二次函数的应用
知识梳理
在公路、桥梁、隧道、城市建筑很多方面都有抛物线形应用；生产和生活，有很多“利润最大”“用料最少”“开支最节约”“线段最短”“面积最大”等问题，它们都有可能用到二次函数关系，用到二次函数的最值.解决这类问题的一般步骤如下.
(1)设自变量;
(2)建立函数解析式；
(3)确定自变量取值范围；
(4)根据顶点坐标公式或配方法求出最值(在自变量的取值范围).
典型例题
例 1
抛物线 交x 轴于点A,B,点 C 是抛物线上一动点,则△ABC 有( ).
A.最大面积为1 B.最大面积为2
C.最小面积为1 D.没有最大面积
解析 设C(x,y)
因为 交x轴于点A,B,
所以|AB|=2.
又因为
所以
且已知点 C 是抛物线上一动点，
所以△ABC 没有最大面积.
例 2
从地面上竖直向上抛出一个小球，小球运动的高度为h(单位：米)与小球运动的时间t(单位：秒)之间的函数解析式是 那么小球运动的最大高度为 .
解析 因为小球运动的高度为h(单位：米)与小球运动的时间t(单位：秒)之间的函数解析式是 所以二次函数抛物线的开口向下，根据二次函数开口向下，小球运动存在最大高度，即当t=1时，小球运动会达到最大高度，此时高度为4.9米.
例3
已知抛物线 与x轴相交于点A,B(点A,B 在原点O 两侧),与y 轴相交于点C，且点 A，C 在一次函数 的图像上,线段 AB 长为16,线段OC 长为8，当y 随着x 的增大而减小时，求自变量x 的取值范围.
解析 因为线段OC长为8，
所以n=8或-8.
当n=-8时,则有A(6,0).
因为抛物线与x轴交点位于x轴两侧，且抛物线过A，C 两点，
所以a>0.
因为AB=16,且A,B 位于x轴的两侧,
所以B(-10,0),
所以由二次函数图像的性质得，二次函数的对称轴为x=-2.
又因为要使得y 随着x 的增大而减小，且二次函数开口向上，
所以x≤-2.
同理可得n=8时,x≥2.
例 4
已知抛物线 与直线
(1)当m 为何实数时，抛物线与直线有两个交点
(2)设坐标原点为O，抛物线与直线的交点从左侧到右侧分别为点 A，B.当直线与抛物线两点交点的横坐标之差为3时，求△AOB 中OB 边上的高.
解析 (1)联立
所以 即
因为抛物线与直线有两个交点，
所以
所以m 取任何实数，抛物线与直线总有两个交点.
(2) 因为
所以
又因为
解得
所以直线的函数表达式为y=x+2，
所以A(-1,1),B(2,4),
所以∠BAO=90°,
所以
双基训练
1.抛物线 交 x 轴于点A,B,点C 是抛物线上一动点,则△ABC( ).
A.最大面积为1 B.最大面积为2 C.最小面积为1 D.没有最大面积
2.用长8m的铝合金做成如图所示形状的矩形窗框，要求窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积为( ).
C.4m
3.已知某商品的销售利润 y(元)与该商品销售单价 x(元)之间满足 关系，则获利最多为( ).
A. 4500 元 B.5500 元 C. 6500 元 D. 20000 元
4.若抛物线 的图像与x轴的一个交点坐标为(1，0)，另外一个交点坐标为( ).
A.(3,0) B.(0,3) C. (-3,0) D. (0,-3)
5.已知二次函数 的图像与x 轴有交点，则k 的取值范围是( ).
且k≠0
且k≠0
6.已知有一抛物线形的拱桥洞，最大高度为4m，跨度为20m，现在建立如图所示的直角坐标系，则抛物线的解析式为( ).
7.二次函数 与x 轴交点个数为( ).
A. 1 B.2 C.3 D. 4
8.有一批商品，每件进价为70元，若每件售价为100元，则每天可以卖出20件.若该商品在一定范围内每降价1元，其日销量就增加1件，为获得利润最大，这种商品的销售单价应降价( ).
A.5 元 B. 10 元 C. 15 元 D. 20 元
9.已知二次函数 的图像如图所示，对称轴为x=1，则下列结论正确的是( ).
A. ac>0
B. 方程 的两根是
C.2a-b=0
D.当x>0时，y随x的增大而减小
10.在一个等腰直角三角形的内部作一个矩形，其中等腰直角三角形的腰长为20cm，则矩形面积的最大值是 .
11.如图所示，以O 点为顶点的两条抛物线分别经过正方形的四个顶点A，B，C，D，则阴影部分的面积为 .
12.已知二次函数，当x=1时，最值为 16，且图像在x 轴上截得线段长度为8，则二次函数的解析式为 .
13.已知抛物线的顶点是(3，-2)，且在x轴上截得的线段长度为6，抛物线的解析式为
14.如果抛物线 开口向下，则k 的取值范围是 .
15.已知二次函数 当x>2时，y随x增大而增大，则实数 m 的取值范围是 .
16. 已知点 在二次函数 的图像上，若 则y y (填“>”“=”或“<”).
17.已知△ABC中,AB与AB边上高的和为20.求:
(1) S△ABC与AB 的关系.
(2) AB 为何值时,S△ABC的面积最大
18.已知函数 与 x 轴有交点，求 k 的取值范围.
19.用一块长为2m的矩形铁皮折成截面为等腰梯形的水槽，如图所示，即折线ABCD 的长为2m，已知梯形的一个底角为 求:
(1)水槽截面面积. 与侧面宽x(m)之间函数解析式.
