2.5一元二次方程的根与系数的关系 题型专练
题型一、利用根与系数的关系求两根之和与两根之积
1．（2024·江苏盐城·三模）设方程的两个根为，那么的值等于（ ）
A．－3 B．1 C．－1 D．2
2．（2024·天津武清·三模）若，是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24九年级上·全国·课后作业）不解方程，判断方程两根的符号．
题型二、利用根与系数的关系求代数式的值
4．（2024·云南昆明·三模）已知和是一元二次方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C．6 D．
5．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）设，是的两实数根，求下列代数式的值．
(1)； (2)
6．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和．(1)填空：________，________；
(2)求，； (3)已知，求的值．
题型三、已知代数式的值求参数
7．（2024·江苏无锡·一模）设是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（ ）
A．1 B． C．3或 D．1或
8．（2023·湖北孝感·一模）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，
(1)求的取值范围： (2)若，试求的值．
9．（23-24九年级·浙江宁波·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)方程的两个实数根、满足，求实数m的值．
题型四、已知方程的一根求另一根和参数的值
10．（23-24九年级·吉林长春·阶段练习）若一元二次方程有一个根为2，则另一根为 ．
11．（23-24九年级·江苏苏州·期中）若关于x的一元二次方程有一个根是，
(1)求b的值及方程的另一个根；
(2)若菱形对角线长分别为、，则这个菱形面积为______．
12．（23-24九年级·浙江杭州·期中）对于一元二次方程，下列说法其中正确的是（ ）
①若方程的两个根是和2，则；
②若是方程的一个根，则一定有成立；
③若，则它有一个根是；
④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根．
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
题型五、根与系数的关系与三角形问题
13．（九年级上·贵州六盘水·阶段练习）已知，是关于一元二次方程的两个实数根．
(1)若 ,求的值；
(2)已知等腰的腰长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．
14．（2023九年级·全国·专题练习）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两根、是斜边长为5的直角三角形两直角边长，求k的值．
15．（23-24九年级·湖南长沙·阶段练习）已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根．
(1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
(2)当m为何值时，是以为斜边的直角三角形；
(3)当m为何值时，是等腰三角形，并求的周长．
题型六、根与系数的关系与四边形问题
16．（23-24九年级·安徽六安·阶段练习）已知正方形的两邻边，的长度恰为方程的两个实数根，则正方形的周长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
17．（19-20九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：的两边，的长是关于x的方程的两个实数根．
(1)当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长；
(2)若的长为2，那么的周长是多少？
18．（23-24九年级·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程有两个实根和．
(1)求实数的取值范围；
(2)是否存在矩形，和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
题型七 、根与系数的关系与判别式综合问题
19．（23-24九年级·浙江金华·期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题：
材料1：若一元二次方程的两个根为，则，．
材料2：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程两个不相等的实数根．
(1)材料理解：一元二次方程两个根为，则______，______．
(2)应用探究：已知实数m，n满足，，且，求的值．
20．（23-24九年级·浙江温州·期中）关于x的一元二次方程M：，且．
(1)请直接写出方程M：的一个根．
(2)方程N：．
①若方程M的另一个根为，求方程N的两根．
②若方程M，N的根相同，求证．
21．（23-24九年级·广西贺州·期中）阅读材料：
材料：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c有如下关系：，；
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)类比：一元二次方程的两个实数根为m，n，则 ； ；
(2)应用：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；
(3)提升：已知实数s，t满足，且，求的值．
题型八、新定义及材料探究题
22．（23-24九年级·江苏苏州·期中）对于实数，定义新运算“”：，例如：，因为，所以．
(1)求和的值；
(2)若是一元二次方程的两个根，且，求的值．
23．（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若x 、x 是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程．
(1)判断方程是否为“差积方程”？并验证；
(2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值；
(3)当方程(为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系．
24．（23-24九年级·北京·期中）定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程．
(1)下列方程是“差积方程”的是 ；
①
②
③
(2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值；
(3)当方程为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明．
一、单选题
1．设是关于x的方程的两根，是关于x的方程的两根，则p，q的值分别等于（ ）
A．1， B．1，3 C．， D．，3
2．已知a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．9
3．规定：对于任意实数a、b、c、d有，如：．
①已知，则，；
②若关于的方程有实数根，则且；
