2023-2024学年四川省自贡市高一下学期期末考试数学试题
一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共55分。
1.在中，( )
A. B. C. D.
2.复数对应的点( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.为了了解学生们的身体状况，某学校决定采用按比例分层抽样的方法，从高一、高二、高三三个年级共抽取人进行各项指标测试．已知高三年级有人，高二年级有人，高一年级有人，则高二年级抽取的人数为( )
A. B. C. D.
4.水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，则的面积是( )
A. B. C. D.
5.若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点在直线上的概率是( )
A. B. C. D.
6.在中，，则的面积为( )
A. B. C. D.
7.已知中，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8.图是唐朝著名的风鸟花卉纹浮雕银杯，它的盛酒部分可以近似地看作半球与圆柱的组合体如图设这种酒杯内壁的表面积为，半球的半径为 ，若半球的体积不小于圆柱体积，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.设向量满足，且，则以下结论正确的是( )
A. B.
C. D. 向量与夹角为
10.下列命题中真命题是( )
A. 如果不同直线、都平行于平面，则，一定不相交
B. 如果不同直线，都垂直于平面，则，一定平行
C. 如果平面、互相平行，若直线，直线，则
D. 如果平面、互相垂直，且直线，也互相垂直，若，则
11.一家公司为了解客户对公司新产品的满意度，随机选取了名客户进行评分调查，根据评分数进行适当分组后每组为左闭右开的区间，画出的频率分布直方图如图所示，其中有名客户的评分数落在内，则( )
A. 图中的
B.
C. 同组数据用该组区间的中点值作代表，则评分数的平均数为
D. 该公司计划邀请评分数低于第百分位数的客户参与产品改进会议，若客户甲的评分数为，则甲将会被邀请参与产品改进会议
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数，其中为虚数单位，则 ．
13.数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，正八面体就是其中之一正八面体由八个等边三角形构成，也可以看作由上、下两个正方锥体黏合而成，每个正方锥体由四个三角形与一个正方形组成如图，在正八面体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ．
14.如图在平面四边形中，，点在线段上满足，若，则 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.分某高校的入学面试中有道难度相当的题目，小李答对每道题目的概率为，若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到题目，则面试通过，否则就一直抽题到第次为止．假设对抽到的不同题目能否答对是相互独立的．
用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间；
求小李最后通过面试的概率．
16.分已知向量．
证明：；
与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
17.分我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水标准单位：，月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了位居民某年的月均用水量单位：，将数据按照分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值；若该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于的人数；
若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准，估计的值．
18.分如图，在边长为的菱形中，分别是的中点，将沿折起，使点到的位置，且．
若平面平面，判断与的位置关系并说明理由；
求直线与平面所成角的正弦值；
求二面角大小的余弦值．
19.分在中，内角所对的边分别为．
若，求证：；
在条件下，若均为锐角，求的取值范围．
若为锐角且，求周长的最小值．
答案解析
1.
【解析】．
故选：．
2.
【解析】由题意可得：，
可知对应的点为，位于第一象限．
故选：．
3.
【解析】根据按比例分层抽样的抽样可知：
高二年级抽取的人数为．
故选：
4.
【解析】解：由题可知，为直角三角形，
且，
所以，
5.
【解析】若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点有种可能，
其中满足的数对有，共种可能，
所以点在直线上的概率是．
故选：．
6.
【解析】由余弦定理可得，即，
整理可得，解得，
所以的面积为．
故选：．
7.
【解析】因为，则，即，
又因为，即，可知点为的中点，
且，则，即，
则，且，
可得，
所以在上投影向量为．
故选：．
8.
【解析】解：设圆柱的高为 ，
因为半球的半径为 ，半球的体积不小于圆柱体积，
所以 ，
解得 ，即 ．
所以 ．
故选：．
9.
【解析】向量满足，且，
则，所以，故， A正确；
， B错误；
， C正确；
由，得， D错误．
故选：
10.
