2.7 二次根式 题型专练
★1、二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．其中“ ”称为二次根号，a为被开方数.
①二次根式的条件：①含有二次根号；②被开方数是一个非负数；
②被开方数a既可以是一个数，又可以是一个含有字母的式子.
【注意】二次根式的定义是从形式来界定的，必须含有二次根号“ ”，不能从化简结果上判断，如是二次根式；“ ”的根指数是2，一般把根指数2省略，不要误认为根指数是1或没有.
★1、二次根式有意义的条件是：被开方数（式）为非负数，反之也成立.即：有意义=> a≥0,
无意义， a＜0.
★2、【规律方法】
二次根式有无意义的条件：如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
3．如果一个式子中含有二次根式且被开方数中含有零指数幂或负整数指数幂，那么它有意义的条件是：底数不为0.
4．当二次根式的被开方数出现完全平方公式或能配方成完全平方公式时，其中所含字母取任意实数，二次根式在实数范围内都有意义.
★1、 的性质： 0； a≥0（双重非负性）．
★2、（）2（a≥0）的性质：（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
★3、 的性质： |a|（算术平方根的意义）．
●●二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.
用字母表示为： （a ≥0，b≥0）.
★1、法则中的被开方数a,b既可以是数，也可以是代数式，但必须是非负数.
★2、二次根式的乘法法则推广：
① （a ≥0，b ≥0，c≥0）.
②当二次根式外有因数（式）时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，系数的乘积作为结果的系数，根式的乘积按照乘法法则计算.即 m n = m n（a≥0，b≥0）.
★3、二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式.
●●积的算术平方根性质： （a≥0，b≥0）即：积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的积（我们把这个性质也叫做积的算术平方根的性质）.
【注意】
1、此公式成立的条件是a ≥0，b≥0实际上，公式中a，b的取值范围是限制公式右边的，对于公式左边，只要ab≥0即可.
2、在进行化简计算时，先将被开方数进行因数（式）分解，然后将能开得尽方的因数（式）开方后移到根号外.
●●二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.
用字母表示为：（a≥0，b＞0）．
★1、法则中的被开方数a,b既可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的且b不为0，即a≥0，b＞0是公式成立的必要条件．
★2、二次根式的除法法则推广：
①（a ≥0，b ≥0，c≥0）.
②当二次根式外有因数（式）时，可类比单项式除以单项式的法则进行计算，系数的商作为结果的系数，根式的除法按照除法法则计算.，即 （a≥0，b＞0）.
★3、若商的被开方数中含有完全平方因数，应运用积的算术平方根的性质和二次根式的性质进行化简．
●●商的算术平方根性质：（a≥0，b＞0）即：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.（我们把这个性质也叫做商的算术平方根的性质）.
【注意】
1、该性质成立的前提条件是：公式中的a和b必须满足a≥0，b＞0，因为分母不能为0，所以b＞0.
2、该性质的实质是逆用二次根式的除法法则，应用此性质可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（分式）的二次根式时，先将其化为（a≥0，b＞0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同时乘一个适当的因式，化去分母中的根号即可.
★1、最简二次根式概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
★2、最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
【注意】在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.
●●可合并的二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，则这几个二次根式就是可以合并的二次根式．
★1、可合并的二次根式的识别：将每个二次根式化为最简二次根式，再看这些二次根式的被开方数是否相同，相同就是可合并的二次根式，否则就不是可合并的二次根式．
★2、合并可合并的二次根式的方法：合并二次根式的方法与合并同类项类似，将可合并的二次根式根号外的因数（式）相加，根指数与被开方数不变，合并的依据是乘法分配律, 即
（a≥0）
【注意】
（1）几个二次根式是否可以合并，只与被开方数及根指数有关，而与根号前的系数无关.
（2）被开方数不相同的的二次根式不能合并，例如为最终的结果，而不能错误地合并为.
●●二次根式加减法法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并. 合并方法为系数相加减，根指数和被开方数不变．
★1、二次根式的加减法的解题步骤:
①“化”：将所有二次根式化成最简二次根式
②“找”：找出被开方数相同的最简二次根式
③ “并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项.
★2、整式加减运算中的交换律、结合律以及去括号、添括号法则在二次根式加减运算中同样适用.
【注意】
（1）化成最简二次根式后，被开方数不同的二次根式不能合并；
（2）对于不能合并的二次根式，一定不要漏写，要保持不变，它们也是结果的一部分.
★3、二次根式的乘除法与二次根式的加减法的比较
●●二次根式的混合运算种类：二次根式的加、减、乘、除、乘方（或开方）的混合运算.
★1、二次根式的混合运算顺序：
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序是一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）．
★2、二次根式的混合运算依据:有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）、多项式乘法法则和乘法公式（平方差公式、完全平方公式）在二次根式的运算中仍然适用.
题型一 二次根式的识别
解题技巧提炼 判断一个式子是否为二次根式，要紧扣满足二次根式的两个条件： （1）含有二次根号“”；（2）被开方数是非负数，两个条件缺一不可.
1．（2024春 浏阳市期末）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式有意义的条件判断作答即可．
【解答】解：由题意知，当x＜0时，不是二次根式，故A不符合要求；
2是二次根式，故B符合要求；
不是二次根式，故C不符合要求；
不是二次根式，故D不符合要求；
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
2．（2024春 兴义市校级月考）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的概念：形如，由此问题可求解．
【解答】解：A、由﹣8＜0可知无意义，故不符合题意；
B、不是二次根式，故不符合题意；
C、由y2+1＞0可知是二次根式，故符合题意；
D、当x＜0时，无意义，故不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次根式的概念，熟练掌握二次根式的概念是解题的关键．
3．（2023秋 九台区期末）下列各式中，不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的概念，形如（a≥0）的式子是二次根式，逐一判断即可得到答案．
【解答】解：A、是二次根式，不合题意；
B、∵﹣3＜0，∴不是二次根式，符合题意；
C、是二次根式，不合题意；
D、是二次根式，不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
4．（2024春 寿县期末）下列各式一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：A、a＜0时，不是二次根式，故A错误；
B、x＜﹣1时，不是二次根式，故B错误；
C、x＜﹣1时，不是二次根式，故C错误；
D、x取任意实数，x2+1＞1，是二次根式，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的定义，利用二次根式的被开方数是非负数是解题关键．
5．（2023秋 射洪市校级期中）已知下列各式：，，，，，其中二次根式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次根式的根指数是2且被开方数是非负数，解答即可．
【解答】解：中当x＜3时，被开方数小于0，不是二次根式；
，，，是二次根式，共有4个．故选：D．
【点评】本题考查二次根式的定义，掌握其定义是解决此题的关键．注意，二次根式的被开方数是非负数．
6．（2023秋 昌江区期中）下列各式：① ② ③ ④，其中一定是二次根式的是 ．（只填序号）
【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：①（﹣2）3＝﹣8＜0，故不是二次根式；
②（﹣2）4＝16＞0，故是二次根式；
③的根指数是3，故不是二次根式，
④a2+1＞0，故是二次根式；
所以一定是二次根式的是②④．
故答案为：②④．
【点评】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，注意：形如（a≥0）的式子叫二次根式．
题型二 二次根式有意义的条件
解题技巧提炼 求式子有意义时字母的取值范围方法： 第一步,明确式子有意义的条件，对于单个的二次根式，只需满足被开方数为非负数；对于含有多个二次根式的，则必须满足多个被开方数同时为非负数;对于零指数幂,则必须满足底数不能为零;对于含有分式的、满足分母不能为零. 第二步,利用使式子有意义的所有条件,建立不等式或不等式组； 第三步,求出不等式或不等式组的解集,即为字母的取值范围.
