取了名学生的测试成绩，按照，分组，得到如图所示的样本频率分布直方图：
根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的中位数；
从测试成绩在的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有道题，从中随机挑选出道题进行测试，至少答对道题者才可以进入复赛现有甲、乙两人参加选拔，在这道题中甲能答对道，乙能答对道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立，记甲、乙两人中进入复赛的人数为，求分布列及期望．
21.本小题分
已知函数为自然对数的底数．
当时，求曲线在处的切线方程；
若有极小值且极小值不小于，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知为抛物线的焦点，过点作抛物线的两条相互垂直的弦．
求的值；
过定点任意作抛物线的一条弦，均有，求的值．
答案解析
1.
【解析】作出散点图，如图：
观察图形，得点在一条直线上，
所以这组样本数据的样本相关系数为．
故选：
2.
【解析】由题意，首先将甲、乙两人捆绑，有种方法，
其次将捆绑后的甲、乙安排在中间个位置，有种方法，
最后将剩余人全排列，有种方法，所以不同的站法有种
故选：．
3.
【解析】设男生抽取人，则女生抽取人，由题意得，解得，，
所以不同的抽样结果数为，
故选：
4.
【解析】由题意第项为，且，
所以，显然为奇数，则或，
当时，；当时，；
综上，．
故选：．
5.
【解析】由得，．
故选：．
6.
【解析】由，得，
由，得，
于是，
所以．
故选：
7.
【解析】从甲箱中摸红球：掷到点数为或的概率为，再从甲箱中摸到红球的概率为，
因此从甲箱中摸到红球的概率为；
从乙箱中摸红球：掷到点数为，，，的概率为，再从乙箱中摸到红球的概率为，
因此从乙箱中摸到红球的概率为，
所以摸到红球的概率为．
故选：
8.
【解析】由分布列，得随机变量的期望，
则，
由，得当时，取得最大值，无最小值．
故选：
9.
【解析】依题意，，
根据小概率值的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧有关联”， A正确，B错误；
根据小概率值的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧没有关联”， C错误，D正确．
故选：
10.
【解析】随机变量，
对于，， A正确；
对于，， B错误；
对于，由，得，即，
则，当且仅当时取等号， C正确；
对于，，则， D正确．
故选：
11.
【解析】对于，由，得原数据的分位数为，由，
得去掉后的数据的分位数为，因此， A错误；
对于，依题意，，则总体的平均数为
， B错误；
对于，由，得，则， C正确；
对于，当的值越接近时，这两个变量的线性相关性越强，D正确．
故选：
12.
【解析】对于，依题意，经智能检测系统筛选合格的条件下，通过人工抽检合格的概率
大于直接进入人工抽检合格的概率，即， A正确；
对于，由，得，
又，
于是，即，
因此，即，则， B错误；
对于，
， C正确；
对于，，
设，，
解得，，由，
解得，即，
所以取得最大值时，的估计值为，D正确．
故选：
方法点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：
熟记，，的值
充分利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间面积为．
13.
【解析】由题意，又，故解得，
所以．
故答案为：．
14.
【解析】由题意的可能值分别为，从个球中任取个的总方法为，
和分别为的方法数依次为，
，，，，，
所以，
故答案为：．
15.
【解析】令即得，
令即得，
得，所以，
故答案为：．
16.或
【解析】由已知，
，，
所以抽到的次品的个数小于的概率为，
故答案为：．
17.解：由已知，，
，
，
，
所以；
由已知，
，
所以回归直线方程为．
【解析】根据相关系数公式计算；
由已知公式求出回归方程中的系数得回归方程．
18.解：因为总共抽取人进行调查，所以，
“延迟退休”的人中任选人，此人年龄在的概率为，可得：，所以．
从年龄在的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取人，赞成的抽取人，不赞成的人，在从这人中抽取人，
则随机变量的可能取值为，，．
，
，
，
的分布列为：
所以．
【解析】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．
通过抽取的总人数求解，从赞成“延迟退休”的人中任选人，此人年龄在的概率为，求解；
由已知得的可能取值为，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．
19.解：数列中，由，得，因此数列是常数列，
而，则，解得，
所以数列的通项公式是．
由知，，而，
即当时，，令数列的前项和为，
则
，显然当时，满足上式，
所以数列的前项和．
【解析】根据给定的递推公式，构造常数列求出通项．
利用杨辉三角的性质可得，再结合裂项相消法求和即得．
20.解：成绩落在内的频率为，
成绩落在内的频率为，
成绩落在内的频率为，
由于，，
故该校学生测试成绩的中位数落在内，
设中位数为，则，解得，
故估计该校学生测试成绩的中位数为；
从道题中选道共有种选择，
因为甲能答对其中的道，故甲能进行复赛的情况有种，
故甲能进行复赛的概率为，不能进复赛的概率为，
因为乙能答对其中的道，故乙能进行复赛的情况有种，
故乙能进行复赛的概率为，不能进复赛的概率为，
的可能取值为，
，，，
故分布列如下：
数学期望为．
【解析】本题考查离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
计算出成绩落在各组的频率，得到该校学生测试成绩的中位数落在，设出中位数，得到方程，求出答案；
先得到甲乙分别能进行复赛的概率，进而得到的可能取值及对应的概率，得到分布列，求出数学期望．
21.解：，则，，
显然是增函数，又，所以，
，
切线方程为，即；
由已知，有极小值，则有解，由，得，
设的解为，
时，，递减，时，，递增，
因此为的极小值，
由得，
，
记，
易知函数是减函数，，
当时，，当时，，
所以当时，，
当时，，当时，，
而的极小值不小于，
所以的取值范围是．
【解析】由导数的几何意义求切线方程；
由有解得出的范围，并验证此解为极小值点，求出极小值，再判断出极小值不小于时的参数范围．
22.解：抛物线的焦点，准线方程为，
显然直线不垂直于坐标轴，设直线方程为，则直线方程为，
由消去得：，设，则
于是，同理，
所以．
由过定点任意作抛物线的一条弦，得，显然直线不垂直于轴，
设直线方程为，由消去得：，
设，则，
，同理，
，
因此
，即，
依题意，对任意实数，恒成立，因此，解得，
所以．
【解析】求出抛物线焦点坐标，设出直线方程并与抛物线方程联立，结合抛物线定义求出长，同理可得长，再代入计算即得．
设出直线方程，与抛物线方程联立，利用两点间距离公式，结合韦达定理求出，再借助恒成立求出的值．
第1页，共1页
