2024年河南师大附中中考数学四模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，最小的数是( )
A. 0 B. 3 C. D.
2.某几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体的俯视图可能是( )
A. B. C. D.
3.华夏飞天续锦章，摘星揽月入天阊年10月26日神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心圆满发射成功.此次神舟十七号载人飞船航天员空间站还将进行一系列科学实验，包括“空间蛋白质分子组装与应用研究”.其中某一蛋白质分子的直径仅米，这个数用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.下面式子计算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，已知平行线a，b，一个直角三角板的直角顶点在直线a上，另一个顶点在直线b上，若，则的大小为( )
A. B. C. D.
6.不等式的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
7.若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.一组数据3、4、4、5，若添加一个数4得到一组新数据，则前后两组数据的统计量会变小的是( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
9.如图，在正六边形ABCDEF和正方形ABGH中，连接FH并延长交CD边于P，则( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，线段，点P是线段AB上一个动点不包括A、在AB同侧作，，，，M、N分别是AC、BD的中点，连接MN，设，，则y关于x的函数图象为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.要使分式有意义，x的取值应满足______.
12.一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2个座位上.则甲与乙相邻而坐的概率为______.
13.学生甲在凉亭A处测得湖心岛C在其南偏西的方向上，又从A处向正东方向行驶300米到达凉亭B处，测得湖心岛C在其南偏西的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为______.
14.如图，在中，，，以O为圆心，AO为半径作半圆，以A为圆心，AB为半径作弧BD，则图中阴影部分的面积为______.
15.如图，在矩形ABCD中，，E是BC的中点，连接AE，，P是AD边上一个动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点处，当是直角三角形时，PD的值为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题10分
计算：；
化简：
17.本小题9分
某校初一年级在体育运动周增设花样跳绳比赛，比赛前有一周训练时间，某班25名同学积极报名参赛，并利用每日课间时间集中训练，训练前后成绩如下：
求扇形统计图中成绩为“分”所占扇形的圆心角度数；
学校要求每班选取12名同学参赛，小丽同学训练前成绩为分，训练后成绩为分，她分析训练前后的成绩统计图，认为根据自己训练前后的成绩一定会落选.你认为小丽同学分析的正确吗？并说明理由.
班主任拿到每名同学的成绩后，发现成绩第12名有李敏和张颖两人，体委提出让这两名同学进行单独测试，下表是加试五次后两名同学的成绩及分析后的数据.
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 平均数 众数 中位数 方差
李敏 5 9 9 8 9 8 9 9
张颖 8 8 8 8 8 8
根据表中数据，从多角度分析，你认为选择哪位同学参赛更合适？
18.本小题9分
如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点E，点在直线上， ABCD的顶点D在x轴上，反比例函数的图象经过点B、
求反比例函数的关系式和点C的坐标；
求 ABCD的面积.
19.本小题9分
学校计划选购甲、乙两种图书作为校园图书节的奖品，已知甲种图书的单价是乙种图书单价的倍，用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本．
甲、乙两种图书的单价分别为多少元？
若学校计划购买这两种图书共40本，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量的一半，如何购买使得所需费用最少？最少费用是多少？
20.本小题9分
阅读材料：尺规作图是起源于古希腊的数学课题，是指用没有刻度的直尺和圆规作图.无刻度直尺在作图时只可用来画直线、射线或线段.请根据以上材料按要求进行作图.
如图1，在中，，请用无刻度直尺与圆规在BC边上作出一点O，使得过点C且与AB相切保留作图痕迹，不需说明作图步骤
如图2，在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D是网格中的四个格点，且
作图：请在图2中仅用无刻度直尺作出一点O，使得过点C且与AB相切于点保留作图痕迹，不需说明作图步骤
21.本小题9分
小明发现：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
①小亮通过举例验证：为偶数.请你把10的一半表示为两个正整数的平方和；
②设“小明发现”中的两个已知正整数为m，n，请你说明“小明发现”中的结论一定正确.
小颖受到小明和小亮的启发，通过观察下列两个两位数的积两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于：，， ，，设这两个两位数的积为y，其中一个乘数为为小于10的正整数，她发现了y与x的关系式.请你求出该关系式.
22.本小题10分
嘉嘉和淇淇在进行羽毛球比赛，某同学借此次情境编制了一道数学题，请解答这道题.
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长，嘉嘉在点处发球，羽毛球看成点的运动路线为抛物线的一部分.当球运动到最高点时，离嘉嘉站立的位置水平距离为3m，其高度为2m，淇淇恰在点处将球击回.在与点O水平距离3m处设有一个高为的球网MN、P，Q为两侧边界.与球网的距离均为注意：运动员在接/发球时，身体不可以接触球网，否则犯规
求抛物线的解析式和c的值不必写x的取值范围；
当羽毛球被淇淇击回后，其运动路线为抛物线：的一部分.
①试通过计算判断此球能否过网？是否出界？
②嘉嘉在球场上处准备接球，原地起跳后使得球拍达到最大高度，若嘉嘉因接球高度不够而失球，直接写出d的取值范围.
23.本小题10分
综合与实践数学活动课上，张老师找来若干张等宽的矩形纸条，让学生们进行折纸探究.
希望小组将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点处，折痕为
埴空：图中四边形的形状是______.