1．（2024春 中山区期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥2 B．x≥0 C．x≥﹣2 D．x≤2
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】解：由题可知，
2x﹣4≥0，
解得x≥2．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
2．（2024春 番禺区期末）下列二次根式有意义的范围为x≥﹣4的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数，分式的分母不为0列出不等式，分别计算即可．
【解答】解：A、x+4≥0，解得x≥﹣4，符合题意；
B、x﹣4≥0，解得x≥4，不符合题意；
C、x+4＞0，解得x＞﹣4，不符合题意；
D、x﹣4＞0，解得x＞4，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
3．（2024春 凉州区期中）在实数范围内有意义，则x的值可以是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．3
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解．
【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴﹣2x≥0，
解得：x≤0，
四个选项中只有﹣1符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
4．（2024春 平山县校级月考）若有意义，则x的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据题意得不等式，求出不等式的解集即可确定x的值
【解答】解：根据题意得，，
解得x＜1，
所以，只有选项A符合题意，
故选：A．
【点评】本题主要考查分式及二次根式有意义的条件，解题的关键是理解二次根式的被开方数是非负数．
5．（2024 新抚区模拟）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【分析】根据二次根是有意义的条件进行解答即可．
【解答】解：∵2x﹣1≥0且x﹣3≠0，
∴x且x≠3，
故答案为x且x≠3．
【点评】本题考查了二次根是有意义的条件，掌握二次根是有意义的条件：被开方数大于等于0是解题的关键．
6．（2023秋 河北区校级期末）若代数式有意义，则x的取值范围是 ．
【分析】根据分式有意义时分母不等于0，二次根式有意义时被开方数大于或等于0列式求解即可．
【解答】解：∵x+1≥0，
∴x≥﹣1，
∵，
∴x≠3，
∴x的取值范围是x≥﹣1且x≠3．
故答案为：x≥﹣1且x≠3．
【点评】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式有意义时分母不等于0，二次根式有意义时被开方数大于或等于0是解答本题的关键．
7．求下列式子有意义的x的取值范围.
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
【分析】（1）（2）（3）根据二次根式的性质和分式的意义，由被开方数大于等于0，分母不等于0可知；
（4）（5）（6）根据二次根式的意义，被开方数是非负数可知．
【解答】解：（1）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，
被开方数4﹣3x≥0，分母4﹣3x≠0，
解得x．
所以x的取值范围是x．
（2）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，
被开方数3﹣x≥0，解得x≤3；
分母x﹣2≠0，解得x≠2．
所以x的取值范围是x≤3且x≠2．
（3）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，
被开方数x﹣3≥0，解得x≥3；
分母x﹣2≠0，解得x≠2．
因为大于或等于3的数中不包含2这个数，
所以x的取值范围是x≥3．
（4）根据题意得：﹣x2≥0，
∵x2≥0，∴x2＝0，
解得x＝0．
∴x的取值范围是x＝0；
（5）根据题意得：2x2+1≥0，
∵x2≥0，
∴2x2+1＞0，
故x的取值范围是任意实数；
（6）根据题意得：2x﹣3≥0，解得x；
2x﹣3≤0，解得x．
综上，可知x．
∴x的取值范围是x．
【点评】本题主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．
题型三 利用二次根式的性质计算
解题技巧提炼 运用（）2=a（a≥0）， |a|进行计算的方法： （1）计算（）2，直接运用（）2＝a ； （2）计算一般有两个步骤： ①去掉根号及被开方数的指数，写成绝对值的形式，即|a|； ②去掉绝对值符号，根据绝对值的意义进行化简.
1．（2024春 西山区期末）下列各式中，计算正确的是（ ）
A．±3 B．（）2＝﹣2 C．±2 D．3
【分析】根据二次根式的性质、算术平方根、立方根的定义进行解题即可．
【解答】解：A、3，故该项不正确，不符合题意；
B、（）2＝2，故该项不正确，不符合题意；
C、2，故该项不正确，不符合题意；
D、3，故该项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简、算术平方根、立方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
2．计算：
； ； ； ； ．
【分析】根据算术平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：5；2；100；7；；
故答案为：5，2，100，7，．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
3．（2024春 滁州期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
A．2a B．﹣2a C．0 D．﹣2b
【分析】先根据数轴得出a与b的取值范围，再根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：由图可知，
a＜0＜b，
∴a﹣b＜0，
∴a﹣b+b﹣a＝﹣2a．
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
4．（2023秋 东港区校级期末）下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．3和 B．和﹣（）
C．和（）2 D．﹣2和
【分析】先将选项中含二次根式的式子化简，含绝对值符号的式子去绝对值符号，再结合相反数的定义逐项判断即可．
【解答】解：A．∵3，∴3和不是相反数，故不符合题意；
B．∵，，∴和互为相反数，故符合题意；
C．∵5，5，∴和不是相反数，故不符合题意；
D．﹣2和不是相反数，故不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的化简与性质、绝对值的代数意义、相反数，熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题关键．
5．（2023秋 莲湖区校级月考）计算下列各式：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【分析】（1）根据二次根式的性质，进行计算即可解答；
（2）根据二次根式的性质，进行计算即可解答；
（3）根据二次根式的性质，进行计算即可解答；
（4）根据二次根式的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）
；
（2）
＝0.9﹣0.2
＝0.7；
（3）
＝9；
（4）
．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6．（2024春 莱山区校级月考）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题
化简：
解：隐含条件1﹣3x≥0，解得：
∴1﹣x＞0，
∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简
【类比迁移】
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．
【分析】（1）先根据题意得到x≤2，据此化简二次根式即可；
（2）先根据数轴得到a＜0，a+b＜0，b﹣a＞0，据此化简二次根式和绝对值即可．
【解答】解：（1）∵有意义，
∴2﹣x≥0，即x≤2，
∴
＝3﹣x﹣（2﹣x）
＝3﹣x﹣2+x
＝1；
（2）由题意得，a＜0，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，b﹣a＞0，
∴
＝﹣a﹣（a+b）﹣（b﹣a）
＝﹣a﹣a﹣b﹣b+a
＝﹣a﹣2b．
【点评】本题主要考查的是二次根式的乘除法，实数与数轴，二次根式的性质与化简，熟知数轴上右边的的数总比左边的大是解题的关键．
题型四 二次根式的非负性应用
解题技巧提炼 二次根式（a≥0）、绝对值|a|、完全平方式（a±b）2都是非负数，当几个非负数的和为0，则它们均为0.
