江苏省扬州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．设复数z满足，则( )
A. B. C. D.
2．方程的解所在区间为( )
A. B. C. D.
3．数据的45百分位数为( )
A.73 B.76 C.77 D.78
4．已知平面向量，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5．如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点C，D，E.从D点测得，从C点测得，从E点测得.若测得，（单位：百米），则A，B两点的距离为( )百米.
A. B. C. D.3
6．在正方体中，E，F，G，H分别是棱，AB，BC，的中点，下列结论正确的是( ).
A. B.
C.平面 D.平面平面
7．如图，在中，D，E是BC上的两个三等分点，，，，则的值为( )
A.50 B.80 C.86 D.110
8．已知，则的值( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
10．连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷，结果向上的点数小于3”记为事件A，“第二次抛掷，结果向上的点数是偶数”记为事件B，“两次抛掷，结果向上的点数之和为奇数”记为事件C，则下列叙述中正确的有( )
A.A与B互斥 B.A与C相互独立
C.B与C对立 D.
11．如图，正方形ABCD的中心为O，边长为4，将其沿对角线AC折成直二面角，设M为的中点，N为BC的中点，则下列结论正确的有( )
A.三棱锥的外接球表面积为
B.直线MN与平面ABC所成角的正切值为
C.点C到平面OMN的距离为
D.三角形MON沿直线MN旋转一周得到的旋转体的体积为
三、填空题
12．已知一个正四棱台的体积为，上 下底面边长分别为，则棱台的高为__________.
13．若复数z满足，则的最小值是__________.
四、双空题
14．已知的面积为S满足条件，则__________.；若，延长CB至点D，使得，则__________.
五、解答题
15．已知，.设.
（1）若A，B，C三点共线，求的值；
（2）若，求的值.
16．某保险公司为了给年龄在20~70岁的民众提供某种医疗保障，设计了一款针对某疾病的保险.现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，并按年龄段，，，，分成了五组，其频率分布直方图如图所示，每人每年所缴纳的保费与参保年龄如下表所示：
年龄
保费（单位：元） x
（1）若采用分层抽样的方法，从年龄段在和内的参保人员中共抽取6人进行问卷调查，再从中选取2人进行调查对该种保险的满意度，求这2人中恰好有1人年龄段在内的概率.
（2）由于10000人参加保险，该公司每年为此项保险支出的各种费用为200万元.为使公司不亏本，则年龄段的参保人员每人每年需要缴纳的保费至少为多少元？
17．已知函数.
（1）当时，求函数的值域；
（2）求函数在区间上的所有零点之和.
18．如图，在斜三棱柱中，侧面为菱形，，，，M为AB中点，与的交点为N.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面ABC；
（3）求二面角的正弦值.
19．如图所示，已知是以AB为斜边的等腰直角三角形，在中，，，.
（1）若，求的面积；
（2）①求的值；
②求的最大值.
参考答案
1．答案：D
解析：由，得，所以，故选D.
2．答案：C
解析：令，则在上单调递增，且，，，的零点所在区间为，
即方程的解所在区间为．故选：C．
3．答案：B
解析：因为数据63，65，70，73，76，78，80，84，88，90共10个，所以，所以该组数据的45百分位数为第5个数76
4．答案：A
解析：
5．答案：D
解析：
6．答案：C
解析：选CA.EF与为异面直线，故A不正确；
B.与FG不垂直，故B不正确；
D.平面与平面相交，故D不正确；故选C
7．答案：B
解析：
8．答案：D
解析：
综上所述，答案选择：D
9．答案：ABD
解析：对于A，，，，为中最大边，且，
，有唯一解，故A正确.
对于B，，，，
，
由正弦定理得
，
，
有唯一解，故B正确.
对于C，，，
由正弦定理得，
当B为锐角时，;当B为钝角时，，
有两个解，故C不正确.
对于D，，，，
由余弦定理得，
有唯一解，故D正确.故选：ABD
10．答案：BD
解析：对于A，A与B可同时发生，故A与B不互斥，故A错误;
对于B，，，，，故A与C相互独立，故B正确;
对于C，B与C可能同时发生，故B与C不对立，故C错误;
对于D，，故D正确.故选BD.
11．答案：ACD
解析：
12．答案：
解析：
13．答案：
解析：设，则
，表示在以为圆心，半径为1的圆上，
表示与原点的距离
的最小值为
综上所述，答案:1
14．答案：；
解析：由，得，
所以，
又，所以.
在中，由正弦定理得，
即，所以，
在中，由余弦定理得，
即，
即，
所以，
解得，
所以，所以，
所以.
15．答案：（1）；（2）
解析：（1）因为，
，
又因为A，B，C三点共线，所以，则，解得.
（2），，即
.
16．答案：（1）；（2）250
解析：（1）由，得，
设“抽取2人中恰好有1人年龄段在内”为事件M.
由题设可知，年龄在和内的频率分别为0.16和0.32，则抽取的6人中，年龄在内的有2人，年龄在内的有4人.
记年龄在内2位参保人员为a，b，年龄在的4位参保人员为A，B，C，D，则从6人中任取2人，样本空间，共包含15个样本点，共包含8个样本点，所以.
（2）保险公司每年收取的保费为：
，
所以要使公司不亏本，则，即，解得，即保费元，所以年齗段需要缴纳的保费至少为250元.
17．答案：（1）；（2）
解析：（1）
因为，所以，
所以，则的值域为；
（2）因为，所以，由得
所以，，，，，解得，，，，，
所以函数在区间上的所有零点之和为.
18．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
解析：（1）如图（1），连接.
由三棱柱可知侧面为平行四边形，所以N为中点；
又因为M为AB中点，所以，
又平面，平面，所以平面；
（2）如图（2），连接MC，.
由菱形可知，，因为，可得为等边三角形；
因为M是AB中点，所以，且；
因为为直角三角形，且，
所以；因为，可得，所以，，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC；
（3）由（2）可知平面ABC，因为平面，所以平面平面ABC；
如图（3），过点C作，垂足为H，过H作，垂足为K，连接CK.
因为平面ABC，平面平面ABC，所以平面，
因为平面平面，所以，；
因为，，平面CHK，平面CHK，所以平面CHK，
又平面CHK，所以，
所以为二面角的平面角
在中，，，，可得，，
在中，，，可得，
在中，，可得，
因为，所以，
即二面角的正弦值为.
19．答案：（1）；（2）①27；②
解析：（1）在中，由余弦定理得，，
且是等腰直角三角形，则.
（2）①设，，因为，，
由余弦定理可得，，
，即；
②在中，，
由正弦定理可得，则，
，，又，
在中，由余弦定理得
（其中为锐角，且），
由，可得，
所以当时，即时，取得最大值.