(2)要使得水槽截面面积最大，它侧面宽应该是多长
能力提升
20.某建筑师为了美化建筑物的外表，把某大厦窗户下半部分设计为抛物线形状，如图所示,两条抛物线关于 y 轴对称,AE∥x 轴,. ,最低点 C 在x 轴上,高 BD=2cm,则右边抛物线 DFE 的解析式为( ).
21.已知抛物线 与 x 轴没有交点，则y=cx+1的图像不经过的象限为( ).
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
22.已知二次函数 当自变量 x 取m 时，其相应函数取值小于0，那么下列结论正确的是( ).
A. m-1的函数值小于0
B. m-1的函数值大于0
C. m-1的函数值等于0
D.m-1的函数值与0的大小关系不能确定
23.已知二次函数 的图像如图所示，若一元二次方程 有实数根，则m 的最大值为( ).
A. -3 B.3
C. -6 D.9
24.如图所示,等边△ABC 的边长为3cm,动点 P 从点 A 出发,以每秒 1cm的速度,沿 A→B→C 的方向运动,到达 C 时停止.
设运动时间为x(秒),y=PC ,则则y关于x 函数的图像大致为( ).
25.已知二次函数 的图像经过点A(-1,1),则ab有( ).
A.最小值0 B.最大值 C. 最大值0 D.最小值
26.如图所示，把抛物线 平移得到抛物线m，抛物线m 经过点A(8，0)和原点，顶点为 B，它的对称轴与抛物线 交于C，则阴影部分面积为 .
27.如图所示,平行四边形ABCD 中, ,一动点 P 从A 点出发，以1cm/s的速度沿 A→B→C 的路线做匀速运动，过点 P 作直线PM，使 当点 P 运动2s时,设直线 PM 与AD 交于E,则△APE 的面积为 .
28.已知a+b+c=0,把抛物线 向下平移1个单位，再向左平移5 个单位，所得新抛物线的顶点是(-2，0)，求原抛物线解析式.
29.某小区有一长为100m，宽为80m的空地，现将其建成花园广场，设计图案如图所示，阴影区域为绿化区(四块绿化区为全等矩形)，空白区域为活动区，且四周出口一样宽，宽度不小于50m，不大于 60m，预计活动区每平方米造价60元，绿化区每平方米造价50元.
(1)设其中一块绿化区的边长是xm，写出工程总价y(元)与x(元)的函数解析式(写出x 的取值范围).
(2)如果小区投资 46.9万元，问能否完成工程任务 若能，请写出x 为整数所有的工程方案；若不能，说明理由(参考数据
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30.已知二次函数 的图像如图所示，给出以下结论：
①b >4ac;②abc>0;③2a-b=0;④8a+c<0;
其中结论正确的是 .(填正确结论的序号)
31.已知抛物线 与
(1)当m 为何值时，抛物线与直线有两个交点
(2)设坐标原点为O，抛物线与直线的交点从左向右分别为A，B，当直线与抛物线两个交点的横坐标之差为3时，求 中OB 边上的高.
32.“城市发展，交通先行”，成都市今年在中心城区启动了缓堵保畅的二环路高架桥快速通道建设工程，建设后大大提升了二环路通行能力.研究表明，某种情况下，高架桥上的车速速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数，且当( 时, 当 时，v 是一次函数，函数关系如图所示.
(1) 求当 时，v关于x的函数解析式.
(2)若车流速度不低于50千米/时，求当车流密度x 为多少时，车流量 P(单位：辆/时)达到最大 并求出最大值.
注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度×车密度.
33.某水渠的截面呈抛物线形状，水面的宽度为AB(单位：米)，现以AB 所在的直线为x轴，一抛物线的对称轴为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O，已知 米，设解析式为
(1) 求a 的值.
(2)点 )是抛物线上一点，点C 关于原点O的对称点为点D，连接CD，BC，BD，求 的面积.
34.如图所示，一次函数. 的图像与x 轴和y轴分别交于A(6，0)和. 线段 AB 的垂直平分线交x轴于点C，交AB 于点 D.
(1)试确定这个一次函数解析式.
(2)求A，B，C三点抛物线函数解析式.
1-5 DBAAD 6-9 CBAB
10. 100cm 11. 1 12. y=-(x-1) +16
14. k<-4 15.m≥-2 16.>
17. (1) 设AB=x,S△ABC=y,则 (2)x=10时,y有最大值50
18. k≤3
20-25 BDABCD
26.16 27. cm
(2) 能.方案一:长为23m,宽为 13m;
方案二:长为24m,宽为14m;
方案三:长为25m,宽为15m.
30.①函数图像与x 轴有两个交点，因此
②函数图像开口向上，故有a>0；与 y轴交点为负数，因此c<0；函数对称轴为 因此b<0,即有:abc>0.
③函数对称轴为 则有2a+b=0.
④因为2a+b=0,所以
若要判断8a+c与0的大小关系，即判断x=-2时y与0的大小关系，
由图形结合二次函数，可得8a+c>0.
⑤若要判断9a+3b+c与0的关系,即判断x=3时y与0的关系.
由图形结合二次函数的对称性得:x=3与x=-1时y值相等,则有 9a+3b+c<0.
因此结论正确的有：①②⑤.
所以 即:
所以 m 取任何实数，抛物线与直线总有交点.
(2) 因为
所以
由题意得： 解得：
所以直线函数表达式为y=x+2，
所以A(-1,1),B(2,4),
因为
所以
所以∠BAO=90°,
所以
32.(1) 设函数解析式为v=kx+b,
则
解得
故 v关于x的函数表达式为：
(2) 当v≥50时,包含v=80,由函数图像可知,
当v=80时,0
由题意得， 解得:x≤88.
又
当28
所以当x=88时,P 取得最大值4400,
答：当车流密度到88辆/千米时，车流量 P 达到最大，最大值为4400辆/时.
(2)15平方米
