2023-2024学年广东省汕尾市高二下学期7月期末教学质量检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知是三角形一内角，若，则( )
A. B. C. D.
3.集合，，是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则( )
A. 若，，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
5.在的展开式中，的系数是( )
A. B. C. D.
6.某地区有名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为( )参考数据：，，．
A. B. C. D.
7.某校高二年级开展课外实践活动，数学建模课题组的学生选择测量凤山妈祖石像的高度．如图，为测量石像的高度，在距离平台米高的处测得石像顶的仰角为；后退米到达距离平台米高的处测得石像顶的仰角为，则石像的高度为 米．
A. B. C. D.
8.是直线上的一动点，过作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数的图象在点处的切线平行于直线，则点的坐标可以为( )
A. B. C. D.
10.，若在上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
11.端午节期间，某城市举行龙舟比赛，龙舟比赛途经桥、桥、桥、桥及桥，活动期间在座桥边各设置个志愿者服务点．现有名志愿者参加其中三座桥一桥、桥及桥的服务，要求这三个服务点都有人参加，记事件为“甲在桥服务点”，事件为“乙和丙分到一起”，则( )
A. 事件与事件相互独立 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是等比数列，若，则 ．
13.已知双曲线的对称中心是原点，对称轴是坐标轴，若轴上一点到双曲线的渐近线距离为，则的离心率为 ．
14.若函数有两个零点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列是公差为的等差数列，且满足，，成等比数列．
求数列的通项公式；
已知数列的前项和为，求使不等式成立的的最小值．
16.本小题分
已知动点到直线的距离比到点距离多个单位长度，设动点的轨迹为．
求的方程；
已知过点的直线交于，两点，且为坐标原点的面积为，求的方程．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为的中点．
证明：平面．
若平面与平面的夹角为，求的长．
18.本小题分
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的件产品作为样本称出它们的质量单位：克，质量的分组区间为，，，由此得到样本的频率分布直方图如图．
根据频率分布直方图，求质量超过克的产品数量；
在上述抽取的件产品中任取件，设为质量超过克的产品数量，求的分布列；
从该流水线上任取件产品，设为质量超过克的产品数量，求的分布列．
19.本小题分
已知函数为正实数．
讨论函数极值点的个数；
若有两个不同的极值点．
证明：；
设恰有三个不同的零点若，且，证明：．
答案解析
1.
【解析】根据题意，，
所以的虚部为．
故选：
2.
【解析】因为是三角形一内角，，
所以，
由，得，，
因为，所以，
解得或舍去．
故选：
3.
【解析】因为，
，
所以真包含于，所以是的充分不必要条件．
故选：
4.
【解析】解：由是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，知：
在中，若，，，，
由线面垂直的判定定理可知，当直线，相交时才能得到，
若直线，平行，则不能推出，故A错误；
在中，若，，则，又，则可得，故B正确；
在中，若，，则，又，则，故C错误；
在中，若，，，则与相交、平行或异面，故D错误．
故选：．
5.
【解析】由，
令，解得，
所以，
故选：
6.
【解析】解：由题意可知， ，
则数学成绩位于的人数为 ．
故选：
7.
【解析】依题意，，，，
所以，所以，
则，
所以，即石像的高度为米
故选：
8.
【解析】解：由对称性可知，，
圆的圆心为，半径，
，的最小值为圆心到直线的距离，
即，
故的最小值为，所以的最小值为，
四边形面积的最小值为．
故选B．
9.
【解析】解：设，
因为，
又函数的切线平行，
则，
所以或，
代入函数，
则或．
故选AC．
10.
【解析】因为在上的投影向量为，
所以，解得，故 A正确；
由，可知，故 B错误；
因为，所以，故 C错误；
因为，所以，故 D正确．
故选：
11.
【解析】选项，名志愿者参加其中三座桥，桥、桥及桥的服务，
要求这三个服务点都有人参加，可以分为和，
其中分为时，共有种情况，
其中分为时，共有种情况，
故共有种，
其中甲独自在桥服务点，此时剩余名志愿者可以分为和，
当剩余名志愿者分为时，有种情况，
当剩余名志愿者分为时，有种情况，
当甲和另外一个人在桥服务点，从剩余名志愿者先选人，剩余人，分为两组，故有种情况，
当甲和另外人在桥服务点，从剩余名志愿者先选人，剩余人，分为两组，故有种情况，
故，
所以， B正确；
选项，乙和丙分到一起，当名志愿者分为时，有种情况，
当名志愿者分为时，先从剩余名志愿者选择人和乙，丙一起，再将剩余人进行全排列，有种情况，
故， C错误；
选项，表示甲在桥服务点，乙和丙分到一起，
若甲单独在桥服务点，乙和丙分到一起，且名志愿者分为，则有种情况，
若甲单独在桥服务点，乙和丙分到一起，且名志愿者分为，从剩余人中选择人和乙，丙一起，有种情况，
若甲和另外一个人在桥服务点，先从除了乙，丙外的剩余名志愿者选人，再进行排列，则有种情况，
当甲和另外人在桥服务点，则一定是和乙，丙一起，剩余人进行全排列，共有种情况，
综上，，，
因为，故事件与事件相互独立， A正确；
选项，， D正确．
故选：
12.