1．已知a、b、c满足2|a﹣1|（c+b）2＝0，求2a+b﹣c的值．
【分析】利用非负数之和为零，则各自为零，进而求出a，b，c的值求出答案．
【解答】解：∵2|a﹣1|（c+b）2＝0，
又∵|a﹣1|≥0，0，（c+b）2≥0，
∴，
∴，
∴2a+b﹣c＝2+2+2＝6．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b，c的值是解题关键．
2．（2023秋 平谷区期末）已知3＜x＜4，化简 ．
【分析】根据二次根式的性质得出x﹣3＞0，x﹣4＜0，进而可得出结论．
【解答】解：∵3＜x＜4，
∴x﹣3＞0，x﹣4＜0，
∴原式＝x﹣3+4﹣x＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
3．（2023秋 城关区校级期末）设x，y为实数，且，则|y﹣x|的值是（ ）
A．1 B．9 C．4 D．5
【分析】根据二次根式有题意的条件可求解x，y值，进而可求解|y﹣x|的值．
【解答】解：∵，
∴5﹣x≥0，5﹣x≤0，
∴5﹣x＝0，
解得x＝5，
∴y＝4，
∴|y﹣x|＝|4﹣5|＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，绝对值，灵活运用二次根式有意义的条件求解x，y值是解题的关键．
4．（2023春 江油市期中）已知0＜a＜1，化简得 ．
【分析】根据（a）2﹣4＝（a）2，（a）2+4＝（a）2，再根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：∵0＜a＜1，
∴a
∴原式|a|+|a|a+a，
故答案为：．
【点评】本题考查二次根式的性质和化简，掌握二次根式的性质是正确解答的前提．
5．（2023春 开福区校级月考）已知x，y为实数，是否存在实数m满足关系式？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．
【分析】利用二次根式有意义的条件得到，则x+y﹣5＝0，所以0，利用非负数的性质得到3x+5y﹣2﹣m＝0，2x+3y﹣m＝0，然后解关于x、y、m的方程组即可．
【解答】解：存在．
∵，
∴x+y﹣5＝0，
∴0，
∴3x+5y﹣2﹣m＝0，2x+3y﹣m＝0，
解方程组得，
即m的值为7．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件：能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
6．（2023秋 惠阳区校级月考）已知a+b6．
（1）填空：ab＝ ，a+b＝ ；
（2）已知x2，求x的值．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可得答案；
（2）对已知等式进行通分，再代入（1）中的值计算，最后利用平方根的概念解答即可．
【解答】解：（1）∵a+b6，
∴ab﹣6≥0且6﹣ab≥0，
∴ab＝6，
∴a+b＝6，
故答案为：6，6；
（2）∵ab＝6，a+b＝6，
∴x24，
∴x＝±2．
【点评】此题考查的是二次根式有意义的条件、分式的化简求值、平方根、完全平方式，对已知等式进行正确变形是解决此题关键．
题型五 二次根式的乘法运算
解题技巧提炼 1、运用二次根式的乘法法则进行计算时，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方; 2、当二次根式外有因数（式）时，就把根号外因数（式）相乘的积作为积中根号前的系数，把所有被开方数相乘的积作为被开方数.
1．（2024春 宁波期末）下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据算术平方根的定义对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B、C、D进行判断．
【解答】解：A、，故错误；
B、，故正确；
C、，故错误；
D、，故错误；
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的乘法运算及算术平方根的定义，正确运用二次根式的乘法法则及识别平方根与算术平方根的区别是解题的关键．
2．（2024春 江津区期中）下列计算正确的是（ ）
A．3412
B．
C．﹣36
D．5
【分析】根据二次根式乘除运算法则和平方差公式对各个选项进行计算，即可判断．
【解答】解：3424，A错误；
3×5＝15，B错误；
﹣3，C错误；
5，D正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式乘除运算法则和平方差公式的应用是解题的关键．
3．（2023春 饶平县校级期中）若a＜0，b＞0，则化简的结果为（ ）
A．ab B．﹣ab C．ab D．ab2
【分析】根据二次根式的性质，进行化简即可．
【解答】解：|ab|ab，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的性质，解决本题的关键是熟记二次根式的性质．
4．（2023春 宿豫区期末）直角三角形的两条直角边长分别为cm、cm，则这个直角三角形的面积
为 cm2．
【分析】根据三角形的面积公式求解．
【解答】解：S（cm）．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则．
5．（2024春 沙坪坝区校级期末）计算：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【分析】（1）先将被开方数写成52×3，然后化简即可；
（2）先将被开方数写成22×3×32×3，然后化简即可；
（3）被开方数的分子、分母都乘以3，然后化简即可；
（4）先将被开方数化为分数，然后化简即可．
【解答】解：（1）；
（2）2×3×3＝18；
（3）；
（4）．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法、二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．
6．计算：
（1）； （2）； （3）．
【分析】根据二次根式乘除法的计算方法进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝24
＝8；
（2）原式
＝2b；
（3）原式＝2
＝2abc．
【点评】本题考查二次根式的乘除法，掌握二次根式乘除法的计算方法是正确解答的前提．
7．计算:
（1） ； （2）；
（3）； （4）．
【分析】根据二次根式的混合运算计算．
【解答】解：（1）原式 4×6＝﹣24；
（2）原式 6＝2；
（3）原式＝2×（）4；
（4）原式＝x10x．
【点评】熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并，相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简，较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．
题型六 二次根式的除法运算
解题技巧提炼 二次根式的除法运算的过程中能约分的要先约分，最后的结果要运用积的算术平方根的性质进行化简.
1．（2023春 谯城区期中）下列运算错误的是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可．
【解答】解：A．
＝2，
则A不符合题意；
B．
，
则B符合题意；
C．
，
则C不符合题意；
D．
，
则D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的除法运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2．（2023春 南开区期末）下列各式的计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据二次根式的乘除法法则将各项计算后进行判断即可．
【解答】解：A．，
则A不符合题意；
B．，
则B不符合题意；
C．，
则C不符合题意；
D．，
则D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的乘除运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
3．（2024春 大石桥市校级月考）已知一个三角形的面积为，一边长为，这条边上的高为（ ）
A．4 B．2 C． D．2
【分析】利用面积公式列出关系式，将已知面积与边长代入即可求出高．
【解答】解：根据题意得：224，
故选：A．
【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（2023秋 静安区校级期中）已知xy＜0，化简二次根式的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先依据二次根式的被开方数为非负数可得到﹣xy2≥0，由此可得到x的取值范围，然后依据xy＜0可得到y的取值范围；接下来，依据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：由题意可知﹣xy2≥0．
因为y2＞0，
所以﹣x≥0，
所以x≤0，
又因为xy＜0，
所以x＜0，y＞0，
所以．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
5．计算： ； ； ．
【分析】利用二次根式的除法法则运算，最后化成最简二次根式即可．
【解答】解：2；
2；
2a，
故答案为：2；2；2a．
【点评】本题主要考查了二次根式的除法，正确利用二次根式的除法法则运算是解题的关键．
6．计算：
（1） （2）；
（3）． （4），
【分析】（1）利用二次根式的除法法则进行计算，结果化为最简二次根式；
（2）利用二次根式的除法法则进行计算，结果化为最简二次根式．
【解答】解：
（1），
，
，
＝6，
（2）原式
；
（3）原式＝（3）
＝2
＝2
＝2
．
（4），
，
，
，
【点评】本题考查二次根式的混合运算，掌握（a≥0，b＞0）是解题关键．
7．化简：
（1）； （2）
（3）（x≥0，y＞0）． （4）（x＞0，y＞0）
【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简求出答案；
（2）直接利用二次根式的性质化简求出答案；
（3）直接利用二次根式的性质化简求出答案．
（4）运用二次根式商的算术平方根的性质，开平方化简，但注意字母的取值范围．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）（x≥0，y＞0）
．
（4）
．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
题型七 二次根式的乘除混合运算
解题技巧提炼 二次根式的乘除法混合运算与整式的乘除法混合运算的方法相同，整式乘除法的法则和公式在二次根式乘除法中仍然适用，在运算时要注意运算符号和运算的顺序，若被开方数是带分数要将带分数化为假分数.
1．（2023春 禹州市期中）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的乘除法运算即可．
【解答】解：原式
，
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的乘除运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2．（2023春 高安市期中）计算：．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简得出答案．
【解答】解：原式
．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除法，正确化简二次根式是解题关键．
3．（2024春 丰满区校级月考）计算：．
【分析】根据二次根式的乘除法法则进行计算即可．
【解答】解：原式2
．
【点评】本题考查二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．（2023秋 闵行区期中）计算：．
【分析】根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可．
【解答】解：原式
＝24．
【点评】本题考查二次根式的乘除法，掌握其运算法则是解题的关键．
5．（2023秋 虹口区校级期中）计算：3 （）．
【分析】根据二次根式的乘除法法则计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣3）
＝﹣2
＝﹣2y．
【点评】本题考查的是二次根式乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键．
6．（2024春 铜官区校级期中）化简：．
【分析】先利用二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解．
【解答】解：
．
【点评】本题考查了二次根式的化简，二次根式的乘除混合运算．解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．
7．（2024春 马尾区校级月考）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据二次根式的性质、二次根式的乘除法法则计算；
（2）根据二次根式的乘除法法则计算．
【解答】解：（1）原式24
24
＝﹣4
＝﹣4
＝﹣3；
（2）原式
．
【点评】本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键．
8．（2023 惠阳区校级开学）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据二次根式的乘法和除法法则进行计算即可；
（2）根据二次根式的乘法和除法法则进行计算即可；
（3）根据二次根式的乘法和除法法则进行计算即可．
【解答】解：（1）
＝233
＝2
＝2；
（2）
＝1；
（3）4（）
＝3
＝3×6
＝18．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，能正确根据二次根式的乘除法法则进行计算是解此题的关键．
题型八 最简二次根式的识别
解题技巧提炼 判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足下面的两个条件： （1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件缺一不可.