③若实数、满足，，则．
以上结论正确的个数有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
4．若m，n为方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C．7.5 D．-1.8
5．如果两不相等实数分别满足则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题
6．已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数 ．
7．若是方程的两根，则 ．
8．已知一元二次方程有两个实数根，两根之和为负数，则m的值可以是 ．（填一个值即可）．
9．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
10．已知关于的一元二次方程．若，是方程的两个实数根，且，则的值为 ．
三、解答题
11．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)已知方程一个根为2，求k的值．
12．（1）已知a、b是方程的两个根，求的值．
（2）已知a、b、c均为实数，且，，求正数c的最大值．
13．若关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如：已知一元二次方程的两个根是和，则该方程是“倍根方程”．
(1)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值；
(2)若是“倍根方程”，求代数式的值．
14．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根：
(2)设该方程的两个实数根为．
①求代数式：的最大值；
②若方程的一个根是6，和是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长．
15．若关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”
(1)请判断一元二次方程______（填“是”或“不是”）“倍根方程”；
(2)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，求a和c的关系．
2.5一元二次方程的根与系数的关系 题型专练
题型一、利用根与系数的关系求两根之和与两根之积
1．（2024·江苏盐城·三模）设方程的两个根为，那么的值等于（ ）
A．－3 B．1 C．－1 D．2
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程两根为，则两根之和，代值求解即可得到答案，熟记一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
【详解】解：方程的两个根为，
，
故选：C．
2．（2024·天津武清·三模）若，是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了根与系数的关系，直接利用根与系数的关系对各选项进行判断即可，若，是方程的两个根， 则，．
【详解】解：∵，是方程的两个根，
∴，，
故选：D．
3．（23-24九年级上·全国·课后作业）不解方程，判断方程两根的符号．
【答案】两根一正一负
【分析】由原方程得到：，根据一元二次方程根的判别式求出△的值，进而确定方程根的情况； 再根据根与系数关系求出两根之积的值，进而确定两根符号即可解答．
【详解】∵，，，
∴，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
∵，，
∴两根一正一负．
【点睛】本题考查判断一元二次方程根的符号的题目，掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．
题型二、利用根与系数的关系求代数式的值
4．（2024·云南昆明·三模）已知和是一元二次方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】D
【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
利用根与系数的关系，可得出，将其代入中，即可求出结论．
【详解】解：∵和是一元二次方程的两个实数根，
，
，
故选：D．
5．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）设，是的两实数根，求下列代数式的值．
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出是解题的关键．
（1）将代数式 变形为，再代入数据即可得出结论；
（2）将代数式变形为，再代入数据即可得出结论．
【详解】（1）∵是 的两实数根，
，
∴ ；
（2）
．
6．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和．
(1)填空：________，________；
(2)求，；
(3)已知，求的值．
【答案】(1)，；
(2)，；
(3)．
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．
（）利用根和系数的关系即可求解；
（）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得；
（）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解．
【详解】（1）解：由根与系数的关系得，，，
故答案为：，；
（2）解：∵，，
∴，
∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由根与系数的关系得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∴一元二次方程为或，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意；
∴．
题型三、已知代数式的值求参数
7．（2024·江苏无锡·一模）设是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（ ）
A．1 B． C．3或 D．1或
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：．
先根据一元二次方程根与系数的关系得出，再得出，得出关于m的一元二次方程，求解，再根据判别式检验即可．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∵，
∴，
整理得：，
，
解得：或，
当时，原方程为，，
则原方程有实数根，符合题意；
当时，原方程为，，
则原方程无实数根，不符合题意；
综上：．
故选：A．
8．（2023·湖北孝感·一模）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，
(1)求的取值范围：
(2)若，试求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根，熟练掌握根的判别式是解题关键．
（1）因为方程有两个实数根，得到，由此可求k的取值范围；
（2）由一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系，得出两根之和与两根之差的关系，解出两根，进而求得k．
【详解】（1）解：方程中，
，，，
由题意可知：，
解得：；
