白城市实验高级中学2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题
姓名：____________班级：____________考号：____________
一、单选题
1．在底面是菱形的四棱锥中，底面，点为棱的中点，点在棱上，平面与交于点，且，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．在中，角，，的对边分别为，，，，角的平分线交对边于点，且将的面积分成的两部分，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．在中，点是斜边的中点，点为线段的中点，则等于（ ）
A．2 B．4 C．5 D．10
4．如图，体积为的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点．为小球相交部分（图中网格部分）的体积，为大球内的小球以外的部分（图中阴影部分）的体积，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．在正方体中，为线段的中点，若三棱锥的外接球的体积为，则正方体的棱长为（ ）
A．2 B． C． D．4
6．如图所示为起重机装置示意图．支杆，吊杆，吊索，起吊的货物与岸的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．已知两定点，，动点在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度是36m，拱高是6m，在建造时，每隔3m需用一个支柱支撑，则支柱的长为（ ）
A． B．
C． D．不确定
二、多选题
9．已知单位向量，，两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为（ ）
A．已知，，则
B．已知，，其中，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值
C．已知，，则
D．已知，，，则三棱锥的表面积
10．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一个成员，则（ ）
A．他只属于音乐小组的概率为 B．他只属于英语小组的概率为
C．他属于至少2个小组的概率为 D．他属于不超过2个小组的概率为
11．（2023 江苏省徐州高级中学期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（ ）
A．的方程为
B．在上存在点到点的距离为4
C．上的点到直线的最大距离为6
D．过点作直线，若上恰有三个点到直线的距离为2，则该直线的斜率为
12．的内角，，所对的边分别为，，，对于，有如下命题，其中正确的有（ ）
A．
B．
C．若，则为直角三角形
D．若，则为锐角三角形
三、填空题
13．如图所示，某学校高一（1）班期中考试成绩的统计图．根据该图可估计，这次考试的平均成绩为______分．
14．如图，两座相距60m的建筑物，的高度分别为20m，50m，为水平线，则从建筑物的顶端看建筑物的张角为______．
15．一轮船从点沿北偏东的方向行驶10海里至海岛，又从沿北偏东的方向行驶10海里至海岛，若此轮船从点直接沿直线行驶至海岛，则此船沿______方向行驶______海里至海岛．
16．如果，那么______．
17．直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则______．
四、解答题
18．如图所示，多面体是正三棱柱沿平面切除一部分所得，，点为的中点．
（1）求证：平面．
（2）求点到平面的距离．
19．如图所示，若为平行四边形所在平面外一点，点为上的点，且，点在上，且，若，，，四点共面，求的值．
20．两条相互平行的直线分别过点，，并且各自绕着，旋转，如果两平行线间的距离为．
（1）求的取值范围；
（2）求当取最大值时两直线的方程．
21．某公司为了解用户对其产品的满意度，从，两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（1）根据两组数据自选一个统计量，并在此基础上对数据进行分析；
（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
记事件：“地区用户的满意度等级高于地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求的概率．
22．已知函数．
（1）若的三个内角，，的对边分别为，，，锐角满足，求锐角的大小；
（2）在（1）的条件下，若的外接圆半径为1，求的面积的最大值．
23．如图，过半径为2的圆上两点，的切线相交于点，自点向平行于的直径的两端各作一直线，这两条直线分别交垂直于的直径所在直线于点，．试建立适当的直角坐标系用解析法证明：．
参考答案
1．【答案】A
【解析】如图所示，延长，交于点，连接，与的交点就是点，
则，过点作，与交于点，则．故选A．
2．【答案】C