1．（2024春 青秀区校级期末）下列二次根式中，属于最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、是最简二次根式，故本选项符合题意；
B、，不是最简二次根式，故不本选项符合题意；
C、，不是最简二次根式，故不本选项符合题意；
D、，不是最简二次根式，故不本选项符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
2．（2024春 荔湾区期末）下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、是最简二次根式，故本选项符合题意；
B、2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
3．（2024春 晋安区校级月考）下列式子中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的条件“一是被开方数不能含有开得尽方的数或因式，二是被开方数不能含有分母”；由此问题可求解．
【解答】解：A、，不是最简二次根式，故不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故不符合题意；
D、是最简二次根式，故符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键．
4．（2024春 藁城区期末）在中，最简二次根式有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据最简二次根式的定义解答．
【解答】解：二次根式中只有被开方数不含分母且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式．
故选：A．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟悉最简二次根式的定义是解题的关键．
5．（2023秋 温江区期末）下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据最简二次根式的定义解答即可．
【解答】解：，是最简二次根式，共2个．
故选：B．
【点评】本题考查的是最简二次根式，熟知最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
6．（2023秋 简阳市期末）下列二次根式，，，，中，是最简二次根式的为 ．
【分析】根据最简二次根式的定义进行解题即可．
【解答】解：10，2，，
故这些二次根式中是最简二次根式的为：，．
故答案为：，．
【点评】本题考查最简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键．
题型九 化二次根式为最简二次根式
解题技巧提炼 化简二次根式的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数
1．（2023春 陇县期中）把下列各式化成最简二次根式：
（1）． （2）． （3）． （4）． （5）．
【分析】（1）利用二次根式的性质化简；
（2）利用二次根式的性质化简；
（3）利用二次根式的性质化简；
（4）利用二次根式的性质化简；
（5）利用分母有理化的方法化简．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【点评】本题考查二次根式的化简，掌握二次根式的性质和分母有理化的方法是解题的关键．
2．（2023秋 邓州市期末）化为最简二次根式是 ．
【分析】根据二次根式的性质，和化简方法即可求解．
【解答】解：，
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质，化简方法是解题的关键．
3．（2023 南岗区校级开学）将下列二次根式化为最简二次根式后，被开方数与的被开方数不同的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．
【解答】解：A、原式，被开方数与的被开方数相同，故此选项不符合题意；
B、原式＝3，被开方数与的被开方数相同，故此选项不符合题意；
C、原式＝5，被开方数与的被开方数相同，故此选项不符合题意；
D、原式＝2，被开方数与的被开方数不同，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义．
4．在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．
（1） （2） （3） （4） （5）．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：（1），含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式．
（2），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；
（3），被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式；
（4），在二次根式的被开方数中，含有小数，不是最简二次根式；
（5），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．解决此题的关键，是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
5．（2023秋 丰顺县校级月考）把下列各式化成最简二次根式：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【分析】（1）根据二次根式的性质进行化简即可；
（2）根据二次根式的性质，和分母有理化，进行化简即可；
（3）根据二次根式的性质，和分母有理化，进行化简即可；
（4）根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点评】本题考查二次根式的化简．熟练掌握二次根式的性质，以及分母有理化是解题的关键．
题型十 可合并的二次根式的识别
解题技巧提炼 判断可合并的二次根式是否合并的前提条件是都化为最简二次根式，看它们的被开方数是否相同，相同就可合并，不相同就不可合并.
1．（2024春 河东区期末）下列二次根式中能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，可得答案．
【解答】解：A.与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
B.与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
C.与是同类二次根式，能合并，故符合题意；
D.与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式是解题的关键．
2．（2024春 邵东市月考）若最简二次根式与可以合并，则x的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【分析】先将化简为最简 根式，再根据最简二次根式与可以合并得出最简二次根式与是同类二次根式，得出方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：，
∵最简二次根式与可以合并，
∴最简二次根式与是同类二次根式，
∴6﹣4x＝2，
解得x＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了同类二次根式、最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
3．（2024春 西华县校级月考）下列二次根式化简后，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先利用二次根式的性质化简，再进行判断即可．
【解答】解：A.，不能与合并，不符合题意；
B.，能与合并，符合题意；
C.，不能与合并，不符合题意；
D.，不能与合并，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的化简，合并同类二次根式，关键是二次根式性质的应用．
4．（2023秋 晋江市期末）下列二次根式，与不是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据同类二次根式的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：3，
A、与是同类二次根式，不符合题意；
B、2，与不是同类二次根式，符合题意；
C、4，与是同类二次根式，不符合题意；
D、5，与是同类二次根式，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
5．（2023秋 浦东新区期末）在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义作答．
【解答】解：A、2，被开方数是3，与的被开方数2不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意．
B、，被开方数是2，与的被开方数2相同，是同类二次根式，故本选项符合题意．
C、|b|，被开方数是ab，与的被开方数2ab不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意．
D、和的被开方数分别是a﹣1、a+1，不是同类二次根式，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
6．（2024春 乐陵市校级月考）若最简二次根式、可合并，则m﹣n＝ ．
【分析】同类二次根式的被开方数相同列出方程，求出m﹣n的值即可．
【解答】解：根据题意得3n＝m+2n﹣5，
整理得，m﹣n＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
7．（2024春 兰陵县期中）如果最简二次根式与是同类二次根式．
（1）求出a的值；
（2）若a≤x≤2a，化简：|x﹣2|．
【分析】（1）根据最简二次根式以及同类二次根式的定义即可求出答案．
（2）根据绝对值的性质以及二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意可知：4a﹣5＝13﹣2a
a＝3
（2）∵a＝3，
∴3≤x≤6
∴x﹣2≥1，x﹣6≤0
原式＝|x﹣2|+|x﹣6|
＝x﹣2﹣（x﹣6）
＝4
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用绝对值的性质以及二次根式的性质，本题属于基础题型．
题型十一 二次根式的加减运算
解题技巧提炼 二次根式加减运算的技巧： 将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数中含有带分数，则先化成假分数；若含有小数，则要化成分数，进而化为最简二次根式. 若原式中有括号，要先去括号，再应用加法交换律、结合律将被开方数相同的二次根式进行合并.