【解析】由等比数列的通项公式可知，，即，
所以，
故答案为：
13.或
【解析】若焦点在轴上，设双曲线方程为，则渐近线方程为，
即，则点到双曲线的渐近线距离，
所以，所以，则，所以离心率；
若焦点在轴上，设双曲线方程为，则渐近线方程为，
即，则点到双曲线的渐近线距离，
所以，所以离心率；
综上可得双曲线的离心率为或．
故答案为：或
14.
【解析】由函数有两个零点，
即方程有两个解，即有两个解，
令，函数为过点的直线，
若，则直线与曲线只有一个交点，不符合题意，
所以，先求过点曲线的切线，设切点为，
由，则，切线方程为，
将点代入方程，，得，
因为，而在上单调递增，
在上单调递减，所以方程只有一解，为，
故过点曲线的切线斜率为，
若直线与曲线有两个交点，则，
此时函数有两个零点
故答案为：．
15.解：等差数列的公差为，由，，成等比数列，得，
解得，
所以数列的通项公式是；
由知，，
由，得，
即，而，解得，又，所以．
【解析】根据给定条件，列式求出数列的首项即可求出通项
求出数列的前项和，再列式解不等式即得．
16.
因为动点到直线的距离比到点距离多个单位长度，
所以动点到直线的距离和到点距离相等，
故曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，
所以曲线的方程为．
设，
易知直线的斜率不为，故可设直线的方程为，
联立，消去得，，
所以，
，
解得，
所以直线的方程为或．
【解析】根据抛物线的定义求解即可；
设直线的方程为，联立抛物线方程消去，然后利用韦达定理结合面积即可求解．
17.
连接交于点，连接，如图，
因为为的中点，为的中点，
所以．
又平面，平面，
所以平面．
因为平面，，平面，
所以，．
又，所以，，两两互相垂直，
故以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间坐标系如图所示，
设，则，，，，，
所以，．
显然为平面的一个法向量．
设平面的一个法向量为，
则即
令，得，
因为平面与平面的夹角为，
所以，
解得或舍去，即
【解析】证明，再由线面平行的判定定理得证；
由，，两两互相垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面夹角即可得解．
18.解：质量超过克的产品的频率为，
所以质量超过克的产品数量为件．
重量超过的产品数量为件，则重量未超过克的产品数量为件，的取值为，，，
服从超几何分布．
，
，
，
的分布列为
根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过克的概率为．
从流水线上任取件产品互不影响，该问题可看成次独立重复试验，质量超过克的件数的可能取值为，，，且，
，
所以，
，
．
的分布列为
【解析】根据频率分布直方图计算出重量超过克的产品频率，与样本容量相乘即可；
列出随机变量的所有可能的取值，分别计算出对应概率，列出分布列求期望即可．
列出随机变量的所有可能的取值，分别计算出对应概率，列出分布列求期望即可．
19.
，
设，
因为开口向下，，
所以当时，恒成立，即，
所以在上单调递减，无极值点；
当时，令，解得，且，
所以在上单调递增；在和上单调递减；此时有两个极值点，
综上，当时，无极值点；
当时，有两个极值点．
证明：由题意及可知，且，
又因为，
所以．
证明：由知，，，
由及知，
所以．
若证，即证，
不妨设，则，
由得，
要证，只需证，
再两边去对数得，
即，
即证，
令，则，
再令，则，
所以在内单调递减，
又，则在单调递减，
由得，且，
所以，即，
综上，．
【解析】求导后利用导数等于零再结合二次函数的性质判断极值点情况即可；
由和对数的运算性质得到，可证明；由和可得，问题转化为即证，再对已知等式变形为，问题进一步转化为即证，然后构造函数求导，再对导数的分子构造函数求导分析单调性即可证明．
第1页，共1页
