2023-2024学年福建省福州市八县（市）协作校高一（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.在平行四边形中，是的中点，则( )
A. B. C. D.
3.的内角、、的对边分别为、、，若，，，则( )
A. B. C. D.
4.某小组有名男生和名女生，从中任选名学生参加比赛，事件“至少有名男生”与事件“至少有名女生”( )
A. 是对立事件 B. 都是不可能事件 C. 是互斥事件但不是对立事件 D. 不是互斥事件
5.下列说法中正确的个数是( )
若两个平面都与第三个平面垂直，则这两个平面平行；
如果平面外有两点，到平面的距离相等，则直线；
若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行；
一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.已知按从小到大顺序排列的两组数据：
甲组：，，，，，；
乙组：，，，，，．
若这两组数据的第百分位数对应相等，第百分位数也对应相等，则( )
A. B. C. D.
7.已知直四棱柱的高为，其底面四边形水平放置时的斜二测直观图为矩形，如右图所示．若，则该直四棱柱的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
8.一个电路如图所示，，，，为个开关，其闭合的概率均为，且是相互独立的，则灯亮的概率为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，，则( )
A. B.
C. 不能作为一组基底 D. 在方向上的投影向量为
10.已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列四个命题中正确的命题是( )
A. 若，则一定是等边三角形
B. 若，则一定是等腰三角形
C. 若，则一定是锐角三角形
D. 若，则一定是锐角三角形
11.圆台的轴截面如图所示，其上、下底面的半径分别为，，母线长为，点为母线的中点，则下列结论正确的是( )
A. 圆台的侧面积为
B. 与所成角为
C. 圆台外接球的半径为
D. 在圆台的侧面上，从点到点的最短路径的长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.掷两颗骰子，出现点数之和为的概率为 ．
13.写出一个同时满足的复数 ______．
；
．
14.佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫的功效经研究发现一批香囊中一种草药甲的含量单位：克与香囊功效之间满足，现从中随机抽取了个香囊，得到香囊中草药甲的含量的平均数为克，香囊功效的平均数为，则这个香囊中草药甲含量的方差为______克
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数满足，．
求；
设复数，，在复平面内对应的点分别为，，，求，
16.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
求的大小；
若面积为，外接圆面积为，求周长．
17.本小题分
如图，在几何体中，底面为矩形，，，，为棱上一点，平面与棱交于点．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求证：；
Ⅲ若，试问平面是否可能与平面垂直？若能，求出的值；若不能，说明理由．
18.本小题分
我省实行“”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高二年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定、、、、共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分，等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；现从全年级的生物成绩中随机取学生的原始成绩未赋分进行分析，其频率分布直方图如图所示：
求图中的值，并求抽取的这名学生的原始成绩的众数和中位数结果为准确值；
用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的等级及以上含等级；结果保留整数
若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取人进行调查分析，求这人中恰有一人原始成绩在内的概率．
19.本小题分
罗星塔，位于福州马尾，某校开展数学建模活动，有学生选择测量罗星塔的高度，为此，他们设计了测量方案，如图，罗星塔垂直于水平面，他们选择了与罗星塔底部在同一水平面上的，两点，测得，米，且在，两点观察塔顶点，仰角分别为和，其中．
求罗星塔的高的长；
在的条件下求多面体的表面积；
在的条件下求多面体的内切球的半径．
答案解析
1.
【解析】解：，
则，其虚部为．
故选：．
2.
【解析】解：因为平行四边形中，是的中点，
则．
故选：．
3.
【解析】解：因为，，，
所以，
则由余弦定理可得．
故选：．
4.
【解析】解：根据题意，从名男生和名女生中任选名学生参加比赛，有“名男生”和“名男生和名女生”两种情况，
易得“至少有名女生”即“名男生和名女生”，是“至少有名男生”的子事件，
故事件“至少有名男生”与事件“至少有名女生”不是互斥事件．
故选：．
5.
【解析】解：在中，如果两个平面都与第三个平面垂直，那么这两个平面相交或平行，故不正确；
在中，如果平面外有两点，到平面的距离相等，如图所示，
则直线和平面可能平行或可能相交，故错误；
若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行相交或异面，故错误；
空间中，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它和另一条可能相交，也可能异面，故错误．
故选：．
6.
【解析】解：根据题意，甲、乙两组数据都按从小到大顺序排列，
甲乙都有个数据，，
则甲组数据的第百分位数为，乙组数据的第百分位数为，则有，
又由，
则甲组数据的第百分位数为，乙组数据的第百分位数为，
则有，解可得，
故．
故选：．
7.