（2）∵是关于x的一元二次方程的根，
∴，即，
∵，
∴，即：①．
∵②，
联立①②解得：
∴，
解得：．
9．（23-24九年级·浙江宁波·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)方程的两个实数根、满足，求实数m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；
（2）根据方程的系数结合，可得出关于的方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：找出关于的方程．
【详解】（1）解： 关于的一元二次方程有实数根，
，
∴
解得：．
（2）解：原式
∴
∴
∴
∴（与相矛盾，故舍去），
题型四、已知方程的一根求另一根和参数的值
10．（23-24九年级·吉林长春·阶段练习）若一元二次方程有一个根为2，则另一根为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
由一元二次方程有一个根为2，另一根为，可得，计算求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程有一个根为2，另一根为，
∴，
解得，，
故答案为：．
11．（23-24九年级·江苏苏州·期中）若关于x的一元二次方程有一个根是，
(1)求b的值及方程的另一个根；
(2)若菱形对角线长分别为、，则这个菱形面积为______．
【答案】(1)，方程的另一个根为
(2)
【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程的根与系数的关系：若有两实数根为，，则，．根据根与系数的关系求解即可．
（1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，即可求解；
（2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求解．
【详解】（1）
解：设方程的另一个根为，
根据题意，得，
解得，
∴，方程的另一个根为．
（2）解：∵菱形对角线长分别为、，
∴菱形的面积为，
故答案为：．
12．（23-24九年级·浙江杭州·期中）对于一元二次方程，下列说法其中正确的是（ ）
①若方程的两个根是和2，则；
②若是方程的一个根，则一定有成立；
③若，则它有一个根是；
④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根．
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
【答案】C
【分析】此题考查了一元二次方程的根、根与系数关系等知识，根据一元二次方程根的定义和根与系数关系分别进行计算即可得到答案．
【详解】解：若方程的两个根是和2，则，
∴，
∴；
故①正确；
若是方程的一个根，则，
∴或，
故②错误；
若，则，
即有一个根是；
故③正确；
若方程有一个根是，则，
当时，，
即若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根．
故④正确；
综上可知，正确的是①③④，
故选：C
题型五、根与系数的关系与三角形问题
13．（九年级上·贵州六盘水·阶段练习）已知，是关于一元二次方程的两个实数根．
(1)若 ,求的值；
(2)已知等腰的腰长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．
【答案】(1)6
(2)17
【分析】（1）由题意得：，，，得，，将其整体代入可得：，进而可求解．
（2）分类讨论：①当7为底边时；②当7为腰时；利用一元二次方程根的判别式及一元二次方程的解即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：，，
，
解得：，
，
解得：或（舍去），
的值为6．
（2）当7为腰时，设，代入方程得：，
解得：或，
当时，方程变为，
解得：或15
，
∴不能组成三角形；
当时，方程变为，
解得：或7，
，，
的三边分别为：3、7、7，
的周长为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解、根的判别式、根与系数的关系及三角形三边关系，熟练掌握其基础知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
14．（2023九年级·全国·专题练习）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两根、是斜边长为5的直角三角形两直角边长，求k的值．
【答案】(1)见解析；
(2)3
【分析】（1）先根据判别式的值得到，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数的关系得到，，再根据勾股定理得到，接着利用完全平方公式变形得到，则，然后解方程后利用方程的两根为正数确定k的值．
【详解】（1）证明：，
所以无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：，，
∵、是斜边长为5的直角三角形两直角边长，
∴，
∴，
∴，
整理得，
解得：，，
∵，，
∴k的值为3．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况及根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程；熟练掌握根的判别式及根与系数的关系是解题的关键，对于一元二次方程，若，方程有两个不相等的实数根，若，方程有两个相等的实数根，若，方程无实数根；若、是一元二次方程的两根时，，．
15．（23-24九年级·湖南长沙·阶段练习）已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根．
(1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
(2)当m为何值时，是以为斜边的直角三角形；
(3)当m为何值时，是等腰三角形，并求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)11或13
【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，勾股定理及等腰三角形的性质：
（1）求出判别式的符号，即可得证；
（2）根据勾股定理结合根与系数的关系进行求解即可；
（3）分为腰和为底边两种情况进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴
；
∴无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）由题意，得：，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
∴
，
解得：或（不合题意，舍去）；
∴；
（3）①当为腰长时，则方程有一个根为5，代入方程，得：
，
∴，
∴方程为：，
解得：，
∴等腰三角形的三边为：，
∴周长为：；
②当为底边时，则方程有2个相同的实数根，
∴，
∴，
∴方程为：，
解得：，
∴等腰三角形的周长为：；
综上：周长为11或13．
题型六、根与系数的关系与四边形问题
16．（23-24九年级·安徽六安·阶段练习）已知正方形的两邻边，的长度恰为方程的两个实数根，则正方形的周长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】此题考查了正方形的性质，一元二次方程根与系数的关系.