1．（2024春 昆明期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用二次根式加减法法则计算得结论．
【解答】解：由于、不是同类二次根式，不能直接加减，故选项A计算错误；
由于3、不是同类二次根式，不能直接加减，故选项B计算错误；
∵2，∴与不是同类二次根式，不能直接加减，故选项C计算错误；
32，故选项D计算正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的加减，掌握二次根式加减的前提和二次根式的加减法法则是解决本题的关键．
2．（2024 保定二模）若，则表示实数a的点会落在数轴的（ ）
A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上
【分析】先化简二次根式，计算出a的值，再估算出a范围，再结合数轴即可得出结果．
【解答】解：∵，即，
∴，
∵，
∴，即1＜a＜2，
故实数a的点会落在数轴的段②上，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简，减法运算及估算，掌握二次根式的化简是解题的关键．
3．（2024 献县模拟）若，则下列结论正确的是（ ）
A．m＝0，n＝1 B．m＝1，n＝1 C．m＝﹣1，n＝0 D．m＝2，n＝4
【分析】先化简二次根式，然后合并同类二次根式，然后根据题意得出2m﹣n＝1，即可逐项计算判断即可．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴2m+4﹣n＝5，
∴2m﹣n＝1；
A、当m＝0，n＝1时，2m﹣n＝2×0﹣1＝﹣1，故此选项不符合题意；
B、当m＝1，n＝1时，2m﹣n＝2×1﹣1＝1，故此选项符合题意；
C、当m＝﹣1，n＝0时，2m﹣n＝2×（﹣1）﹣0＝﹣2，故此选项不符合题意；
D、当m＝2，n＝4时，2m﹣n＝2×2﹣4＝0，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的加减运算，有理数的混合运算，熟练掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键．
4．（2023 保定一模）计算：2bc，则a+b+c＝（ ）
A．﹣1 B．﹣5 C．2 D．5
【分析】将化成23，得出结果为，进而确定a、b、c的值，再代入计算即可．
【解答】解：23，又2bc，
所以a＝3，b＝﹣3，c＝﹣1，
因此a+b+c＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查二次根式的加减法，掌握二次根式加减法的计算法则是正确解答的前提，合并同类二次根式，得出a、b、c的值是得出正确答案的关键．
5．（2023秋 商水县月考）如图，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点是C，设C点表示的数为x，则x的值为（ ）
A．1 B．1 C．1 D．2
【分析】直接根据已知得出x的值，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：由题意可得：AB＝CA1，
则C点坐标为：x＝1﹣（1）＝2，
故x22．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确表示出x的值是解题关键．
6．（2023春 乐陵市期中）计算下列各题：
（1）；
（2）．
【分析】（1）原式先化简二次根式后，再进行加减运算即可；
（2）原式先化简，再把括号展开后再进行加减运算即可．
【解答】解：（1）
．
（2）
．
【点评】本题主要考查了二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
7．计算下列各式：
（1） （2）
（3） （4）．
【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1）原式2
；
（2）原式＝23
；
（3）原式＝3
；
（4）原式＝2x6x
＝x7．
【点评】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
题型十二 二次根式的混合运算
解题技巧提炼 1、进行二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． ③实数的运算律、多项式的乘法法则和乘法公式仍然适用于二次根式的运算. 2、二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
1．（2024春 荔湾区期末）下列计算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：2+3＝5，故选项A错误，不符合题意；
5不能合并，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C正确，符合题意；
2，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
2．（2024 丛台区校级二模）估计（2）的值应在（ ）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
【分析】先化简，然后估算无理数的大小即可得出答案．
【解答】解：
，
∵，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
3．（2023秋 海曙区校级期末）下列计算：（1），（2），（3），（4），其中结果正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用二次根式的性质对（1）进行判断；利用二次根式的减法运算对（2）进行判断；利用二次根式的除法运算性质对（3）进行判断；利用平方差公式对（4）进行判断．
【解答】解：（）2＝2，所以（1）正确；
2，所以（2）正确；
3，所以（3）正确；
（）（）＝2﹣3＝﹣1，所以（4）正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
4．（2023 市南区校级二模）计算的结果是（ ）
A．9 B．25+4 C．6+4 D．12
【分析】先算二次根式的除法，再算加法即可．
【解答】解：
4
＝25+4，
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5．（2024 河东区校级三模）计算： ．
【分析】根据平方差公式计算．
【解答】解：原式＝（2）2﹣（3）2
＝12﹣18＝﹣6．
故本题答案为：﹣6．
【点评】本题考查了二次根式的运算，能用公式的要用公式，可以使计算变得简单，不易出错．
6．（2023秋 方城县月考）计算：
（1）（﹣1）2018|2|；
（2）4（）1）2．
【分析】（1）先利用二次根式的性质和二次根式的乘法法则运算，然后去绝对值后合并即可；
（2）先根据二次根式的乘法法则和完全平方公式计算，然后合并即可．
【解答】解：（1）（﹣1）2018|2|
＝3×1+22（2）
＝3+42
＝5+3；
（2）4（）1）2
＝4443+1+2
＝2﹣84+4+2
＝2﹣6．
【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解答本题的关键．
7．（2023春 藁城区校级月考）计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【分析】（1）先将原式中的二次根式化为最简二次根式，再去括号合并即可得到结果；
（2）原式根据二次根式的乘除运算法则即可得到结果；
（3）原式根据平方差公式计算即可得到结果；
（4）原式先根据完全平方公式计算，再去括号、合并即可得到结果．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
＝24﹣18
＝6；
（4）原式＝2850
＝2850﹣2850
．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键．
题型十三 二次根式的化简求值
解题技巧提炼 1、二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 2、二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分分，避免互相干扰．
1．（2023秋 海门区期末）当，则代数式x2+5x﹣6＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】把x的值代入，先算乘法，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：∵，
∴x2+5x﹣6
＝（1）2+5（1）﹣6
＝5﹣21+55﹣6
＝35．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值的应用，主要考查学生的计算能力．
∵xy＝4，
∴原式＝﹣22×2＝﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
2．（2024春 礼县校级月考）已知a﹣2b＝0（a＞0，b＞0），则等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】由已知可得（）2＝0，则，代入原式计算即可．
【解答】解：由已知可得（）2＝0，
则，即a＝b，
原式．
故选：D．
【点评】先化简再代入，是求值题的一般步骤；不化简，直接代入，虽然能求出结果，但往往导致繁琐的运算．本题关键是用配方法将已知等式变形得出a＝b的简单结论．
3．（2023秋 海淀区校级期末）若a，求a4﹣10a3+a2﹣20a+5的值．
【分析】根据二次根式的性质化简a，根据完全平方公式计算，得到答案．
【解答】解：∵a5，
∴a﹣5，
∴（a﹣5）2＝26，
∴a2﹣10a+25＝26，
∴a2﹣10a＝1，
则a4﹣10a3+a2﹣20a+5
＝a2（a2﹣10a）+（a2﹣10a）﹣10a+5
＝a2﹣10a+6
＝7．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
4．（2023秋 青浦区校级期中）先化简再求值：，其中x，y．
【分析】根据平方差公式、完全平方公式把原式的分子、分母变形，再根据约分法则化简，利用分母有理化法则把x、y化简，代入计算即可．
【解答】解：原式 （）2
＝（） （）
＝x﹣y，
当x3﹣2，y3+2时，
原式＝（3﹣2）﹣（3+2）＝﹣4．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、平方差公式、完全平方公式是解题的关键．
5．（2024春 靖江市校级月考）已知a+b＝﹣5，ab＝6，求的值．
【分析】根据a+b＝﹣5，ab＝6，可以得到a＜0，b＜0，然后对所求式子化简即可．
【解答】解：∵a+b＝﹣5，ab＝6，
∴a＜0，b＜0，
∴
＝﹣2．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是判断出a、b的正负情况．
6．（2024春 微山县校级月考）已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）a2+b2+ab．
【分析】（1）由题意得，，根据，计算求解即可；
（2）根据a2+b2+ab＝（a+b）2﹣ab，计算求解即可．
【解答】解：（1）由题意得，，
∵，
∴的值为3；
（2），
∴a2+b2+ab的值为16．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握并正确的运算．
7．（2023春 天长市校级月考）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但可以用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．请解答：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值．
【分析】（1）利用完全平方数可估算出45，从而得到的整数部分和小数部分；
（2）利用完全平方数可估算出23，34，从而确定a和b的值，然后计算的值．
【解答】解：（1）∵16＜17＜25，
∴，
即45，
∴的整数部分是4，小数部分是（4）；
故答案为：4，（4）；
（2）∵，
即23，
∴a2，
∵，
即34，
∴b＝3，
∴a+b2+31．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：利用无理数的估算表示无理数的整数部分和小数部分是解决问题的关键．
8．（2023秋 安乡县期末）阅读材料：
在解决问题“已知a，求3a2﹣12a+4的值”时，小红是这样分析与解答的：
∵a，
∴a﹣2．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1．
3a2﹣12a+4＝3（a2﹣4a）+4＝﹣3+4＝1．
请你根据小红的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：；
（2）若a，求2a2﹣12a+1的值．
【分析】（1）根据分母有理化的方式进行解答即可；
（2）参照所给的解答方式进行求解即可．
【解答】解：（1）
＝4；
（2）∵，
∴，
∴（a﹣3）2＝6，
即a2﹣6a+9＝6，
∴a2﹣6a＝﹣3，
∴2a2﹣12a+1
＝2（a2﹣6a）+1
＝﹣6+1
＝﹣5．
【点评】本题主要考查二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
题型十四 二次根式的运算在实际中的应用
解题技巧提炼 利用二次根式的加减法运算俩解决生活中的问题，应先认真分析题意，注意计算的准确性和结果的要求.