【解析】因为，所以，结合题意得．因为是角的平分线，所以，所以，由正弦定理，得，即，所以，故选C．
3．【答案】D
【解析】将各边及，，均用向量表示，
则
．
4．【答案】D
【解析】设大球的半径为，则小球的半径为，由题意得，所以，所以．故选D．
5．【答案】D
【解析】如图所示，设三棱锥的外接球的半径为，
三棱锥的外接球的体积为，
，解得．
取的中点，连接，则三棱锥的外接球的球心一定在上，设为点．设正方体的棱长为，在中，由勾股定理可得，即，解得．
正方体的棱长为4．
6．【答案】B
【解析】在中，，，
所以，
所以在中，．
7．【答案】D
【解析】因为两定点，，
动点在直线上，
所以点，在直线同侧，
设点关于直线的对称点为，
则
解得，，
所以，
所以的最小值为．
8．【答案】A
【解析】如图，以线段所在的直线为轴，线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点，，的坐标分别为，，．
设圆拱所在的圆的方程是．
因为，，在此圆上，故有
解得
故圆拱所在圆的方程是．
将点的横坐标代入上式，
结合图形解得．
故支柱的长为．
9．【答案】BC
【解析】，
因为，且，所以，故A错误；
如图所示，设，，则点在平面上，点在轴上，
由图易知当时，取得最小值，即向量与的夹角取得最小值，故B正确；
根据“仿射”坐标的定义可得，，故C正确；
由已知可得三棱锥为正四面体，棱长为1，其表面积，故D错误．故选BC．
10．【答案】CD
11．【答案】ACD
【解析】设，则，
化简得，，则选项A正确；
将圆的方程化为标准方程为，则圆心为，半径为4，
则圆上的点到点的最小距离为，
则在圆上不存在点到点的距离为4，则选项B错误；
上的点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径，
即，则选项C正确；
显然直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
由于圆的半径为4，则要使上恰有三个点到直线的距离为2，
只需圆心到该直线的距离为2，即，
解得，则选项D正确．
故选：ACD．
12．【答案】AC
【解析】依题意，在中，，，A正确；
，B不正确；
因为，则由余弦定理的推论得，而，即有，则为直角三角形，C正确；
因为，则，而，即有，则为钝角三角形，D不正确．
13．【答案】46
【解析】根据题中统计图，可知有4人成绩在之间，其考试分数之和为；
有8人成绩在之间，其考试分数之和为；
有10人成绩在之间，其考试分数之和为；
有6人成绩在之间，其考试分数之和为；
有2人成绩在之间，其考试分数之和为，
由此可知，考生人数为，
考试总成绩为，
平均分数为．
14．【答案】
【解析】在中，，，，由勾股定理得，过点作于点（图略），则，，在中，由勾股定理得．
又，所以在中，
由余弦定理的推论得
，
又，
所以，
所以从顶端看建筑物的张角为．
【答案】北偏东
【解析】在中，，又，
故，由余弦定理得，
．
故此轮船沿着北偏东方向行驶海里到达海岛．
16．【答案】i
【解析】因为，故，
所以，
故，，
故．
17．【答案】2
【解析】由题意得，设直线与单位圆交于，两点，
因为直线截圆所得的劣弧长为，
所以，
所以圆心到直线的距离为，
即，则，
同理可得，则．
18．【答案】（1）证明 如图，设与交于点，连接．
多面体是正三棱柱沿平面切除部分所得，，
四边形是正方形，四边形，均为直角梯形，
其中，．
点为的中点，平行且等于，
．
又，
．
为的中点，
．
又，，
平面．
（2）解 设点到平面的距离为．
．
点到平面的距离即为边上的高，即，
．
又，，
，，
又，
，
即点到平面的距离为．
19．【答案】解 如图，连接．
因为，，
所以．
因为，
所以
．
因为，
所以，
所以
．
又因为，
所以．
因为，
所以．
因为，
所以．
又因为，，，四点共面，
所以，，即的值是．
20．【答案】解 （1）当两直线的斜率不存在时，两直线的方程分别为，，则．
当两直线的斜率存在时，设两直线的方程分别为，，即，，
，
由此可得．
当，即时，，
成立．
当时，由，
可得，
即，
且．
综上所述，．
（2）由（1）知的最大值为，此时．
故两直线方程分别为和．
21．【答案】解 （1）选平均数作为统计量，
那么，
因为，所以该产品在地区的满意度高于地区．
（2）记表示事件：“地区用户满意度等级为满意”，
表示事件：“地区用户满意度等级为非常满意”，
表示事件：“地区用户满意度等级为不满意”，
表示事件：“地区用户满意度等级为满意”，
则与独立，与独立，
，
．
由所给数据得，，，发生的频率分别为，，，，
故，，，，
．
22．【答案】解（1），
．
又为锐角，．
（2）的外接圆半径为1，
由正弦定理得，
，
，
即，
即．
由三角形的面积（当且仅当时取等号）．
故三角形面积的最大值为．
23．【答案】证明 如图，以圆心为原点，平行于的直径所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则可得圆的方程为，，，
设，则．
直线的方程为，令得，
直线的方程为，令得．
切线方程为，由对称性知点在轴上，
故令得，
．
，
．
