白山市浑江区盟校2023-2024学年高二下学期7月期末考试
数学
本试卷满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第三章，选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.端午节吃粽子是我国的传统习俗.现有一盘中装有6个粽子，其中4个不同的蛋黄粽，2个不同的豆沙粽.若从蛋黄粽和豆沙粽中各取1个，则不同的取法种数为（ ）
A.4 B.6 C.8 D.12
2.下列求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知函数，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
4.已知变量和的统计数据如下表：
1 2 3 4 5
0.9 1.3 1.8 2.4 3.1
若，线性相关，经验回归方程为，据此可以预测当时，（ ）
A.5.75 B.7.5 C.7.55 D.8
5.某班举办知识竞赛，已知题库中有，两种类型的试题，类试题的数量是类试题数量的两倍，且甲答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.向如图放置的空容器中注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的体积与水的高度的函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
7.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，其中甲场馆安排2名志愿者，乙、丙场馆都至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A.300种 B.210种 C.120种 D.60种
8.已知函数则方程的实数个数为（ ）
A.9 B.10 C.11 D.12
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.随机变量，随机变量服从两点分布，且，设，则（ ）
A. B.
C. D.
10.对于函数，下列说法正确的是（ ）
A.恰有一个极值点
B.有最小值但没有最大值
C.直线与曲线的公共点个数最多为4
D.经过点只可作的一条切线
11.袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个红球和2个白球，每次随机取1个，有放回地取球，则下列说法正确的是（ ）
A.若规定摸到3次红球即停止取球，则恰好取4次停止取球的概率为
B.若进行了10次取球，记为取到红球的次数，则
C.若规定摸到3次红球即停止取球，则在恰好取4次停止取球的条件下，第1次摸到红球的概率为
D.若进行了10次取球，恰好取到次红球的概率为（，），则当时，最大
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12.已知二项式展开式中各项二项式系数的和为16，则______，展开式中的常数项为______.
13.已知函数满足，若，则______.
14.设点在曲线上，点在曲线上，若的最小值为，则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知幂函数（）为偶函数，且在区间上单调递增，函数满足.
（1）求函数和的解析式；
（2）对任意实数，恒成立，求的取值范围.
16.（15分）
某公司为了解某产品的客户反馈情况，随机抽取了100名客户体验该产品，并进行评价，评价结果为“喜欢”和“不喜欢”，整理数据得到如下列联表：
喜欢 不喜欢 合计
男 45 5 50
女 35 15 50
合计 80 20 100
（1）根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？
（2）为进一步了解客户对产品的反馈，现从评价结果为“不喜欢”的客户中，按性别用分层抽样的方法选取8人，收集对该产品的改进建议.若从这8人中随机抽取3人，求所抽取的3人中女性人数大于男性人数的概率.
附：，.
0.05 0.025 0.01 0.005
3.841 5.024 6.635 7.879
17.（15分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若关于的方程恰有两个不同的实数解，求的取值范围.
18.（17分）
某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有2次笔试的机会，最多有2次面试的机会.考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试.若2次笔试均未通过或通过了笔试但2次面试均未通过，则考试失败.甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为，每次参加面试通过的概率均为，且每次考试是否通过相互独立.
（1）求甲在一年内考试失败的概率；
（2）求甲在一年内参加考试次数的分布列及期望.
（3）已知参加首次面试的名考生全都来自，两个地区，其中来自地区的考生人数为（）.根据资格证考试要求：所有面试人员提前到场，并随机给每人安排一个面试号码（），按面试号码由小到大依次进行面试，每人面试时长10分钟，面试完成后自行离场，记随机变量表示从面试的第一名考生开始面试到最后一名地区考生完成面试所用的时间，忽略其他损耗的时间，用表示的数学期望，证明：.
19.（17分）
若定义在区间上的函数满足对任意，，且，都有，则称是上的“好函数”.
（1）若是上的“好函数”，求的取值范围.
（2）（ⅰ）证明：是上的“好函数”.
（ⅱ）设，证明：.
2023—2024学年度第二学期高二盟校期末考试
数学试卷参考答案
1. C 不同的取法种数为.
2. C 对于A，为常数，故，故A不正确；
对于B，，故B不正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D不正确.