【解析】解：由直观图可得底面四边形的平面图形如下，
由，
则，所以，
则，
所以，
又直棱柱的高，所以棱柱的侧面积，
所以，
故选：．
8.
【解析】解：电路由上到下有个分支并联，
开关，所在的分支不通电的概率为，
开关，所在的分支不通电的概率为，
所以灯亮的概率为．
故选：．
9.
【解析】解：，，
，，，
对于选项，，故A选项正确；
对于选项，，，
，，
，故B选项错误；
对于选顶，显然，不共线，可以作为一组基底，故C错误；
对于选项，在方向上的投影向量为，故D选项正确．
故选：．
10.
【解析】解：若，则，即，即，即是等边三角形，故A正确；
若，则由正弦定理得，则或，即或，则为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
中，，角为锐角，但不一定是锐角三角形，故C错误．
由于，
所以，则一定是锐角三角形，故D正确；
故选：．
11.
【解析】解：圆台的上、下底面半径分别为，，母线长为，为母线中点，
所以圆台的侧面积为，选项A错误；
因为，所以，所以与所成角为，选项B正确；
根据题意知，外接球的球心在圆台的中心连线上，
设球心到上底面的距离为，
所以，解得，
所以圆台外接球的半径为，选项C正确；
展开面如图所示：
根据比例关系求出，展开面为半圆环；
点为母线的中点，所以，，选项D正确．
故选：．
12.
【解析】解：掷两颗骰子，总共可能出现的结果有种，
出现点数之和为包含的可能结果有种：
，，，，，
出现点数之和为的概率为．
故答案为：．
13.或
【解析】解：因为，不妨设，
由得，
所以，解得，，所以或，
故答案为：或
14.
【解析】解：设抽取的个香囊中草药甲的含量分别为克，香囊功效分别为，，，，，
草药甲的含量的平均数为克，香囊功效的平均数为，
即，，
则，
则这个香囊中草药甲含量的方差，
所以这个香囊中草药甲含量的方差为克．
故答案为：．
15.解：复数满足，．
所以，
所以，
故；
由得，
则，
，则，
，则，
所以，，．
故，．
【解析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，复数模公式，即可求解；
根据已知条件，结合复数的四则运算，复数的几何意义，求出，，，再结合向量的夹角公式，即可求解．
16.解：利用正弦定理得，
，
，
，
．
由，得，
，
解得．
，
，
又，所以，
故，
所以周长．
【解析】直接利用正弦定理和余弦定理的应用求出的值；
利用正弦定理以及余弦定理求出三角形的周长．
17.解：Ⅰ证明：因为为矩形，所以．
又因为，，和在平面内，
所以平面又在平面内，
所以；
Ⅱ证明：因为为矩形，所以，
又因为在平面内，不在平面内，
所以平面．
又因为平面平面，
所以．
Ⅲ解：平面与平面可以垂直．证明如下：
连接因为，．
，，在平面内，
所以平面在平面内，
所以．
因为，所以．
因为平面平面，
若使平面平面，
则平面，在平面内，
所以．
在梯形中，因为，，
，，
所以．
所以若使能成立，则为的中点．
所以．
【解析】Ⅰ证明：平面，即可证明；
Ⅱ证明平面，即可证明：；
Ⅲ若使平面平面，则平面，所以，可得若使能成立，则为的中点．
18.解：，，
抽取的这名学生的原始成绩的众数的估计值为分；
由频率直方图可得前三组的频率和为，
又前四组的频率和为，
故中位数落在第四组，设中位数为，则，解得；
由已知等级达到及以上所占排名等级占比为，
由可得，中位数，
故原始分不少于分才能达到赋分后的等级及以上；
由题知得分在和内的频率分别为和，
则抽取的人中，得分在内的有人，得分在的有人，
记得分在内的位学生为，，，得分在内的位学生为，，
则从人中任选人，样本空间可记为：
，共包含个样本点，
用表示“这人中恰有一人得分在内”，
则，包含个样本点，
所以．
【解析】根据频率分布直方图的性质，众数的概念，中位数的概念，即可分别求解；
根据中位数的值，即可求解；
根据分层抽样的概念及古典概型的概率公式，即可求解．
19.解：设米，在中，，，则，
在中，，，且，
则，所以，
因为，所以由余弦定理得，
即，解得；
由知，，均为直角三角形，
，，所以，
所以在中，满足，所以为直角三角形；
所以，
所以平方米；
设多面体的内切球的半径为，根据等体积转换：
所以米；
【解析】设米，则可到，，再结合余弦定理即可求解；
求各个面的面积即可求解表面积；
利用等体积法即可求解．
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