1．（2023秋 宣化区期末）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为32cm2和2cm2的两张正方形纸片，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3.2cm2 B．6cm2 C．6cm2 D．12cm2
【分析】根据题目中的数据和图形，可以写出阴影部分的长和宽，然后即可计算出阴影部分的面积．
【解答】解：由图可知，
阴影部分的长为43（cm），宽为：cm，
∴阴影部分的面积为：36（cm2），
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出阴影部分的长和宽．
2．（2023秋 鹿城区校级期中）如图，在一个正方形的内部放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形条的面积为15，重叠部分的面积为1，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为（ ）
A．4 B． C．9 D．
【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积．
【解答】解：∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，
∴重叠部分也为正方形，
∵空白部分的面积为，
∴一个空白长方形面积＝22，
∵大正方形面积为15，重叠部分面积为1，
∴大正方形边长，重叠部分边长＝1，
∴空白部分的长1，
设空白部分宽为x，可得：（1）x＝22，
解得：x＝2，
∴小正方形的边长＝空白部分的宽+阴影部分边长＝2+1＝3，
∴小正方形面积＝32＝9，
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．
3．学校要在一块长方形的土地上进行绿化，已知这块长方形土地的长a＝5m，宽b＝4m
（1）求该长方形土地的面积．（精确到0.01）
（2）若绿化该长方形土地每平方米的造价为180元，那么绿化该长方形土地所需资金为多少元？
【分析】（1）根据这块长方形土地的长a＝5m，宽b＝4m，直接得出面积即可；
（2）利用绿化该长方形土地每平方米的造价为180元，即可求出该长方形土地所需资金．
【解答】解：（1）长方形土地的面积为：
54100244.95平方米；
（2）∵长方形土地每平方米的造价为180元，
∴180×244.9＝44082元．
答：该长方形土地所需资金为44082元．
【点评】此题主要考查了二次根式的计算以及应用，根据二次根式乘法运算法则得出是解题关键．
4．（2023秋 郸城县校级期末）如图，张大伯家有一块长方形空地ABCD，长方形空地的长BC为，宽AB为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）若市场上某种蔬菜8元/千克，张大伯种植该种蔬菜，且每平方米可以产15千克的该种蔬菜．如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为多少元？
【分析】（1）利用长方形的周长公式即可求解；
（2）先求得蔬菜地的面积，再计算收入即可求解．
【解答】解：（1）长方形ABCD的周长
，
答：长方形ABCD的周长是m；
（2）蔬菜的面积
＝48﹣（10﹣1）
＝39（m2），
39×8×15＝4680（元），
答：如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为4680元．
【点评】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键．
5．（2023秋 长安区期末）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（1）米，宽为（1）米．
（1）长方形ABCD的周长是 米；
（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果均化为最简二次根式）
【分析】（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（2）先计算出空白部分面积，再计算即可，
【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝2×（）＝2（87）＝30（米），
答：长方形ABCD的周长是30米，
（2）通道的面积（1）（1）
＝100（平方米），
购买地砖需要花费＝6×（100）＝600（元）．
答：购买地砖需要花费600元；
【点评】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质．
6．（2023 海淀区校级开学）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图①所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板A，B．
（1）图①截出的正方形木板A的边长为 d m，B的边长为 d m；
（2）图①中阴影部分的面积为 dm2；
（3）乙木工想采用如图②所示的方式，在长方形木板②上截出面积为25dm2的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
【分析】（1）由正方形的面积可得边长分别为d m和d m，再利用二次根式的性质化简，即可求解；
（2）先求长方形的长和宽，再用长方形的面积减去两个正方形的面积，即可求解；
（3）先求截出的两个正方形木板的边长，再与长方形木板的长比较即可．
【解答】解：（1）根据题意得：截出的正方形木板A的边长为3（d m），B的边长为4（d m），
故答案为：3，4；
（2）根据题意得：长方形的长为347（d m），宽为4d m，
∴阴影部分的面积＝74（18+32）＝56﹣50＝6（dm2）．
故答案为：6；
（3）不能截出，理由如下：
∵面积为25dm2的两个正方形木板的边长均为5（d m），
5+5＝107，
∴不能在长方形木板②上截出面积为25dm2的两个正方形木板．
【点评】本题考查二次根式的应用，正方形的性质，熟练掌握二次根式的化简和运算，长方形的面积公式是解题的关键．
7．（2023秋 洛宁县月考）如图，有一张长为16cm，宽为8cm的长方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形．
（1）若小正方形的边长为cm，则制作成的无盖长方体盒子的体积是多少？
（2）求这个长方体盒子的侧面积．
【分析】（1）利用长方体的体积公式计算即可；
（2）大长方形的面积减去4个小正方形的面积，再减去底面面积就是盒子的侧面积．（两个小长方形面积和两个大长方形面积和）
【解答】解：（1）无盖长方体盒子的体积为：
（162）×（82）
＝14
＝168（cm3）；
答：制作成的无盖长方体盒子的体积是168cm3．
（2）方法一，长方体盒子的侧面积为：
1684（162）（82）＝256﹣8﹣168＝80（cm2）；
答：这个长方体盒子的侧面积为80cm2．
方法二，长方体盒子的侧面积为：
（82）2+（162）2＝62+142＝24+56
2.7 二次根式 题型专练
★1、二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．其中“ ”称为二次根号，a为被开方数.
①二次根式的条件：①含有二次根号；②被开方数是一个非负数；
②被开方数a既可以是一个数，又可以是一个含有字母的式子.
【注意】二次根式的定义是从形式来界定的，必须含有二次根号“ ”，不能从化简结果上判断，如是二次根式；“ ”的根指数是2，一般把根指数2省略，不要误认为根指数是1或没有.
★1、二次根式有意义的条件是：被开方数（式）为非负数，反之也成立.即：有意义=> a≥0,
无意义， a＜0.
★2、【规律方法】
二次根式有无意义的条件：如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
3．如果一个式子中含有二次根式且被开方数中含有零指数幂或负整数指数幂，那么它有意义的条件是：底数不为0.
4．当二次根式的被开方数出现完全平方公式或能配方成完全平方公式时，其中所含字母取任意实数，二次根式在实数范围内都有意义.
★1、 的性质： 0； a≥0（双重非负性）．
★2、（）2（a≥0）的性质：（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
★3、 的性质： |a|（算术平方根的意义）．
●●二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.
用字母表示为： （a ≥0，b≥0）.
★1、法则中的被开方数a,b既可以是数，也可以是代数式，但必须是非负数.
★2、二次根式的乘法法则推广：
① （a ≥0，b ≥0，c≥0）.