首先根据正方形的性质得到，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到，进而求出，即可得到正方形的周长．
【详解】∵四边形是正方形
∴
∵正方形的两邻边，的长度恰为方程的两个实数根，
∴，
∴
∴正方形的周长为．
故选：B．
17．（19-20九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：的两边，的长是关于x的方程的两个实数根．
(1)当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长；
(2)若的长为2，那么的周长是多少？
【答案】(1)当时，四边形是菱形，菱形的边长是
(2)5
【分析】此题考查了平行四边形的性质“平行四边形对边相等”，菱形的判定“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，以及一元二次方程根与系数关系：，是解题的关键．
（1）根据菱形的判定定理“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，得出，则方程有两个相等的实数根，根据判别式求解即可；
（2）把代入原方程得，求出m的值，再根据一元二次方程根于系数的关系，得出，则，即可求出周长．
【详解】（1）解：四边形是菱形，
，
∵，的长是关于x的方程的两个实数根，
∴方程有两个相等的实数根，
，即．
整理得：，
解得．
当时，原方程为，
解得：．
故当时，四边形是菱形，菱形的边长是；
（2）解：∵，
∴方程的一个根为2，
把代入原方程得，
解得：．
把代入原方程得，
∴，则，
．
18．（23-24九年级·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程有两个实根和．
(1)求实数的取值范围；
(2)是否存在矩形，和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】本题考查了根与系数的关系和根的判别式，勾股定理，能熟记根与系数的关系和根的判别式的内容是解此题的关键．
（1）求出的值，根据已知得出不等式，求出即可；
（2）根据根与系数的关系得出，，根据已知得出，变形后代入求出的值，进行判断即可．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实根和，
，
解得：；
（2）和一元二次方程的两根，
，，
和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为，
，
，
，
解得：，
，，
不符合题意，
不存在矩形，和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为．
题型七 、根与系数的关系与判别式综合问题
19．（23-24九年级·浙江金华·期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题：
材料1：若一元二次方程的两个根为，则，．
材料2：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程两个不相等的实数根．
(1)材料理解：一元二次方程两个根为，则______，______．
(2)应用探究：已知实数m，n满足，，且，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟记根与系数的关系，并灵活应用是解本题的关键．
（1）直接根据根与系数的关系可得答案；
（2）由题意可得m，n是的两个根，则，，再把分解因式，再代入求值即可；
【详解】（1）解：∵一元二次方程两个根为，
则，．
（2）解：∵实数m，n满足，，且，
∴m，n是方程两个不相等的实数根．
∴，，
∴；
20．（23-24九年级·浙江温州·期中）关于x的一元二次方程M：，且．
(1)请直接写出方程M：的一个根．
(2)方程N：．
①若方程M的另一个根为，求方程N的两根．
②若方程M，N的根相同，求证．
【答案】(1)
(2)①，；②见解析
【分析】本题考查一元一次方程的解，一元二次方程根与系数关系，掌握使一元二次方程成立的未知数值叫一元二次方程的解和一元二次方程根与系数关系是解题的关键．
（1）把代入方程，得，即可得出结论；
（2）①由题意可得方程M的根为：或；将方程的两边同除以，得，则，对比方程M，可得或1，即可求解；
②设两方程两根为, ,对于方程M，则，对于方程N，则，所以，则，代入计算即可得出结论．
【详解】（1）解：把代入方程，得，
∴是方程M：的一个根；
（2）解：①由（1）知是方程M的一根，
∵方程M的另一个根为，
∴方程M的根为：或；
方程的两边同除以，得，
∴，
∴或，
∴，；
②∵方程M，N的根相同，设两方程两根为, ,
∴对于方程M，则，对于方程N，则，
∴，
∴，
∴．
21．（23-24九年级·广西贺州·期中）阅读材料：
材料：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c有如下关系：，；
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)类比：一元二次方程的两个实数根为m，n，则 ； ；
(2)应用：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；
(3)提升：已知实数s，t满足，且，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)的值为
【分析】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系及巧妙使用整体思想是解题的关键．
（1）利用根与系数的关系即可解决问题．
（2）将所给代数式转化为m与n的和与积的形式即可解决问题．
（3）将s和t看作方程的两个根即可解决问题．
【详解】（1）解：，，
故答案为：，
（2）解：根据题意，一元二次方程的两个实数根为m，n，
∴，
∴；
（3）解：∵实数s，t满足，且，
∴实数s，t是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴
．
题型八、新定义及材料探究题
22．（23-24九年级·江苏苏州·期中）对于实数，定义新运算“”：，例如：，因为，所以．
(1)求和的值；
