一课一练(五十二) 机械振动
[基础训练]
1．(2024·山东烟台诊断)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置位于坐标原点O，简谐运动的振幅为A＝0.1 m．t＝0时刻振子的位移为x1＝－0.1 m，t＝1 s时刻振子的位移为x2＝0.1 m，则振子做简谐运动的周期可能为( )
A．4 s B．3 s C．0.5 s D． s
2．(2024·湖北武汉高三月考)光滑的水平面上叠放有质量分别为m和的两木块，下方木块与一劲度系数为k的弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上，如图所示，已知两木块之间的最大静摩擦力为f，为使这两个木块组成的系统像一个整体一样地振动，则系统的最大振幅为( )
A． B． C． D．
3．(多选)如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为小球的平衡位置，其振动方程为x＝5sin cm.下列说法正确的是( )
A．MN间距离为5 cm
B．小球的运动周期是0.2 s
C．t＝0时，小球位于N点
D．t＝0.05 s时，小球具有最大加速度
4．(2024·广东深圳调研)(多选)如图甲所示，把小球安装在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球和弹簧穿在光滑的水平杆上．小球振动时，沿垂直于振动方向以速度v匀速拉动纸带，纸带上可留下痕迹，a、b是纸带上的两点，不计阻力，如图乙所示．由此可判断( )
A．t时间内小球运动的路程为vt
B．小球和弹簧组成的系统机械能守恒
C．小球通过a点的速度大于通过b点时的速度
D．如果小球以较小的振幅振动，周期也会变小
5．(2024·山东枣庄模拟)(多选)装有砂粒的试管竖直静浮于水面，如图所示，现将试管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动，若取竖直向上为正方向，则以下描述试管的位移、速度随时间变化的图像正确的是( )
6．(2024·山东青岛黄岛期中)如图甲所示是演示简谐运动图像的装置．当盛沙漏斗下面的薄木板N被匀速地拉出时，摆动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的关系，板上的直线OO′代表时间轴．如图乙所示是两个摆中的沙在各自木板上形成的曲线，若板N1和板N2拉动的速度v1和v2的关系为v2＝2v1，则板N1、N2上曲线所代表的振动的周期T1和T2的关系正确的是( )
A．T2＝T1 B．T2＝T1
C．T2＝T1 D．T2＝2T1
7．(2024·北京八中质检)实验小组用如图甲所示的装置做“用单摆测定重力加速度”的实验．
(1)将单摆正确悬挂后进行如下操作，其中正确的是________．
A．测量摆线长时用手将摆线沿竖直方向拉紧
B．把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动
C．在摆球经过平衡位置时开始计时
D．用停表测量单摆完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期
(2)甲同学多次改变单摆的摆长并测得相应的周期，他根据测量数据画出了如图乙所示的图像，但忘记在图中标明横坐标所代表的物理量．你认为横坐标所代表的物理量是________(填“l2”“l”或“”)，若图线斜率为k，则重力加速度g＝________(用k表示)．
(3)乙同学实验时误将摆线长记为摆长l，当他用(2)中甲同学的方法处理数据后，________(填“能”或“不能”)得到正确的重力加速度值．
[能力提升]
8．如图甲所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆，a、c摆的摆长相同且小于b摆的摆长．当a摆振动的时候，通过张紧的绳子给其他各摆施加驱动力，使其余各摆也振动起来．图乙是c摆稳定以后的振动图像，重力加速度为g，不计空气阻力，则( )
A．a、b、c单摆的固有周期关系为Ta＝Tc
C．由图乙可知，此时b摆的周期大于t0
D．由图乙可知，此时b摆的周期小于t0
9．(2024·江西吉安期末)如图所示，一弹簧振子在AB之间做简谐运动，周期为T，下列说法正确的是( )
A．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子的位移大小相等，方向相反，则Δt一定等于的整数倍
B．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子速度大小相等，方向相反，则Δt一定等于的整数倍
C．若Δt＝，则在这段Δt的时间内，振子的路程一定等于振幅
D．若Δt＝，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子速度的大小一定相等
10．(2022·浙江6月选考)如图所示，一根固定在墙上的水平光滑杆，两端分别固定着相同的轻弹簧，两弹簧自由端相距x.套在杆上的小球从中点以初速度v向右运动，小球将做周期为T的往复运动，则( )
A．小球做简谐运动
B．小球动能的变化周期为
C．两根弹簧的总弹性势能的变化周期为T
D．小球的初速度为时，其运动周期为2T
11．如图甲所示，某学习小组在实验室做“探究单摆的周期与摆长的关系”的实验．
(1)若用停表测出单摆完成n次全振动所用的时间t.请写出周期的表达式T＝________.
(2)若利用拉力传感器记录拉力随时间变化的关系，由图乙可知，该单摆的周期T＝________s.
