新疆阿勒泰地区2023-2024学年第二学期期末联考
高二数学
考试时间：120分钟；试卷满分：150
一、单选题（共8题，每题5分，共40分）
1．设集合，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，则（ ）
A． B．1 C． D．
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
4．某工厂的每月各项开支与毛利润(单位：万元)之间有如图关系，与的线性回归方程是，则（ ）
A．17.5 B． C． D．
5．随机变量，若，则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
6．已知等差数列的前15项之和为60，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．某市人民政府新招聘进 5 名应届大学毕业生，分配给教育、卫生、医疗、文旅四个部门， 每人只去一个部门，若教育部门必须安排 2 人，其余部门各安排 1 人，则不同的方案数为（ ）
A．52 B．60 C．72 D．360
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右支上有一点与双曲线的左支交于点，线段的中点为，且满足，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
二、多选题（共4题，每题答对得5分，少选或漏选得3分，多选或错选不得分，共20分）
9．若两直线与平行，则实数的值可以为（ ）
A．3 B．2 C．-2 D．1
10．下列函数求导正确的有（ ）
A． B．
C． D．
11．设是不同的直线，是不同的平面，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，则
12．已知数列，中，，则（ ）
A．数列的前4项和为 B．的前100项和为100
C．的前项和 D．数列仍为等比数列
三、填空题（共4题，每题5分，共20分）
13．函数（且）图象恒过的定点坐标为
14．若向量，的夹角为，，，则 ．
15．的展开式中的系数为 ．
16．剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国古老的民间艺术之一，已知某剪纸的裁剪工艺如下：取一张半径为2的圆形纸片，记为，在内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为，并裁剪去该正方形内多余的部分（如图所示阴影部分），记为一次裁剪操作，……重复上述裁剪操作4次，最终得到该剪纸．则第4次裁剪操作结束后，所有裁剪操作中裁剪去除的面积之和为 ．
四、解答题（共6题，其中17题为10分，其余各题均为12分）
17．在锐角的内角的对边分别为，且
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积.
18．如图，在直三棱柱中，．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值．
19．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求弦中点坐标.
20．某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生400人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示：
将分数不低于750分的学生称为“高分选手”．
(1)求的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)现采用分层抽样的方式从分数落在，内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量，求的分布列及数学期望；
21．已知各项都不相等的等差数列的前六项和为60，且为和的等比中项.
(1)求数列的通项公式及前n项和；
(2)若数列满足，且，求数列的前n项和.
22．已知函数
(1)若b=0，求函数在x=1处的切线方程；
(2)若b=2，求函数的极值;
(3)讨论函数的单调性2023-2024学年度高中数学大联考期末考试卷
高二数学（A卷）
一、单选题
1．设集合，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
2．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
3．已知，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
4．某工厂的每月各项开支与毛利润(单位：万元)之间有如图关系，与的线性回归方程是，则（ ）
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
A．17.5 B． C． D．
【答案】A
5．随机变量，若，则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【答案】C
6．已知等差数列的前15项之和为60，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
7．某市人民政府新招聘进 5 名应届大学毕业生，分配给教育、卫生、医疗、文旅四个部门， 每人只去一个部门，若教育部门必须安排 2 人，其余部门各安排 1 人，则不同的方案数为（ ）
A．52 B．60 C．72 D．360
【答案】B
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右支上有一点与双曲线的左支交于点，线段的中点为，且满足，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
二、多选题
9．若两直线与平行，则实数的值可以为（ ）
A．3 B．2 C．-2 D．1
【答案】BC
10．下列函数求导正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
11．设是不同的直线，是不同的平面，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，则
【答案】ABD
12．已知数列，中，，则（ ）
A．数列的前4项和为 B．的前100项和为100
C．的前项和 D．数列仍为等比数列
【答案】ABC
三、填空题
13．函数（且）图象恒过的定点坐标为
【答案】
14．若向量，的夹角为，，，则 ．
【答案】
15．的展开式中的系数为 ．
【答案】
16．剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国古老的民间艺术之一，已知某剪纸的裁剪工艺如下：取一张半径为2的圆形纸片，记为，在内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为，并裁剪去该正方形内多余的部分（如图所示阴影部分），记为一次裁剪操作，……重复上述裁剪操作4次，最终得到该剪纸．则第4次裁剪操作结束后，所有裁剪操作中裁剪去除的面积之和为 ．
【答案】
四、解答题
17．在锐角的内角的对边分别为，且
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
18．如图，在直三棱柱中，．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）勾股定理证得，线面垂直的性质证得，得平面，所以平面平面；
连接，与相交于点，可证平面，直线与平面所成角为，求出，由，代入求值即可.
