2023-2024学年江苏省南京二十九中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A. B. C. D.
2.已知非零向量，，则是成立的条件．
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要
3.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到的图象所对应的函数的解析式为( )
A. B. C. D.
4.甲在微信群中发布元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人依次抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到元，则乙获得“手气最佳”即乙领取的钱数不少于丙、丁的概率是( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.如图所示，在中，，是上的一点，若，则实数的值为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知正方体的棱长是，点是棱的中点，是正方体表面上的一动点，，则动点的轨迹长度是( )
A. B. C. D.
8.已知，且，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知事件、发生的概率分别为，，则( )
A. 若，则事件与相互独立
B. 若与相互独立，则
C. 若与互斥，则
D. 若发生时一定发生，则
10.已知，，且，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
11.用一个平行于正三棱锥底面的平面去截正三棱锥，我们把底面和截面之间那部分多面体叫做正三棱台如图，在正三棱台中，已知，则( )
A. 正三棱台的体积是
B. 直线与平面所成的角为
C. 点到平面的距离为
D. 正三棱台存在内切球，且内切球半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知样本，，，，方差，则样本，，，，的方差为______．
13.已知函数若存在实数，，，满足，且，则的取值范围是______．
14.欧拉，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数自然对数的底数，圆周率，两个单位虚数单位和自然数单位，以及被称为人类伟大发现之一的，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，将复数表示成为虚数单位的形式______；若，则，这里，称为的一个次单位根，简称单位根类比立方差公式，我们可以获得，复数，则的值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，，．
若三点，，共线，求实数的值；
是否存在实数，使得在上的投影向量是？若存在，请求出实数的值，若不存在请说明理由．
16.本小题分
某高校承办了年上海帆船公开赛的志愿志选拔面试工作，现随机抽取了名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同．
求、的值，并估计这名候选者面试成绩的平均数；
在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取人，然后再从这人中选出人，求选出的两个来自同一组概率．
17.本小题分
如图，已知等腰梯形中图，是的中点，，将沿着翻折图，使得直线与不在同一个平面，得到四棱锥．
求直线与所成的角的大小；
在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出：的值；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知函数．
若，求的取值范围；
若有两个不相等的实根，，且
求的取值范围；
证明：．
19.本小题分
若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角如图，已知中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角．
若，且满足，
求的大小；
若，求布洛卡角的正切值；
若平分，试问是否存在常实数，使得，若存在，求出常数；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：点，，，
则，，
三点，，共线，
则，
则，解得；
，，
在上的投影向量是，
则，即，解得或．
16.解：因为第三、四、五组的频率之和为，
所以，
解得，
所以前两组的频率之和为，
即，所以；
平均数为，
第四、第五两组志愿者分别有人，人，
故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为，分别设为，，，，第五组志愿者人数为，设为，
这人中选出人，所有情况有种情况，分别为：
，，，，，，，，，
其中选出的两人来自同一组的有：
，，，，，，共种情况，
故选出的两人来自同一组的概率为．
17.解：因为，是的中点，连接，
所以，故四边形是菱形，
从而，
所以沿着翻折成后，，，
又因为，，平面，
所以平面，又平面，
所以，
所以直线与所成的角的大小为；
存在，理由如下：
假设线段上是存在点，使得平面，
过点作交于，连接，，
如下图，
所以，所以，，，四点共面，
又因为平面，平面平面，平面，
所以，
过，，，四点的平面唯一确定，所以四边形为平行四边形，
故，所以为的中点，
故在线段上存在点，使得平面，且：：．
18.解：由可得，所以，
即，解得，
所以的范围为；
因为有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根，
即有两个不相等的实根，
设，问题转化为与有两个不同的交点，
结合二次函数的性质可知，当时，，
故；
证明：由可知，
所以，，
且满足，，即，
，
又，
当时，，
根据二次函数的性质可知，，
所以
．
19.解：若，即，得，
点满足，则，
在与中，，，
所以∽，则，
即，所以，
在中，，
因为，所以．
在中，应用余弦定理以及三角形面积公式得：
，
，
，
三式相加可得；
在内，应用余弦定理以及三角形面积公式得：
，
在，内，同理可得：
，，
三式相等，即，
因为点在内，则，
由等比性质得：
，
所以，
由知，，
所以，
所以．
因为，
即，
所以，
在，，中，分别由余弦定理可得：
，
，
，
三式相加整理得：
，
所以，
因为平分，则，，
所以，
由余弦定理可得：
，
所以，
所以，
即，则，
所以若平分，则存在常实，使得．
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