已知整点个数求取值范围
方法突破练
1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与x轴交于点A，B.若线段AB上(包含端点)有且只有5个点的横坐标为整数，求m的取值范围.
2.在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点.抛物线 与x轴的交点为A，B，抛物线与线段AB所围成的区域记为 W(不含边界).若区域W内有2个整点，求m的取值范围.
3.在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点.抛物线 的顶点为A，直线 与抛物线交于点 B，C(点 B在点 C的左侧)，抛物线与线段 BC围成的封闭区域(不含边界)记为W.若区域W内有2个整点，求a的取值范围.
设问进阶练
例 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.
(1)若抛物线与直线 所围成的封闭区域 (不含边界)内恰好有4个整点，求m的取值范围；
(2)若抛物线与双曲线 所围成的封闭区域 (不含边界)内有2个整点，求m的取值范围；
(3) 创新题·抛物线旋转考整点将抛物线绕点 旋转 得到新抛物线 ，新抛物线 '与y轴交于点 C.若线段OC 上的整点个数小于4，求m的取值范围.
综合强化练
1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于O(0,0),A(4,0)两点,与直线 交于点 B，抛物线顶点 C 的纵坐标为
(1)求抛物线的解析式；
(2)当 且 时，求k的值；
(3)我们把横、纵坐标均为整数的点叫做整点.将线段OB，OA及抛物线上的AB段围成的封闭区域(不含边界)记为M，若区域M内恰好没有整点，求k的取值范围.
作图区 答题区
2.如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC的边OA，OC分别在x轴和y轴的正半轴上，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点.反比例函数 的图象经过边 BC的中点，已知抛物线
(1)若抛物线经过点 B，求抛物线的解析式；
(2)当抛物线与反比例函数的图象及x轴所围成的封闭区域内恰好只有2个整点(不包含抛物线与坐标轴上的点)，且落在正方形内或边上，求a的取值范围.
作图区 答题区
一阶 方法突破练
1. 解:∵
∴抛物线的顶点坐标为(1，-3)，抛物线的对称轴为直线x=1(由二次函数解析式确定顶点坐标及对称轴),
∵线段AB 上有且只有5个点的横坐标为整数，
∴这些整数为-1，0，1，2，3(使区域内整点个数接近题目所给的整点个数)，
∵抛物线顶点坐标为(1，-3)，且抛物线与x轴相交于点A,B,∴m>0,
∴抛物线与x轴的右边交点横坐标3≤x<4，
当x=3时,y=4m-3≤0,∴m≤3/4,
当x=4时,y=9m-3>0,
(找临界点代入解析式中确定字母的取值范围)，∴m的取值范围为
2.解：如解图，当m=1时，区域W内有1个整点，且抛物线的顶点为(1,-2),
∵抛物线的对称轴为直线 是确定的，
∴抛物线的顶点在对称轴上上下移动，
当抛物线顶点过(1,-3)时,m=2,区域W内有2个整点，
结合函数图象，m的取值范围为1
当抛物线经过(0，1)且区域 W 内有2个整点，此时a=1,
由函数图象可知，如果区域W内有2个整点，a的取值范围为
二阶 设问进阶练
例 解：(1)由抛物线 可得，
抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，m-3)，如解图①，当抛物线的顶点为(1，-2)时，此时抛物线与直线y=-x+2 所围成的区域W 内(不含边界)有4个整点,分别为(0,0),(0,1),(1,0),(1,-1),
则m-3=-2,解得m=1,
当抛物线的顶点为(1，-1)时，此时抛物线与直线y=-x+2 所围成的区域W 内(不含边界)有2个整点,分别为(0,1),(1,0),
则m-3=-1,解得m=2,
∴综上所述，m的取值范围为1≤m<2;
(2)由(1)知,抛物线 的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,m-3),
如解图②,当m-3=-3,即m=0时,抛物线为y= 此时抛物线与双曲线 围成的封闭区域W 内(不含边界)的整点个数为0；
若m-3=-4,即m=-1时,抛物线为 此时抛物线与双曲线 围成的封闭区域W 内(不含边界)有2个整点,分别为(1,-3)(2,-2);
∴m的取值范围为-1≤m<0.
(3)∵原抛物线顶点为(1，m-3)，将抛物线绕点M(-1,0)旋转 180°,
∴新抛物线y'的顶点为(-3,3-m),
∴新抛物线y'的解析式为 点 C 的坐标为(0,-6-m)..
∵线段OC上的整点个数小于4，
∴|-6-ml<3,解得-9
∴m的取值范围为-9
1. 解:(1)∵ 抛物线 过点 O(0,0),A(4,0) C 点横坐标为2，
∵ C点纵坐标为-3,∴C点坐标为(2,-3),将A，C两点的坐标代入. 中,得 解得
∴抛物线的解析式为
(2)【思路点拨】设出点 B 的坐标，根据 2S△AOB 求出点 B 的横坐标,由点B 在直线y=kx上求解即可.
∵点A的坐标为(4,0),∴OA=4,
∵ 点 C的坐标为( 设点 B 坐标为
解得
∵0
当 时，将 代入y=kx,解得
当 时，将 代入y=kx,解得
∴k的值为 或
(3)【思路点拨】根据整点的定义再结合区域M 内没有整点，由正比例函数y=kx上点的坐标特征找出临界点，画出草图求解即可.
如解图,当k<0时,直线y=kx过(3,-1)时,区域M内没有整点，此时
∴当 时，区域M内没有整点，
当k>0时,直线y=kx过(4,1)时,区域M内没有整点，此时
∴当 时，区域M内没有整点，
∴当 或 时，区域M内没有整点.
2.解：(1)【思路点拨】设出正方形的边长，根据反比例函数的图象经过边 BC 的中点，可以确定点B的坐标，将点B的坐标代入抛物线的解析式求解即可.
设正方形的边长为2m，则BC 的中点坐标为(m，2m),由题意得m·2m=2,解得m=1(负值已舍去),∴正方形的边长为2,B(2,2),
把点 B(2,2)代入 解得a=1或a=5,
∴ 抛物线的解析式为 或 y =
(2)【思路点拨】求出反比例函数图象与正方形的交点坐标，画出草图，找到x的取值范围，确定整点个数，寻找临界值即可.
∵反比例函数 正方形的边长为2，
∴反比例函数图象与正方形一边的交点为(1，2)，
①如解图①，当点(1，2)在抛物线对称轴左侧时，此时封闭区域内有2个整点,分别为(1,1),(2,1),
将点(1，2)代入抛物线解析式，
得
解得 (舍去),
当点(1，1)在抛物线对称轴左侧时，此时封闭区域内有1个整点,为(2,1),
将点(1，1)代入抛物线解析式，
得
解得 (舍去),
∴a的取值范围为
②如解图②，当点(1，2)在抛物线对称轴右侧时，此时封闭区域内有1 个整点，为(1，1)，
将点(1，2)代入抛物线解析式，
得
解得 (舍去),
当点(2，1)在抛物线对称轴右侧时，此时封闭区域内有2个整点,分别为(1,1),(1,2),
将点(2，1)代入抛物线解析式，
得 解得 (舍去),
∴a的取值范围为
综上所述，a的取值范围为 或 2+