3. D 由题可知的定义域为，
则解得，所以的定义域为.
4. A ，，
所以，即.
令，解得.
5. C 设“选出类试题”为事件，“选出类试题”为事件，“甲答对题目”为事件，
则，，，，
所以.
6. A 在注水的过程中，容器横截面面积越大，水的体积增长越快，故选A.
7. B 首先从6名同学中选2名去甲场馆，方法数为，
然后将其余4名同学分成两组，方法数为，
故不同的安排方法共有种.
8. C 函数的部分图象如图所示.由方程，解得或.当时，有5个实根，当时，有6个实根，故方程的实根个数为11.
9. AC 因为，所以，且，
又，所以A正确，B错误；
，故，故C正确；
，故D错误.
10. ACD 的定义域为，，则在和上单调递增，在上单调递减，故是唯一的极值点，故A正确；在上的最小值为，又因为当时，，所以无最小值，故B错误；直线恒过点，当足够大时，直线与曲线（）有2个交点，直线与曲线（）有2个交点，则直线与曲线的公共点个数最多为4，故C正确；易知点不在的图象上，设切点为，则，解得，则经过点只可作的一条切线，故D正确.
11. BCD 每次取到红球的概率为，若规定摸到3次红球即停止，则恰好取4次停止取球的概率为，故A错误；，则，故B正确；记恰好取4次停止取球为事件，第1次摸到红球为事件，则，
，所以，故C正确；
，当最大时，
即
所以即解得，
又，所以，当为6时，最大，故D正确.
12.4； 由题可知，解得，展开式的通项
（），当时，展开式中的常数项为.
13. 76 由题可知，，
所以.
14. 因为与互为反函数，其图象关于直线对称，
所以曲线上的点到直线的最小距离为.
设与直线平行且与曲线相切的切线的切点.
，，解得，所以.
得到切点，点到直线的距离，解得或3.
当时，与相交，不符合题意.
当时，与不相交，符合题意.
15.解：（1）依题意幂函数为偶函数，且在区间上单调递增，
可得，解得.
由于，故.
当时，，此时为奇函数，不符合题意，
当或时，，此时为偶函数，符合题意，
故.
由，可得，令，所以，
故.
（2）由，，可得，.
又，所以当时，取得最小值，
故，即的取值范围为.
16.解：（1）零假设为：客户对该产品的评价结果与性别无关.
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为客户对该产品的评价结果与性别有关.
（2）由题意得抽取的8人中，男性人数为，
女性人数为.
当3人中有2名女性和1名男性时，，
当3人全部为女性时，，.
则所抽取的3人中女性人数大于男性人数的概率为.
17.解：（1）由题意知函数的定义域为，.
当时，恒成立，在上单调递增.
当时，由，得，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
当时，由，得，由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
（2）显然不符合题意，
当时，由（1）可知在上单调递减，
在上单调递增，且当时，，当时，，
所以，化简可得.
因为在上单调递减，且，
所以不等式的解集为.
当时，由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，
且当时，，当时，，，
所以关于的方程不可能有两个不同的实数解.综上，的取值范围为.
18.（1）解：甲每次参加笔试未通过的概率均为，
每次参加面试未通过的概率均为.
甲2次笔试均未通过的概率为，
甲通过了第一次笔试，但2次面试均未通过的概率为，
甲未通过第一次笔试，通过了第二次笔试，但2次面试均未通过的概率为
所以甲在一年内考试失败的概率为.
（2）解：由题意得的可能取值为2，3，4，
，
，
，
的分布列为
2 3 4
故.
（3）证明：由题意得的可能取值为，，…，，
则的分布列为，其中，
所以.
.
故.
19.（1）解：由题可知任意，，且，，
即，解得.
因为，所以，即的取值范围为.
（2）（ⅰ）证明：设，，
则.
令，且，，，
则，则在上单调递增，
所以，即，
所以是上的“好函数”.
（ⅱ）证明：由（ⅰ）可知，当时，，
令，，，则，
即.
故，
化简可得.
