三角形的内切圆
知识梳理
和三角形各边相切的圆叫作三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心.
典型例题
例1
如图所示,点 I 是△ABC 的内心,点O 是△ABC 的外心,若∠BIC=120°,则∠BOC=
解析 三角形的内心是三角形角平分线的交点.
因为I 是△ABC 的内心,
所以
因为
所以
又因为点 O 是△ABC 的外心,
所以
所以
例2
已知 的面积为 周长为24cm,则 的内切圆的半径为 .
解析 设 的 所对应的边分别为a，b，c，三角形内切圆的半径为r.
假设⊙O 为 的内切圆,且与AB、BC、AC 的切点为D、E、F.
连接OD,OE,OF ,OA,OB,OC,
则有OD⊥AB.
在△ABO 中,
同理
又因为△ABC 的面积为8cm ,周长为24cm,
所以
例3
如图所示,⊙O内切于△ABC,切点分别为D,E,F,已知 ,连接 DE,DF,那么∠EDF= .
解析 因为在△ABC中,∠B=55°,∠C=60°,
所以∠A=65°.
又因为⊙O 内切于△ABC,E,F 为切点,
所以∠AEO=∠AFO=90°,
所以∠EOF=115°.
根据圆的圆心角与圆周角的关系，
则有∠EOF=2∠EDF,
所以∠EDF=57.5°.
双基训练
1.如果一个三角形的内切圆心与外接圆的圆心重合，那么这个三角形是( ).
A.等腰三角形 B.正三角形 C.直角三角形 D.任意三角形
2.正三角形的内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则内切圆的面积S 与外接圆的面积S 之间的关系式为( ).
3.如图所示,⊙O 内切于△ABC,切点为 D,E,F,已知∠B=40°,∠C=70°,连接DE,DF,那么∠EDF=( ).
A. 25° B. 35°
C.45° D.55°
4.在Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=25,AC=20,则它的内切圆直径等于( ).
A.5 B. 10
C.15 D. 20
5. 如图所示,⊙O 内切 于 △ABC,若 则 ∠A= .
6.如图所示,⊙O 是△ABC 的内切圆,切点分别为 D,E,F,∠BOF=35°,∠FOE=140°,则∠C= .
7.如图所示,已知⊙O 是△ABC 的内切圆,且∠ACB=80°,∠BOC=115°,则∠ABC= .
8.如图所示,在△ABC 中,内切圆⊙O 与边BC,CA,AB 分别相切于点 D,F,E.若∠A=60°,则∠FDE= .
9.如图所示,Rt△ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB,BC 分别相切于点D,E,过劣弧DE(不包括端点 D,E)上任意一点 P 作⊙O 的切线MN 与AB,BC 分别交于点M,N,若⊙O的半径为2,则 Rt△MBN 的周长为 .
10.如图所示,△ABC中,AB=12,AC=9,BC=7,⊙O 为△ABC 的内切圆,切点分别为D,E,F,则BF= .
11.如图所示，等边三角形 ABC 的边长为6，内切圆⊙O 切 BC 边于点 D，则图中阴影部分面积为 .
如图所示，⊙O 是边长为a 的正三角形ABC 的内切圆，则图中阴影部分的面积为 .
能力提升
13.如图所示,在. 中, 点 P 在边AC 上,. 若⊙O 的圆心在线段BP 上,且⊙O 与AB,AC 相切,则⊙O 的半径为( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
14.如图所示,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,⊙O 与( 分别为△ABC 与△ADC 的内 切圆,E,F 为切点,则EF= .
15.如图所示，在直角坐标系中，有一正方形ABCD，反比例函数 的图像经过正方形AOBC 对角线的交点，半径为 的圆内切于△ABC,则k 的值为 .
16.如图所示,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,⊙O 为内切圆,E 为切点,若. 则 DO= .
如图所示，△ABC的三边满足关系式 O,I分别为 的外心和内心,∠BAC 的外角平分线交⊙O 于 E,AI 的延长线交⊙O 于 D,DE 交 BC 于 H,若AI=2,则BD= .
拓展资源
18.如图所示,O 是 的内心，过 O 作 ,与 AC,BC 分别交于点E,F,则( ).
A. EF>AE+BF
19.如图所示，已知边长为2的正三角形ABC 内有一个边长为1的内接正三角形 DEF，则 的内切圆的半径为 .
20.如图所示,⊙O 的半径为1,点 P 是⊙O 上一点,弦AB 垂直平分线段OP,点 D 是弧APB 上任意一点(与端点 A,B 不重合),DE⊥AB 于点E,以点 D 为圆心,DE 长为半径作⊙D，分别过点 A，B 作⊙D 的切线，两条切线相交于点 C.
(1) 求弦 AB 的长.
(2) 判断. 是否为定值，若是，求∠ACB 的大小，否则说明理由.
(3)记△ABC 的面积为S,若 求△ABC 的周长.
1-4 BDDA
5.60° 6.30° 7.50° 8.60° 9.410.5
13. A 14. 1 15. 4 16.3 17.2
18. 连接OA,OB.
因为O是△ABC的内心,
所以 OA,OB 分别是∠CAB 及∠ABC 的平分线,
所以∠EAO=∠OAB,∠ABO=∠FBO.
因为 EF∥AB,
所以∠AOE=∠OAB,∠BOF=∠ABO,
所以∠EAO=∠AOE,∠FBO=∠BDF,
所以AE=OE,OF=BF,
所以EF=AE+BF.
19.
如图(1)所示,⊙I是△ABC的内切圆,由切线定理可得:AD=AE,BD=BF,CE=CF,
如图(2)所示,△ABC,△DEF 为正三角形,
所以AB=BC=CA,EF=FD=DE,∠BAC=∠B=∠C=∠FED=∠EFD=∠EDF=60°,
所以∠1+∠2=∠2+∠3=120°,∠1=∠3,
所以△AEF≌△CFD.
同理证明:△AEF≌△CFD≌△BDE,
所以BE=AF,即AE+AF=AE+BE=a.
设 M 为△AEF 的内心,MH⊥AE 于 H,
则
因为 MA 平分∠BAC.
所以∠HAM=30°,
所以
20.(1) 连接OA,取OP 与AB 的交点为F,则有OA=1.
因为弦 AB 垂直平分线段OP，
所以
在 Rt△OAF 中,
所以
(2) ∠ACB 是定值.
由(1)易知,∠AOB=120°.
因为点 D 为△ABC 的内心,
所以连接AD,BD,则∠CAB=2∠DAE,∠CBA=2∠DBA.
因为
所以∠CAB+∠CBA=120°,
所以∠ACB=60°.
(3)记△ABC的周长为l,取AC,BC 与⊙D 的切点分别为G,H,连接DG,DC,DH.
则有 DG=DH=DE,DG⊥AC,DH⊥BC,
所以
因为
所以
所以
因为 CG,CH 是⊙D 的切线,
所以
所以在 Rt△CGD 中,
所以
又因为由切线定理可知AG=AE,BH=BE,
所以
则
所以△ABC 的周长为