(2)若是一元二次方程的两个根，且，求的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查了新定义、一元二次方程根与系数的关系以及实数的运算：
（1）根据题目已知定义计算即可；
（2）先根据一元二次方程根的定义得到，再根据新定义化简原式，利用根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）
；
；
（2）是一元二次方程的根，
，
根据根与系数的关系得，
．
23．（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若x 、x 是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程．
(1)判断方程是否为“差积方程”？并验证；
(2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值；
(3)当方程(为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系．
【答案】(1)是，证明见解析
(2)或
(3)
【分析】本题考查了根与系数的关系，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键．
（1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可；
（2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解；
（3）根据求根公式求得，；根据新定义列出方程即可求解．
【详解】（1）方程是“差积方程”，
证明：，
即，
解得，，
，
是差积方程；
（2）解：，
解得方程的解为：，，
是差积方程，
，
即：或．
解得：或，
（3）解： ，
解得，，
是差积方程，
，
即，
即．
24．（23-24九年级·北京·期中）定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程．
(1)下列方程是“差积方程”的是 ；
①
②
③
(2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值；
(3)当方程为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明．
【答案】(1)①②
(2)或，
(3)
【分析】（1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解；
（2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解；
（3）根据求根公式求得，根据新定义列出方程即可求解．
本题考查了新定义运算，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键．
【详解】（1）解：①，
即，
解得：，
，
是差积方程；
②，
即，
解得，
，
是差积方程；
③，
即，
解得：，，故③不是差积方程；
故答案为：①②；
（2）解：，
即，
解得：，，
是差积方程，
，
即或．
解得：或，
（3）解：，
解得：，
，
是差积方程，
，
即，
即．
一、单选题
1．设是关于x的方程的两根，是关于x的方程的两根，则p，q的值分别等于（ ）
A．1， B．1，3 C．， D．，3
【答案】C
【分析】考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键；根据根与系数的关系，可得，，整理可得关于p，q的二元一次方程组，解方程组即可；
【详解】解：是关于x的方程的两根，
，
是关于x的方程的两根，
，，即，
将代入整理得，
，解得，
故选：．
2．已知a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．9
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形，由于，故根据方程的解的意义，求得的值，由根与系数的关系得到的值，即可求解．
【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根，
∴，即
由根与系数的关系得：，
∴，
故选：A．
3．规定：对于任意实数a、b、c、d有，如：．
①已知，则，；
②若关于的方程有实数根，则且；
③若实数、满足，，则．
以上结论正确的个数有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】此题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的判别式等知识，利用因式分解法解①得到的方程，即可判断①，利用分类讨论即可判断②，利用一元二次方程的根与系数关系和公式法解方程即可判断③．
【详解】解：①∵，
∴，
即，
解得，；
故选项①正确；
②∵
∴
∴
当时，，
∴关于的方程有实数根，
当时，是一元二次方程，
∵关于的方程有实数根，
∴
解得且；
综上可知，若关于的方程有实数根，则；
故选项②错误；
③∵，，
∴，
∴，
解得或，或，
∵，
∴s和t是一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴
∴当时，则，
此时，
∴当时，则，
此时，
∴．
故选项③错误，
∴正确的是①，
故选：B
4．若m，n为方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C．7.5 D．-1.8
【答案】A
【分析】本题考查根与系数关系，一元二次方程的解等知识，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．
由，是方程的两个实数根，推出，，，推出，再利用整体代入的思想解决问题．
【详解】解：，是方程的两个实数根，
∴，，，
∴，
∴
．
故选：A．
5．如果两不相等实数分别满足则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式方程，解题的关键是不要直接求根，而是要利用根与系数的关系，代入求值．利用根与系数的关系求出，，再把变成，然后把前面的关系式代入即可求出代数式的值．
【详解】解：实数分别满足，
实数是方程的两根，
故选：A.