【解析】解：对于，如果不同直线、都平行于平面，
则、可能平行、相交或异面，A错误；
对于，如果不同直线，都垂直于平面，
根据线面垂直的性质知，一定平行，正确；
对于，如果平面、互相平行，若直线，直线，
则或异面， C错误；
对于，如果平面、互相垂直，且直线，也互相垂直，
若，则或或，
也可能和相交但不垂直， D错误，
故选：．
11.
【解析】由频率分布直方图可知：，解之得， A错误；
评分落在内的有人，所以， B正确；
评分的平均数为， C正确；
，所以第百分位数在组，设其为，
则，，
所以甲会被邀请，D正确．
故答案为：
12.
【解析】由复数，可得，则，所以．
故答案为：．
13.
【解析】解：取棱的中点，连接，．
因为，分别是棱，的中点，所以，
则或其补角是异面直线与所成的角．
设，则，
正方形中，
，
正三角形中，
，
在中，由余弦定理可得，
，
则异面直线与所成角的余弦值是．
故答案为：．
14. 或
【解析】以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设，
则有，
，过作轴于，，
，所以，
，，，
因为，
所以，
所以，，解得：
则的值为．
故答案为：．
15.解：用表示答对题目，用表示没有答对题目，
样本点依次为，故样本空间
由题意，李明未通过的概率为，
所以李明通过面试的概率为．
【解析】先阅读题意，然后一一列出样本空间即可；
先求出未通过面试的概率，结合对立事件的概率求法，即可求解．
16.解：根据题意，，
则，所以；
与的夹角为钝角，，
则，
解得，
若向量，则，得，经验证满足同向共线，
所以且．
【解析】求出的坐标，根据平面向量垂直的坐标运算证明；
转化为，且不平行．
17.解：由题意可知：每组的频率依次为，
则，解得；
因为全市居民中月均用水量不低于的频率为，
所以估计全市居民中月均用水量不低于的人数为万
因为，，
可知，则，解得．
【解析】根据频率和为求的值；进而求用水量不低于的频率和人数；
分析可知，列式求解即可．
18.解：，理由如下：
由分别是的中点，得，而平面，平面，
则平面，又平面平面，平面，
所以．
令，连接，由是菱形，，得都是正三角形，
则，，而平面，
于是平面，又平面，则平面平面，
在平面内过作于，由平面平面，
因此平面，连接，则是直线与平面所成的角，
在正中，，，
，则，
于是，，
所以直线与平面所成角的正弦值是．
在中，，
即，显然，则有，同理，
取的中点，连接，则，有，
因此是二面角的平面角，而，
则，
所以二面角大小的余弦值是．
【解析】利用线面平行的判定、性质判断推理即得．
令，连接，求出点到平面的距离即可求得线面角的正弦．
取的中点，探求二面角的平面角，再利用余弦定理计算即可．
19.解：因为，由正弦定理可得，
又因为，
代入可得，即，
因为，则，故，
可得或，即或舍去，
所以．
因为为锐角三角形，，所以，
由题意可得，解得；
因为，
因为，则，可得，
令，则在上单调递增，
且，可知，
所以的取值范围为．
因为，
可得，
因为为锐角，则有：
若，即，则，
且在内单调递增，
可得，且，，
即，，
可得，不合题意；
若，即，则，
且在内单调递增，
可得，且，，
即，，
可得，不合题意；
若，即，则，，
即，，
可得，符合题意；
综上所述：，即，可得，
又因为，即，
可得，
当且仅当时，等号成立，
则，所以周长的最小值为
【解析】根据题意，由正弦定理和三角形的内角和的性质，化简得到，进而证得；
根据题意求得，由化简得到，结合对勾函数的单调性即可求解；
整理可得，分类讨论之间的大小关系，可得，进而可得，结合基本不等式运算求解．
第1页，共1页
