山东省泰安市2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试卷
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、选择题
1.已知函数,则的值为( )
A.1 B. C.2 D.e
2.若函数,则( )
A. B.
C. D.
3.函数的图象如图所示,是函数的导函数,则下列数值排序正确的是( )
A. B.
C. D.
4.在的展开式中,含的项的系数是( )
A. B. C.69 D.70
5.为了落实五育并举,全面发展学生素质,学校准备组建书法、音乐、美术、体育社团,现将6名同学分配到这4个社团进行培训,每名同学只分配到1个社团,每个社团至少分配1名同学,则不同的分配方案的种数为( )
A.1200 B.1560 C.2640 D.4800
6.已知对任意实数x,,则下列结论成立的是( )
A. B.
C. D.
7.已知,,,则( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数,,其导函数分别为,,且,则必有( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9.已知,则下列结论正确的是( )
A.有三个零点
B.有两个极值点
C.若方程有三个实数根,则
D.曲线关于点对称
10.现有4个编号为1,2,3,4的不同的球和5个编号为1,2,3,4,5的不同的盒子,把球全部放入盒子内,则下列说法正确的是( )
A.共有种不同的放法
B.恰有一个盒子不放球,共有120种放法
C.每个盒子内只放一个球,恰有2个盒子的编号与球的编号相同,不同的放法有24种
D.将4个不同的球换成相同的球,恰有一个空盒的放法有5种
11.在探究的展开式的二项式系数性质时,我们把二项式系数写成一张表,借助它发现二项式系数的一些规律,我们称这个表为杨辉三角(如图1),小明在学完杨辉三角之后进行类比探究,将的展开式按x的升幂排列,将各项系数列表如下(如图2):
上表图2中第n行的第m个数用表示,即展开式中的系数为,则( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题
12.现有四种不同颜色的彩灯装饰五面体的六个顶点,要求A,B用同一种颜色的彩灯,其它各棱的两个顶点挂不同颜色的彩灯,则不同的装饰方案共有________种.(用数字作答)
13.已知不等式恒成立,则实数a的取值范围是________.
四、双空题
14.已知的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等,且常数项与展开式中的常数项相等,则________,________.
五、解答题
15.已知函数.
(1)求在处的切线方程;
(2)求的极值.
16.从甲、乙、丙等7人中选出5人排成一排.(以下问题均用数字作答)
(1)甲、乙、丙三人恰有两人在内,有多少种排法
(2)甲、乙、丙三人全在内,且甲在乙、丙之间(可以不相邻)有多少种排法
(3)甲、乙、丙都在内,且甲、乙必须相邻,甲、丙不相邻,有多少种排法
17.已知的展开式中,所有项的系数之和是512.
(1)求展开式中有理项有几项;
(2)求展开式中系数绝对值最大的项是第几项.
18.已知函数,.
(1)若,讨论函数的单调性;
(2)若,且,求证:.
19.①在高等数学中,关于极限的计算,常会用到:i)四则运算法则:如果,,则,,若,则;ii)洛必达法则1:若函数,的导函数分别为,,且,则;②设,k是大于1的正整数,若函数满足:对,均有成立,则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息,回答下列问题:
(1)计算:①;
②;
(2)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数;并证明:,.
参考答案
1.答案:C
解析:函数,则,故,
所以.
故选:C.
2.答案:D
解析:由,
故选:D.
3.答案:B
解析:由函数的图象可知为单调递增函数,
故函数在每一处的导数值,即得,,
设,,则A,B连线的斜率为,
由于曲线是上升的,故,所以,
作出曲线在,处的切线,设为,,A,B连线为,
结合图象可得,,的斜率满足,
即,即.
故选:B.
4.答案:A
解析:的展开式中,
含的项为,
所以的项的系数是.
故选:A.
5.答案:B
解析:先将6名同学分为1,1,2,2或1,1,1,3的四组,共有种,
再将4组分到书法、音乐、美术、体育社团,共有种,
所以共有种.
故选:B.
6.答案:C
解析:因(*)
对于A项,当时,代入(*)可得,当时,代入(*)可得,所以,故A项错误;
对于B项,当时,代入(*)可得,
又,所以,故B项错误;
对于C项,当时,代入(*)可得,故C项正确;
对于D项,对(*)两边求导可得,
当时,,故D项错误
故选:C.
7.答案:D
解析:令,则,
当时,,当时,,
所以在单调递减,在上单调递增,
又,,,且,,
所以,,
故选:D.
8.答案:A
解析:由可得,,
设,,
则,
故函数在上单调递增,所以,
即,
所以.
故选:A.
9.答案:BC
解析:,
令解得,令解得或,
所以在单调递增,单调递减,单调递增,
因为,极大值,且极小值,
所以在有一个零点,共1个零点,A错误;
由A知,函数有1,3两个极值点,故B正确;
由A知,函数在单调递增,单调递减,单调递增,
且时,,时,,
所以方程有三个实数根,需,即,故C正确;
因为,所以点在函数图象上,
又点关于点的对称点为,而,
即不是函数图象上的点,
故函数不关于点对称,故D错误.
故选:BC.