二、填空题
6．已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程的根与系数的关系，得出，代入，即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为，，
∴
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
7．若是方程的两根，则 ．
【答案】2022
【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，由是方程的两根，得出，，整体代入计算即可得出答案，熟练掌握关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，是解此题的关键．
【详解】解：是方程的两根，
，，
，
，
故答案为：．
8．已知一元二次方程有两个实数根，两根之和为负数，则m的值可以是 ．（填一个值即可）．
【答案】1（即可）
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，恒成立，
∵两根之和为负数，
∴，
∴，
∴m的值可以是1，
故答案为：1（即可）
9．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义和根与系数的关系，解题的关键是掌握，．把代入原方程得 ，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，整理，即可求解．
【详解】解：把代入原方程得：，
∴，
∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴
；
故答案为：4049．
10．已知关于的一元二次方程．若，是方程的两个实数根，且，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意得：，，结合题意得出或，再分别利用根的判别式验证即可．
【详解】解：由题意得：，，
，
，
解得：或，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
的值为，
故答案为：．
三、解答题
11．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)已知方程一个根为2，求k的值．
【答案】(1)见解析
(2)，或
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程根的判别式判定根的情况，一元二次方程根与系数的关系，是解题的关键．
（1）根据一元二次方程写出根的判别式，根据根的判别式的值为正数即可证明方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另一根为α，根据根与系数的关系列方程组，消去a，得到k的一元二次方程，解方程即得．
【详解】（1）解：∵，
故方程有两个不相等的实数根．
（2）设方程的另一根为a，
则，
∴，
∴，
∴，或，
解得，，或．
12．（1）已知a、b是方程的两个根，求的值．
（2）已知a、b、c均为实数，且，，求正数c的最大值．
【答案】14；
【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，
（1）将进行整理得到，再根据根与系数的关系，得到的值，然后利用完全平方公式，即可解答；
（2）进行变形可得，，逆用根与系数的关系，可得是的两个解，再利用根的判别式即可解答；
熟记根与系数的关系为，是解题的关键．
【详解】（1）解： 由a、b是方程的两个根，
可得，，
；
（2）解：进行变形可得，，
是的解，
根据根的判别式可得，
整理得,
解得，
正数的最大值为．
13．若关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如：已知一元二次方程的两个根是和，则该方程是“倍根方程”．
(1)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值；
(2)若是“倍根方程”，求代数式的值．
【答案】(1)；
(2)0．
【分析】（1）设一元二次方程的一个根为，则另一个根为，结合新定义与根与系数的关系可求解；
（2）先解方程可得，再结合新定义分两种情况求解代数式的值即可．
【详解】（1）解：设一元二次方程的一个根为，则另一个根为，
∴由根与系数的关系得，，
解得，，即一个根为1，另一个根为2，
．
（2），
，
当时，，原式，
当时，，原式．
【点睛】本题考查的是新定义的含义，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解法，求解代数式的值，掌握基础知识是解本题的关键．
14．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根：
(2)设该方程的两个实数根为．
①求代数式：的最大值；
②若方程的一个根是6，和是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②等腰三角形的周长为16或17或19或20
【分析】
（1）根据判别式的范围进行证明即可；
（2）①根据一元二次方程根与系数关系得到，，则，即可得到答案；
②把代入方程解得，分两种情况解方程分别求出原方程的解，根据等腰三角形的定义求解即可．
【详解】（1）
证明：∵
，
∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）
①解：∵该方程的两个实数根为
∴，，
∴
，
∵，
∴，
∴代数式的最大值为；
②把代入方程得：
解得，
把代入方程得：，
∴，
∴等腰三角形的边长为5，5，6或6，6，5，
∴此等腰三角形的周长为16 或17，
把代入方程得：
∴，
∴等腰三角形的边长为6，6，7或7，7，6，
∴此等腰三角形的周长为19或20，
综上，等腰三角形的周长为16或17或19或20．
【点睛】
此题考查了一元二次方程根与系数关系、根的判别式、解一元二次方程、等腰三角形的定义等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数关系、根的判别式是解题的关键．
15．若关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”
(1)请判断一元二次方程______（填“是”或“不是”）“倍根方程”；
(2)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，求a和c的关系．
【答案】(1)是
(2)
【分析】本题考查了解方程，根与系数的关系，
（1）因式分解解方程得，，即可得；
（2）根据题意设方程的两根分别为，根据根与系数的关系得，即，即可得．
【详解】（1）解：
，，
，
∴一元二次方程是“倍根方程”，
故答案为：是；
（2）解：∵一元二次方程是“倍根方程”，
∴设方程的两根分别为，
∴，
即，
∴，
，
．
