2023-2024学年江西省重点中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是( )
A. 通过圆台侧面一点，有无数条母线
B. 棱柱的底面一定是平行四边形
C. 用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台
D. 圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形
2.的值是( )
A. B. C. D.
3.设复数满足，在复平面内对应的点为，则( )
A. B.
C. D.
4.已知，，则( )
A. B. C. D. 或
5.已知，为异面直线，平面，平面直线满足，，，，则( )
A. 且 B. 且
C. 与相交，且交线垂直于 D. 与相交，且交线平行于
6.已知函数图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有点( )
A. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
B. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
C. 先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
D. 先将横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
7.已知，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
8.已知函数在区间上的最大值为，则实数的取值个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合，其中为虚数单位，则下列元素属于集合的是( )
A. B. C. D.
10.已知，满足：对任意，恒有，则( )
A. B.
C. D.
11.如图，在棱长均相等的四棱锥中，为底面正方形的中心，，分别为侧棱，的中点，其中正确的结论是( )
A. 平面
B. 平面平面
C.
D. 直线与所成角的大小为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为 ．
13.如图所示为水平放置的正方形，在平面直角坐标系中，点的坐标为，用斜二测画法画出它的直观图四边形，则点到轴的距离为______．
14.已知函数的图象过点和且当时，恒成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，其中为虚数单位
求复数；
若复数所对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
16.本小题分
如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，．
证明：平面平面；
设，圆锥的侧面积为，求三棱锥的体积．
17.本小题分
平面向量，，，点为直线上的一个动点．
当取得最小值时，求的坐标；
当点满足的条件和结论时，求的值．
18.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点为单位圆与轴正半轴的交点，点为单位圆上的一点，且，点沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点．
当时，求的值；
设，求的取值范围．
19.本小题分
已知三棱锥的棱、、两两互相垂直，且．
若点、分别在线段、上，且，，求二面角的余弦值；
若以顶点为球心，为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交，试求交线长是多少？
参考答案
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15.解：复数，，
；
，
复数所对应的点在第四象限，
，
解得．
实数的取值范围是．
16.解：连接，，，是底面的内接正三角形，
所以．
是圆锥底面的圆心，所以：，
所以，
所以≌≌，
由于．
所以
所以，，，平面，
由于，
所以平面，
由于平面，
所以：平面平面．
设圆锥的底面半径为，圆锥的母线长为，
所以．
由于圆锥的侧面积为，
所以，整理得，
解得．
所以．
由于，解得
则：．
17.解：设，
点为直线上的一个动点，
向量与共线，
，
即，
，
当且仅当时得取得最小值，
此时；
当时，，，
．
18.解：由三角函数的定义可得，，
当时，，即，
．
，
，
，
，则，
，
则，
即的取值范围为．
19.解：因为、、两两垂直，，
，平面，，所以平面，
，
过点作于，连接，则，
又平面，所以，又，平面，，
所以平面，又平面，所以 ，
即为的平面角，
在中，，
所以二面角的余弦值．
，，
所以以为球心，为半径的球与三棱锥交于四段弧，
平面与球面相交所成的弧是以为圆心，
为半径的圆弧；
平面与球面相交，得到的弧是以为圆心，为半径的弧，
，，又为锐角，
所以，所对圆心角，所以；
由对称性可知，平面与球面相交所得到弧长与情况相同，长度也为；
，
所以为等边三角形，，
点到的距离等于，
所以平面与球面相交得到弧长，
所以交线长．
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