2023-2024学年四川省绵阳市高二下学期期末教学质量测试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知首项为的数列，满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.现有名学生，每人从四大名著水浒传、三国演义、西游记、红楼梦中选择一种进行阅读，每人选择互不影响，则不同的选择方式有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.设等差数列的前项和为，已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知为函数的导函数，如图所示，则的大致图象为( )
A. B.
C. D.
6.某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为若从该地市民中随机选取人进行访谈，则至少有人建议栽种乙树木的概率为( )
A. B. C. D.
7.某高校派出名学生去三家公司实习，每位同学只能前往一家公司实习，并且每个公司至少有一名同学前来实习，已知甲乙两名同学同时去同一家公司实习，则不同的安排方案有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.已知函数图象与轴至少有一个公共点，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.庚续绵延鱼水情，军民携手谱新篇，绵阳市开展双拥百日宣传活动某中学向全校学生征集“拥军优属，拥政爱民”主题作文，共收到篇作品，由专业评委进行打分，满分分，不低于分为及格，不低于分为优秀，若征文得分单位：分近似服从正态分布，且及格率为，则下列说法正确的是( )
A. 随机取篇征文，则评分在内的概率为 B. 已知优秀率为，则
C. 越大，的值越小 D. 越小，评分在的概率越大
10.已知，分别为随机事件，的对立事件，，，则下列结论一定成立的是( )
A. B.
C. 若，则 D.
11.已知数列的前项和为，首项，且满足，下列结论正确的( )
A. B. 数列是等比数列
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.展开式中的常数项为 ．
13.已知随机变量的分布列如表：
若，则 ．
14.若存在非负实数，满足为自然对数的底数，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
年月将在法国巴黎举行第届夏季奥林匹克运动会，首次把霹雳舞、冲浪、滑板和竞技攀岩列入比赛项目，其中霹雳舞是一种节奏感强烈、动作炫酷的舞蹈已知某校高一年级有名女生名男生、高二年级有名女生名男生擅长霹雳舞，实力相当，学校随机从中选取人组建校队参加市级比赛设校队中女生人数为．
求校队中至少有名高二年级同学的选法有多少种
求的分布列及均值．
16.本小题分
已知函数．
讨论的极值点
当时，是否存在实数，使得在区间的最小值为，且最大值为若存在，求出的所有值若不存在，请说明理由．
17.本小题分
已知数列满足，在数列中，，且对任意正整数都有．
求数列，的通项公式
若，求数列的前项和．
18.本小题分
已知函数，
若，求曲线在点处的切线方程
若无零点，求实数的取值范围
若存在，使得成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知新同学小王每天中午会在自己学校提供、两家餐厅中选择就餐，小王第天午餐时随机选择一家餐厅用餐如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为，如此往复．
求小王第天中午去餐厅用餐的概率
求小王第天中午去餐厅用餐的概率
已知：若随机变量服从两点分布，且，，，，，则记前次即从第次到第次午餐中小王去餐厅用午餐的次数为，求．
答案解析
1.
【解析】解：因为，，
所以，
，
，
所以，，
故选A．
2.
【解析】解：在，中，
令得，
故选D．
3.
【解析】解：每名同学都有种不同的选择，每人选择互不影响，
所以名同学不同的选择方式有种
故选B．
4.
【解析】解：设等差数列的公差为，则，
因此由得，解得，
所以．
5.
【解析】解：由导数图象可知，，所以函数单调递增，故排除；
并且，故排除；满足条件的只有．
6.
【解析】解：设建议栽种乙树木的人数为随机变量，
由题意可知，
所以至少有人建议栽种乙树木的概率
．
故选D．
7.
【解析】解：将名学生分成三组，有两种分类方法：
若按，，分组，甲乙两名同学同时去同一家公司实习，不同的安排方法有种；
若按，，，分组，甲乙两名同学同时去同一家公司实习，不同的安排方法有种，
由分类加法计数原理可得不同的安排方法有种
故选B．
8.
【解析】解：设函数，
因此要函数的图象与轴有交点，则直线与函数的图象有交点．
设直线与函数的图象相切于点，
则，解得
因此由直线与函数的图象知：
要直线与函数的图象有交点，则，即．
所以要函数的图象与轴有交点，则．
由二次函数图象知：要函数的图象与轴有交点，
则，解得．
综上所述，要函数的图象与轴至少有一个公共点，则实数的取值范围为．
9.