智慧小组准备了一张如图所示的长、宽之比为：的矩形纸片ABCD，用希望小组的方法折叠纸片.得到四边形，接着沿过点C的直线折叠纸片，使点D落在上的点M处，折痕为
求的度数.
勤奋小组拿着一张如图所示长为5，宽为2的矩形纸片ABCD，利用希望小组的方法折叠纸片，得到四边形，在ED上取一点不与点D，E重合，沿CF折叠点D的对应点为M，射线FM交直线BC于点
①FY与CY的数量关系为______.
②当射线FM经过的直角边的中点时，直接写出FD的长.
参考答案
1.解：，
最小的数是：
故选：
2.解：由题意可得：
该几何体是球体与立方体的组合图形，则其俯视图为圆形中间为正方形，故选项B正确．
故选：
3.解：
故选：
4.解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：
5.解：，
，
直角三角板的直角顶点在直线a上，
，
故选：
6.解：不等式组整理得：，
解得：，
数轴上表示，如图所示：
.
故选：
7.解：关于x的一元二次方程有实数根，
，即，
解得
故选：
8.解：原数据的3，4，4，5，的平均数为，中位数为4，众数为4，方差为；
新数据3，4，4，4，5的平均数为，中位数为4，众数为4，方差为；
故选：
9.解：正六边形ABCDEF中，，，
正方形ABGH中，，
则，
那么，
五边形ABCPF的内角和为，
，
，
，
故选：
10.解：连接PM、PN，则PM、PN分别为，的中线，
，则，
则，
同理，
，
函数的对称轴，
故选：
11.解：要使分式有意义，
则，
解得：，
故答案为：
12.解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中甲与乙相邻而坐的结果有：①③，②③，③①，③②，共4种，
甲与乙相邻而坐的概率为
故答案为：
13.解：点A作于点D，
由题意可得：，，
，，
，
；
在中，米，
米，
米，
米，
，
米，
故答案为：米．
14.解：在中，，，
，
，
阴影部分的面积：
，
故答案为：
15.解：在矩形ABCD中，，E是BC的中点，
，，，
，
，
，
沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点处，
，
设，则：，
当是直角三角形时，
①时，则，
，
∽，
，即：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
；
②当时，
，
，
∽，
，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
；
综上所述，当是直角三角形时，或
故答案为：或
16.解：
；
17.解：，
答：圆心角度数为
小丽的说法不正确，
从25名同学中选12名同学参赛，说明小丽的成绩只要达到中位数就能参赛．
小丽同学训练前成绩为分，从训练前成绩统计图看，分有4人，分有5人，，因此根据小丽训练前的成绩她一定落选．
小丽同学训练后成绩为分，从训练后成绩统计图看，，
因此成绩的中位数在“”分之间，她很有可能排在前12名，有被录取的可能性．
从平均数看，8分分，李敏，张颖平均水平相同．
结合众数看，9分分，李敏成绩更好，应该选李敏．
结合中位数看，9分分，李敏成绩高分较多，应该选择李敏．
结合方差看，，张颖成绩更稳定，应该选择张颖．
18.解：点在直线上，
，
，
，
反比例函数的图象经过点B，
，
反比例函数为，
直线与y轴交于点A，与x轴交于点E，
，，
点A向上平移2个单位，向右平移1个单位得到B，
设，则，
反比例函数的图象经过点C，
，
，
，，
延长BC交x轴于点F，
设直线BC为，
把B、C的坐标代入得，
解得，
直线BC为，
，
ABCD的面积
19.解：设乙种图书的单价为x元/本，则甲种图书的单价为元/本，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的根，且符合题意，
答：甲种图书的单价为30元/本，乙种图书的单价为20元/本．
设购买甲种图书m本，则购买乙种图书本，
根据题意得：，
解得：，
为整数，
设购书费用为y元，则，
，
随m的增大而增大，
当时，y取最小值，最小值
答：购买14本甲种图书、26本乙种图书费用最少，最少费用为940元．
20.解：图形如图1所示：
图形如图2所示．
21.解：①，而；
把10的一半表示为两个正整数的平方和为；
②根据已知得：，
两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，
该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．
“发现”中的结论“两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和”正确；
一个乘数为为小于10的正整数，
另一个乘数为
这两个两位数的积为y，
答：y与x的关系式是为小于10的正整数
22.解：依题意，嘉嘉发球时，球在处达到最高点，
设抛物线的解析式为，
经过点，
，
解得，
抛物线的解析式为；
当时，，
；
①由得，故抛物线的解析式为，
当时，
球可以过网；
当时，，
整理得，
解得舍去，，
由题意可得，，
，
球没有出界，
综上，球可以过网，球没有出界；
②由题意得：，
解得
嘉嘉在球网的右侧，
，
的取值范围为
23.解：如图，四边形ABCD是矩形，
，
由折叠得，，
四边形是矩形，
平分，，，
，
四边形是正方形，
故答案为：正方形．
如图，由得，四边形是正方形，
，
，
四边形是矩形，
，
由折叠得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的度数是
①由折叠得，
，
，
，
，
故答案为：
②当射线FM经过的中点，即Y是的中点时，如图3，
，，且四边形是正方形，
，
，，
，
由折叠得，，，
，
，
；
当射线FM经过的中点G时，如图，则，
，，
≌，
，
设，则，
，，
，
，
解得，，
，不符合题意，舍去，
，
综上所述，FD的长为或