②当二次根式外有因数（式）时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，系数的乘积作为结果的系数，根式的乘积按照乘法法则计算.即 m n = m n（a≥0，b≥0）.
★3、二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式.
●●积的算术平方根性质： （a≥0，b≥0）即：积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的积（我们把这个性质也叫做积的算术平方根的性质）.
【注意】
1、此公式成立的条件是a ≥0，b≥0实际上，公式中a，b的取值范围是限制公式右边的，对于公式左边，只要ab≥0即可.
2、在进行化简计算时，先将被开方数进行因数（式）分解，然后将能开得尽方的因数（式）开方后移到根号外.
●●二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.
用字母表示为：（a≥0，b＞0）．
★1、法则中的被开方数a,b既可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的且b不为0，即a≥0，b＞0是公式成立的必要条件．
★2、二次根式的除法法则推广：
①（a ≥0，b ≥0，c≥0）.
②当二次根式外有因数（式）时，可类比单项式除以单项式的法则进行计算，系数的商作为结果的系数，根式的除法按照除法法则计算.，即 （a≥0，b＞0）.
★3、若商的被开方数中含有完全平方因数，应运用积的算术平方根的性质和二次根式的性质进行化简．
●●商的算术平方根性质：（a≥0，b＞0）即：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.（我们把这个性质也叫做商的算术平方根的性质）.
【注意】
1、该性质成立的前提条件是：公式中的a和b必须满足a≥0，b＞0，因为分母不能为0，所以b＞0.
2、该性质的实质是逆用二次根式的除法法则，应用此性质可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（分式）的二次根式时，先将其化为（a≥0，b＞0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同时乘一个适当的因式，化去分母中的根号即可.
★1、最简二次根式概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
★2、最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
【注意】在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.
●●可合并的二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，则这几个二次根式就是可以合并的二次根式．
★1、可合并的二次根式的识别：将每个二次根式化为最简二次根式，再看这些二次根式的被开方数是否相同，相同就是可合并的二次根式，否则就不是可合并的二次根式．
★2、合并可合并的二次根式的方法：合并二次根式的方法与合并同类项类似，将可合并的二次根式根号外的因数（式）相加，根指数与被开方数不变，合并的依据是乘法分配律, 即
（a≥0）
【注意】
（1）几个二次根式是否可以合并，只与被开方数及根指数有关，而与根号前的系数无关.
（2）被开方数不相同的的二次根式不能合并，例如为最终的结果，而不能错误地合并为.
●●二次根式加减法法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并. 合并方法为系数相加减，根指数和被开方数不变．
★1、二次根式的加减法的解题步骤:
①“化”：将所有二次根式化成最简二次根式
②“找”：找出被开方数相同的最简二次根式
③ “并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项.
★2、整式加减运算中的交换律、结合律以及去括号、添括号法则在二次根式加减运算中同样适用.
【注意】
（1）化成最简二次根式后，被开方数不同的二次根式不能合并；
（2）对于不能合并的二次根式，一定不要漏写，要保持不变，它们也是结果的一部分.
★3、二次根式的乘除法与二次根式的加减法的比较
●●二次根式的混合运算种类：二次根式的加、减、乘、除、乘方（或开方）的混合运算.
★1、二次根式的混合运算顺序：
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序是一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）．
★2、二次根式的混合运算依据:有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）、多项式乘法法则和乘法公式（平方差公式、完全平方公式）在二次根式的运算中仍然适用.
题型一 二次根式的识别
解题技巧提炼 判断一个式子是否为二次根式，要紧扣满足二次根式的两个条件： （1）含有二次根号“”；（2）被开方数是非负数，两个条件缺一不可.
1．（2024春 浏阳市期末）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024春 兴义市校级月考）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋 九台区期末）下列各式中，不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024春 寿县期末）下列各式一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023秋 射洪市校级期中）已知下列各式：，，，，，其中二次根式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2023秋 昌江区期中）下列各式：① ② ③ ④，其中一定是二次根式的是 ．（只填序号）
题型二 二次根式有意义的条件
解题技巧提炼 求式子有意义时字母的取值范围方法： 第一步,明确式子有意义的条件，对于单个的二次根式，只需满足被开方数为非负数；对于含有多个二次根式的，则必须满足多个被开方数同时为非负数;对于零指数幂,则必须满足底数不能为零;对于含有分式的、满足分母不能为零. 第二步,利用使式子有意义的所有条件,建立不等式或不等式组； 第三步,求出不等式或不等式组的解集,即为字母的取值范围.
1．（2024春 中山区期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥2 B．x≥0 C．x≥﹣2 D．x≤2
2．（2024春 番禺区期末）下列二次根式有意义的范围为x≥﹣4的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024春 凉州区期中）在实数范围内有意义，则x的值可以是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．3
4．（2024春 平山县校级月考）若有意义，则x的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2024 新抚区模拟）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
6．（2023秋 河北区校级期末）若代数式有意义，则x的取值范围是 ．
7．求下列式子有意义的x的取值范围.
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
题型三 利用二次根式的性质计算
解题技巧提炼 运用（）2=a（a≥0）， |a|进行计算的方法： （1）计算（）2，直接运用（）2＝a ； （2）计算一般有两个步骤： ①去掉根号及被开方数的指数，写成绝对值的形式，即|a|； ②去掉绝对值符号，根据绝对值的意义进行化简.
1．（2024春 西山区期末）下列各式中，计算正确的是（ ）
A．±3 B．（）2＝﹣2 C．±2 D．3
2．计算：
； ； ； ； ．
3．（2024春 滁州期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
A．2a B．﹣2a C．0 D．﹣2b
4．（2023秋 东港区校级期末）下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．3和 B．和﹣（）
C．和（）2 D．﹣2和
5．（2023秋 莲湖区校级月考）计算下列各式：
（1）； （2）； （3）； （4）．
6．（2024春 莱山区校级月考）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题
化简：
解：隐含条件1﹣3x≥0，解得：
∴1﹣x＞0，
∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简
【类比迁移】
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．
题型四 二次根式的非负性应用
解题技巧提炼 二次根式（a≥0）、绝对值|a|、完全平方式（a±b）2都是非负数，当几个非负数的和为0，则它们均为0.
1．已知a、b、c满足2|a﹣1|（c+b）2＝0，求2a+b﹣c的值．
2．（2023秋 平谷区期末）已知3＜x＜4，化简 ．
3．（2023秋 城关区校级期末）设x，y为实数，且，则|y﹣x|的值是（ ）
A．1 B．9 C．4 D．5
4．（2023春 江油市期中）已知0＜a＜1，化简得 ．
5．（2023春 开福区校级月考）已知x，y为实数，是否存在实数m满足关系式？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．
6．（2023秋 惠阳区校级月考）已知a+b6．
（1）填空：ab＝ ，a+b＝ ；
（2）已知x2，求x的值．
题型五 二次根式的乘法运算
解题技巧提炼 1、运用二次根式的乘法法则进行计算时，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方; 2、当二次根式外有因数（式）时，就把根号外因数（式）相乘的积作为积中根号前的系数，把所有被开方数相乘的积作为被开方数.
1．（2024春 宁波期末）下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024春 江津区期中）下列计算正确的是（ ）
A．3412
B．
C．﹣36
D．5
3．（2023春 饶平县校级期中）若a＜0，b＞0，则化简的结果为（ ）
A．ab B．﹣ab C．ab D．ab2
4．（2023春 宿豫区期末）直角三角形的两条直角边长分别为cm、cm，则这个直角三角形的面积
为 cm2．
5．（2024春 沙坪坝区校级期末）计算：
（1）； （2）； （3）； （4）．
6．计算：
（1）； （2）； （3）．
7．计算:
（1） ； （2）；
（3）； （4）．
题型六 二次根式的除法运算
解题技巧提炼 二次根式的除法运算的过程中能约分的要先约分，最后的结果要运用积的算术平方根的性质进行化简.