10.答案:ABD
解析:对于A,每个球都有5种放法,共有种放法,故A正确;
对于B,把球全部放入盒子内,恰有一个盒子不放球,则有4个盒子每个盒子放1个球,有种放法,故B正确;
对于C,每个盒子内只放一个球,恰有2个盒子的编号与球的编号相同,不同的放法有种放法,故C错误;
对于D,将4个不同的球换成相同的球,恰有一个空盒,即有4个盒子每个盒子放1个球的放法有5种,故D正确,
故选:ABD.
11.答案:BCD
解析:依据题意结合图2可知图2中每一行的每一个数等于其上一行头顶和左右肩上共三个数的和(没有的用0代替),
如:第四行的第三个数10,等于上一行头顶上的数3加上左右肩上的数1和6;
第三行中的第二个数3,等于上一行头顶上的数1加上左右肩上的数0(左肩上没有数,故用0代替)和2;
所以,
对于A,由上,故A错;
对于B,由图可知,,,,
以此类推可得,故B对;
对于C,由上可知正确,故C对;
对于D,
因为,
,
则,
所以根据乘法规则的展开式中的系数为:
,
又,
其通项为,
因为,故展开式中的系数为0,
故,故D正确.
故选:BCD.
12.答案:
解析:首先给A,B两个顶点挂彩灯,有4种方法,再给C顶点挂彩灯,有3种方法,
①若D、F挂同一种颜色的彩灯,则有2种方法,
最后挂E点有2种方法,故有种;
②若D、F挂不同种颜色的彩灯,此时挂D点有2种方法,挂F点有1种方法,
最后挂E点有1种方法,故有种;
综上可得一共有种不同的方法.
故答案为:.
13.答案:
解析:由可得,即恒成立,
令,
则不等式可化为:,
令,则,
所以,当时,,在上单调递减;当时,,在上单调递增.
所以,
故要使恒成立,只需,即,即,
令,,所以,
令,则,
所以时,,在上单调递增,且当时,,
时,,在上单调递减,且当时,,
所以,
故.
故答案为:.
14.答案:4;3
解析:中第二项和第四项的二项式系数分别为和,所以,根据组合数的性质可得.
对于,易得通项公式为,其中令得,所以常数项为.
在中,取得常数的项情况有两种:选2个x,1个,0个a;或者选0个x,0个,3个a.
所以常数项为,解得.
故答案为:4;3.
15.答案:(1)
(2)有极大值为,无极小值
解析:(1),
,又,
在处的切线方程为,
即切线方程为.
(2)令,解得,
当x变化时,,的变化情况如下表所示,
x 2
+ 0 -
单调递增 单调递减
当时,有极大值,并且极大值为,无极小值.
16.答案:(1)1440种
(2)240种
(3)216种
解析:(1)由于甲、乙、丙三人中恰有两人在内,所以可以分3步完成:
第1步,从3人中选中2人,有种选法.
第2步,从其余4人中选出3人,有种选法.
第3步,将选出的5个人全排列,有种排法.
根据分步乘法计数原理,不同的排法有种;
(2)由于三人全在内,且甲在乙、丙之间,所以可以分3步完成:
第1步,从其余4人中选出2人,有种选法.
第2步,将2人安排到5个位置,有种方法.
第3步,剩余3个位置排甲、乙、丙三人,有2种方法
根据分步乘法计数原理,不同排法有种;
(3)由于甲、乙必须相邻,甲、丙不相邻,所以分3步完成:
第1步:从其余4人中选出2人,有种选法.
第2步:将甲、乙捆绑与选出的2人排列,有种方法.
第3步:将丙插空有3种方法.
根据分步乘法计数原理,不同排法共有种.
17.答案:(1)有4项
(2)第3项
解析:(1)所有项的系数之和是512.
令,得,,
展开式的通项:,,
令,,3,6,9,
展开式中有理项共有4项.
(2)设第项系数的绝对值最大.
则,解得.
,,
展开式中系数绝对值最大的项为第3项.
18.答案:(1)答案见解析
(2)证明见解析
解析:(1)
.
①当时,令,解得,
当时,,单调递增;当时,,单调递减;
在上单调递减,在上单调递增.
②当时,令,解得或,
当即时,在上单调递增,
在上单调递减,在上单调递增,
当即时,在R上单调递增,
当即时,在单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
综上所述:当时,在上单调递减,在上单调递增,
当时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
当时,在上单调递增,
当时,在上单调递增;在上单调递减,在上单调递增.
(2),
恒成立,
在上单调递增,且,
设
,,
设,,
,
令,解得,
当时,,单调递增,当时,,单调递减,
,
,
,
不妨设,则,
,
,
,
在上单调递增,
,即.
19.答案:(1)①1;②
(2)是,证明见解析
解析:(1)①根据洛必达法则1,.
②设,则,
设,,
,
.
(2),,
,则,,
,
,均有,
是区间上的2阶无穷递降函数.
方法一:由以上同理可得,
由①,得
,.
方法二:,
设,,则,
设.,则,
在上单调递增,又,
在上恒成立,
在上单调递增,,
在上恒成立,,
在上单调递增,
又
,.