(3)在多次改变摆线长度测量后，根据实验数据，利用计算机作出周期与摆线长度的关系(T2 L)图线，并根据图线拟合得到方程T2＝kL＋b，由此可知当地的重力加速度g＝________，摆球半径r＝________.(用k、b、π表示)
答案及解析
1.解析：t＝0时刻振子的位移为x1＝－0.1 m，t＝1 s时刻振子的位移为x2＝0.1 m，则T＝1 s，解得T＝ s(n＝0,1,2，…)，当n＝0时，T＝2 s，当n＝1时，T＝ s，随着n的增大，周期变小，D正确．
答案：D
2．解析：在最大位移处，对整体进行受力分析，由牛顿第二定律得kA＝a，对上面木块，进行受力分析，两木块间的最大静摩擦力f＝a，联立解得最大振幅A＝，D正确．
答案：D
3．解析：MN间距离为2A＝10 cm，故A错误；因ω＝10π rad/s，可知小球的运动周期是T＝＝ s＝0.2 s，故B正确；由x＝5sin cm可知，t＝0时，x1＝5 cm，即小球位于N点，故C正确；由x＝5sin cm可知，t＝0.05 s时，x2＝0，此时小球位于O点，小球加速度为零，故D错误．
答案：BC
4． 解析：vt是时间t内纸带运动的路程，并不是小球的运动路程，A错误；小球振动过程只有弹簧的弹力做功，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，B正确；由题图乙可知，小球通过a点时更衡位置，其速度大于通过b点时的速度，C正确；小球的运动是简谐运动，其振动周期与振幅无关，D错误．
答案：BC
5．解析：装有砂粒的试管竖直静浮于水面，重力等于浮力，此时试管所处的位置即为平衡位置．现将试管竖直提起少许，则有重力大于浮力，由静止释放并开始计时，试管向下做加速度减小的加速运动，到平衡位置速度最大，由于题目中是取竖直向上为正方向，故试管刚开始速度为零，第一次到达平衡位置速度为负的最大值，故A正确，B错误；根据上面的分析，在t＝0时，试管处于平衡位置的上方最高点，所以位移为正的最大值，经四分之一个周期到达平衡位置，位移随时间按余弦规律变化，故C错误，D正确．
答案：AD
6．解析：由题图可知，薄木板被匀速拉出的距离相同，且v2＝2v1，则木板N1上时间轴长度代表的时间t1是木板N2上时间轴长度代表的时间t2的两倍，即t1＝2t2，由题图乙可知T1＝t1，T2＝t2，从而得出T2＝T1，A正确．
答案：A
7． 解析：(1)测量摆线长时若用手将摆线沿竖直方向拉紧，摆长测量值偏大，故选项A错误；把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，回复力和位移的关系满足简谐运动的特征，故选项B正确；摆球在过平衡位置时可以清楚看到它经过竖杆，以此参照可以准确开始计时，故选项C正确；用停表测量单摆完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期，误差较大，故选项D错误．
(2)根据单摆周期公式T＝2π及题图乙图线为过坐标原点的倾斜直线，可知横坐标所代表的物理量是；结合图像有＝k，解得g＝.
(3)若考虑小球的半径d，则单摆周期为T＝ ，可知该函数图线与题图乙图线平行，斜率不变，即使将摆线长记为摆长，仍能得到正确的重力加速度值．
答案：(1)BC (2) (3)能
8．解析：由单摆的周期公式T＝2π可知，摆长越长，单摆的周期越大，因此Ta＝Tc
9． 解析：若t时刻和(t＋Δt)时刻振子的位移大小相等，方向相反，则振子在两时刻相对于平衡位置O对称，Δt不一定等于的整数倍，A错误；若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动速度大小相等，方向相反，则振子在两时刻相对于平衡位置O对称或者相对于A(或B)距离相等，Δt不一定等于的整数倍，B错误；振子在平衡位置附近运动快，因此Δt＝内，振子的路程可能大于振幅，C错误；相差半个周期的振子的位置一定关于平衡位置对称，运动速度大小一定相等，方向相反，D正确．
答案：D
10．解析：物体做简谐运动的条件是它在运动中所受回复力与位移成正比，且方向总是指向平衡位置，可知小球在杆中点到接触弹簧过程，所受合力为零，此过程做匀速直线运动，故小球不是做简谐运动，A错误；假设杆中点为O，小球向右压缩弹簧至最大压缩量时的位置为A，小球向左压缩弹簧至最大压缩量时的位置为B，可知小球做周期为T的往复运动过程为O→A→O→B→O，根据对称性可知小球从O→A→O与O→B→O，这两个过程的动能变化完全一致，两根弹簧的总弹性势能的变化完全一致，故小球动能的变化周期为，两根弹簧的总弹性势能的变化周期为，B正确，C错误；小球的初速度为时，可知小球在匀速阶段的时间变为原来的2倍，接触弹簧过程，根据弹簧振子周期公式T0＝2π，可知接触弹簧过程所用时间与速度无关，即接触弹簧过程时间保持不变，故小球的初速度为时，其运动周期应小于2T，D错误．
答案：B
11．解析：(1)单摆完成n次全振动所用的时间为t，则周期的表达式T＝.
(2)单摆摆动过程中，每次经过最低点时拉力最大，每次经过最高点时拉力最小，拉力变化的周期为1.0 s，故单摆的周期为2.0 s.
(3)根据T＝2π得T2＝L′，知图线的斜率k＝，因此g＝；而L′＝L＋r，则T2＝L＋ r，图线拟合得到方程T2＝kL＋b，因此摆球半径r＝.
答案：(1) (2)2.0 (3)