1．（2023春 谯城区期中）下列运算错误的是（ ）
A．2 B．1 C． D．
2．（2023春 南开区期末）下列各式的计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024春 大石桥市校级月考）已知一个三角形的面积为，一边长为，这条边上的高为（ ）
A．4 B．2 C． D．2
4．（2023秋 静安区校级期中）已知xy＜0，化简二次根式的值是（ ）
A． B． C． D．
5．计算： ； ； ．
6．计算：
（1） （2）；
（3）． （4），
7．化简：
（1）； （2）
（3）（x≥0，y＞0）． （4）（x＞0，y＞0）
题型七 二次根式的乘除混合运算
解题技巧提炼 二次根式的乘除法混合运算与整式的乘除法混合运算的方法相同，整式乘除法的法则和公式在二次根式乘除法中仍然适用，在运算时要注意运算符号和运算的顺序，若被开方数是带分数要将带分数化为假分数.
1．（2023春 禹州市期中）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春 高安市期中）计算：．
3．（2024春 丰满区校级月考）计算：．
4．（2023秋 闵行区期中）计算：．
5．（2023秋 虹口区校级期中）计算：3 （）．
6．（2024春 铜官区校级期中）化简：．
7．（2024春 马尾区校级月考）计算：
（1）；
（2）．
8．（2023 惠阳区校级开学）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
题型八 最简二次根式的识别
解题技巧提炼 判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足下面的两个条件： （1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件缺一不可.
1．（2024春 青秀区校级期末）下列二次根式中，属于最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024春 荔湾区期末）下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024春 晋安区校级月考）下列式子中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024春 藁城区期末）在中，最简二次根式有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023秋 温江区期末）下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2023秋 简阳市期末）下列二次根式，，，，中，是最简二次根式的为 ．
题型九 化二次根式为最简二次根式
解题技巧提炼 化简二次根式的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数
1．（2023春 陇县期中）把下列各式化成最简二次根式：
（1）． （2）． （3）． （4）． （5）．
2．（2023秋 邓州市期末）化为最简二次根式是 ．
3．（2023 南岗区校级开学）将下列二次根式化为最简二次根式后，被开方数与的被开方数不同的是（ ）
A． B． C． D．
4．在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．
（1） （2） （3） （4） （5）．
5．（2023秋 丰顺县校级月考）把下列各式化成最简二次根式：
（1）； （2）； （3）； （4）．
题型十 可合并的二次根式的识别
解题技巧提炼 判断可合并的二次根式是否合并的前提条件是都化为最简二次根式，看它们的被开方数是否相同，相同就可合并，不相同就不可合并.
1．（2024春 河东区期末）下列二次根式中能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024春 邵东市月考）若最简二次根式与可以合并，则x的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2024春 西华县校级月考）下列二次根式化简后，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋 晋江市期末）下列二次根式，与不是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023秋 浦东新区期末）在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
6．（2024春 乐陵市校级月考）若最简二次根式、可合并，则m﹣n＝ ．
7．（2024春 兰陵县期中）如果最简二次根式与是同类二次根式．
（1）求出a的值；
（2）若a≤x≤2a，化简：|x﹣2|．
题型十一 二次根式的加减运算
解题技巧提炼 二次根式加减运算的技巧： 将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数中含有带分数，则先化成假分数；若含有小数，则要化成分数，进而化为最简二次根式. 若原式中有括号，要先去括号，再应用加法交换律、结合律将被开方数相同的二次根式进行合并.
1．（2024春 昆明期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024 保定二模）若，则表示实数a的点会落在数轴的（ ）
A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上
3．（2024 献县模拟）若，则下列结论正确的是（ ）
A．m＝0，n＝1 B．m＝1，n＝1 C．m＝﹣1，n＝0 D．m＝2，n＝4
4．（2023 保定一模）计算：2bc，则a+b+c＝（ ）
A．﹣1 B．﹣5 C．2 D．5
5．（2023秋 商水县月考）如图，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点是C，设C点表示的数为x，则x的值为（ ）
A．1 B．1 C．1 D．2
6．（2023春 乐陵市期中）计算下列各题：
（1）；
（2）．
7．计算下列各式：
（1） （2）
（3） （4）．
题型十二 二次根式的混合运算
解题技巧提炼 1、进行二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． ③实数的运算律、多项式的乘法法则和乘法公式仍然适用于二次根式的运算. 2、二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
1．（2024春 荔湾区期末）下列计算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024 丛台区校级二模）估计（2）的值应在（ ）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
3．（2023秋 海曙区校级期末）下列计算：（1），（2），（3），（4），其中结果正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023 市南区校级二模）计算的结果是（ ）
A．9 B．25+4 C．6+4 D．12
5．（2024 河东区校级三模）计算： ．
6．（2023秋 方城县月考）计算：
（1）（﹣1）2018|2|；
（2）4（）1）2．
7．（2023春 藁城区校级月考）计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
题型十三 二次根式的化简求值
解题技巧提炼 1、二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 2、二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分分，避免互相干扰．
1．（2023秋 海门区期末）当，则代数式x2+5x﹣6＝（ ）
A． B． C． D．
2．（2024春 礼县校级月考）已知a﹣2b＝0（a＞0，b＞0），则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋 海淀区校级期末）若a，求a4﹣10a3+a2﹣20a+5的值．
4．（2023秋 青浦区校级期中）先化简再求值：，其中x，y．
5．（2024春 靖江市校级月考）已知a+b＝﹣5，ab＝6，求的值．
6．（2024春 微山县校级月考）已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）a2+b2+ab．
7．（2023春 天长市校级月考）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但可以用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．请解答：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值．
8．（2023秋 安乡县期末）阅读材料：
在解决问题“已知a，求3a2﹣12a+4的值”时，小红是这样分析与解答的：
∵a，
∴a﹣2．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1．
3a2﹣12a+4＝3（a2﹣4a）+4＝﹣3+4＝1．
请你根据小红的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：；
（2）若a，求2a2﹣12a+1的值．
题型十四 二次根式的运算在实际中的应用
解题技巧提炼 利用二次根式的加减法运算俩解决生活中的问题，应先认真分析题意，注意计算的准确性和结果的要求.
1．（2023秋 宣化区期末）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为32cm2和2cm2的两张正方形纸片，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3.2cm2 B．6cm2 C．6cm2 D．12cm2
2．（2023秋 鹿城区校级期中）如图，在一个正方形的内部放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形条的面积为15，重叠部分的面积为1，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为（ ）
A．4 B． C．9 D．
3．学校要在一块长方形的土地上进行绿化，已知这块长方形土地的长a＝5m，宽b＝4m
（1）求该长方形土地的面积．（精确到0.01）
（2）若绿化该长方形土地每平方米的造价为180元，那么绿化该长方形土地所需资金为多少元？
4．（2023秋 郸城县校级期末）如图，张大伯家有一块长方形空地ABCD，长方形空地的长BC为，宽AB为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）若市场上某种蔬菜8元/千克，张大伯种植该种蔬菜，且每平方米可以产15千克的该种蔬菜．如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为多少元？
5．（2023秋 长安区期末）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（1）米，宽为（1）米．
（1）长方形ABCD的周长是 米；
（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果均化为最简二次根式）
6．（2023 海淀区校级开学）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图①所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板A，B．
（1）图①截出的正方形木板A的边长为 d m，B的边长为 d m；
（2）图①中阴影部分的面积为 dm2；
（3）乙木工想采用如图②所示的方式，在长方形木板②上截出面积为25dm2的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
7．（2023秋 洛宁县月考）如图，有一张长为16cm，宽为8cm的长方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形．
（1）若小正方形的边长为cm，则制作成的无盖长方体盒子的体积是多少？
（2）求这个长方体盒子的侧面积．