【解析】解：∽，
，
，故A正确；
，则，故B正确；
根据正态分布性质可得无论为何值，的值均为，故C错误；
根据正态分布密度曲线特点，数据集中在均值左右，越小，越稳定，曲线越瘦高，数据越集中，评分在的概率越大，故D正确．
10.
【解析】解：中，若，相互独立，则，，显然不一定成立，故A错误；
中：，故B错误；
中：若，，独立，则，故C正确；
中：因为且大于，小于等于，所以，故D正确；
故选CD．
11.
【解析】解：由已知可得
，所以，，故A正确；
，所以
，又，所以数列是等比数列，故B正确；
，所以
，又，所以数列是等比数列，
首项为，公比是，所以，即，故C正确；
，由可知，
所以，故D错误．
12.
【解析】解：展开式的通项为
令得
所以展开式的常数项为
故答案为：．
13.
【解析】解：由题意可得，解得
所以，
所以，
则
14.
【解析】解：由题意可知显然不成立，所以，由，两边同时取以为底的对数，得，
即，因为，都是非负实数，所以，当且仅当时取等号，
所以，即，即，令，，
则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，
即，所以，所以，由，解得，，所以．
综上所述，本题的正确答案为：
15.解：高二年级至少名同学入选校队包括以下情况：
高二年级仅名同学入选校队有种
高二年级仅名同学入选校队有种
高二年级名同学入选校队有种
高二年级至少名同学入选校队共有种选法．
由题意可知，随机变量的取值为，，，，
校队由个女生个男生组成时，，
校队由个女生个男生组成时，，
校队由个女生个男生组成时，，
校队由个女生个男生组成时，，
所以，随机变量的分布列为
随机变量的均值为：．
【解析】根据高二年级同学人数分几种情况求解即可；
易得随机变量的取值为，，，，得出对应概率，可得的分布列及均值．
16.解：，
令，则，，
当时，，所以为增函数，故无极值点
当时，当变化时，及变化如下表：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由此表可知的极值小点为，其极大值点
当时，当变化时，及变化如下表：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由此表可知的极值小点为，其极大值点．
综上所述，当时，无极值点
当时，的极值小点为，极大值点
当时，的极值小点为，其极大值点．
假设存在实数，使得在区间的最小值为，且最大值为，
则，
由已知可得，，则，
由可知，在区间上单调递减，在上单调递增，
，
，
，，则成立，解得：，
，
当时，，即的最大值为，
综上所述，满足题意的．
【解析】
先求导，分、和三种情况研究极值即可；
由得，可得，再检验即可．
17.解：由，
可知当时，
当时，，
即，其中也满足
综上，
又数列满足，且，
当时，可得：
，
当时，适合上式，
所以数列的通项公式为
由于，
则，
即，
两式相减得：，
，
所以．
【解析】分和两种情况讨论，当时的等式与已知等式作差，可求得，检验，即可求数列的通项公式，由累加法可求出数列的通项公式
由知，再利用错位相减法求和即可
18.解：，则，
切线斜率为：，
又，所求切线方程为
令，则，
设，则，
在上单调递增，在上单调递减，
的最大值为，且，，
要使在定义域上无零点，则．
令，
则，
当时，，时，，在上单调递减，
此时，，不符合题意
当时，时，，在上单调递减，
，即时，，符合题意
当时，时，，在上单调递增
时，，在上单调递减，
，，符合题意
综上所述，
【解析】
写出函数，再利用导数求出切线的斜率，进而根据点斜式方程可得答案；
令，则，设，利用导数求出函数的最值，可得实数的取值范围
令，先求导，再对的范围进行讨论，结合函数的最值即可得出答案．
19.解：设事件表示：第天中午去餐厅用餐，
事件第天中午去餐厅用餐，其中，，．
小王第天中午去餐厅用餐的概率为：
设，依题可知，，，
如果小王第天中午去餐厅，那么第天中午去餐厅的概率为，即，
而，，
如果第天中午去餐厅，那么第天中午去餐厅的概率为，
，
由全概率公式可知，即，
，而，
数列是以为首项，以为公比的等比数列，
，即
设王某第天去餐厅的次数为，
则的所有可能取值为，，，
当时表示王某第天没去餐厅，
当时表示王某第天去餐厅，
，，
，
，
，，，，
当时，，
故E．
【解析】
根据全概率公式求解即可；
根据全概率公式和等比数列求解即可；
设王某第天去餐厅的次数为，则的所有可能取值为，，，得出对应概率，可得．
第1页，共1页