【详解】（1），有，则，----------1分
直三棱柱中，平面，平面，，------1分
平面，，平面，------------------------2分
平面，平面平面；---------------------------------------------2分
（2）连接，与相交于点，连接，
，侧面为正方形，则有----1分
平面，平面，，
平面，，平面，
则直线与平面所成角为，--------------------------------------------------2分
，则，，又，则，
则，-------------------------------------------------------------------2分
所以直线与平面所成角的余弦值为．--------------------------------------1分
19．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求弦中点坐标.
【答案】(1)
(2)
（2）设的坐标，点差法计算出坐标之间的关系，再根据中点所在直线可求出点的坐标.
【详解】（1）依题意得：
，即，解得-----------------------------------------------------2分
，解得------------------------------------------------------------1分
椭圆的方程为---------------------------------------------------------2分
（2）如图所示：
设，中点为，
所以
则-------------------------------------------------------------------2分
又两点在椭圆上，可得，
两式相减可得，整理得
，①.---------------------2分
过点斜率为的直线为.-----------------------------------------1分
因为在直线上，故，②
联立①②，解得----------------------------------------------------------------1分
所以中点坐标为.----------------------------------------------------------------------1分
20．某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生400人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示：
将分数不低于750分的学生称为“高分选手”．
(1)求的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)现采用分层抽样的方式从分数落在，内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量，求的分布列及数学期望；
【答案】(1)，平均数670，中位数650，众数600
(2)分布列见解析，
【分析】（1）由频率分布直方图中频率和为1可求得,由频率分布直方图数据求解
（2）由频率分布直方图知从，中抽取7人，从，中抽取3人，随机变量的所有可能取值有0，1，2，3，求出各概率得分布列，然后由期望公式得期望；
【详解】（1）由题意知，
解得，----------------------------------------------------------------------------2分
样本平均数为，---2分
由于，故中位数650，---------------------------------1分
众数600．-----------------------------------------------------------------------------------1分
（2）由题意，从中抽取7人，从中抽取3人，-------- 1分
随机变量的所有可能取值有0，1，2，3．-------------------------------------1分
，----------------------------------------------------1分
所以随机变量的分布列为：------------------------------------------------------2分
0 1 2 3
随机变量的数学期望．--------------1分
21．已知各项都不相等的等差数列的前六项和为60，且为和的等比中项.
(1)求数列的通项公式及前n项和；
(2)若数列满足，且，求数列的前n项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据等差数列的前n项和公式及等比中项的概念，可建立首项和公差的方程组，解出首项和公差，写出通项公式及前n项和；
（2）因为，故可采取累加法，求得，从而，采用裂项相消的办法求和即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为()，
则，------------------------------------------------2分
解得，∴．-----------------------------------------------2分
；---------------------------------------------2分
（2）由，
∴,
．当时，也符合上式
∴．--------------------------------------------------------------2分
∴ ----------------------------------------------------1分
------------------------------------------------1分
．----------------------------------------------2分
22．已知函数
(1)若b=0，求函数在x=1处的切线方程；
(2)若b=2，求函数的极值;
(3)讨论函数的单调性.
【答案】(1)
(2)极小值为，无极大值
(3)答案见解析
【分析】（1）求出，由可得结果；
（2）求得，由可得，判断左右两边导函数的符号，从而可得结果.
（3）求得在定义域内，讨论，两种情况，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间.
【详解】（1）因为，所以-------------------------1分
所以，
，-----------------------------------------------------------1分
∴函数在处的切线方程为：即.------------1分
（2）若,则,
，-------------------------------------1分
令， 所以，
当时，在单调递增；---------------------1分
当时，，在单调递减， ---------------------1分
当时，有极小值，无极大值.-------------------------1分
（3）因为, 定义域.--------------------------------------1分
所以，因为，--------------------------------------------1分
当时，恒成立，在上单调递增，-----------------1分
当时，令， 所以，------------------------------------------1分
当时，在单调递增；当时，，在单调递减.-----------------------------------------------------------------------1分
