2023-2024学年福建省福州市多校联考高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，且与的夹角，则( )
A. B. C. D.
4.圆台的上底面面积为，下底面面积为，母线长为，则圆台的侧面积为( )
A. B. C. D.
5.某次知识竞赛共有人参赛，比赛分为红、黄两队，每队由六人组成其中红队人答对题目的平均数为，方差为，黄队人答对题目的平均数为，方差为，则参加比赛的人答对题目的方差为( )
A. B. C. D.
6.已知为锐角，且，则( )
A. B. C. D.
7.命题：，命题：函数在上单调，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若向量，，则以下说法正确的是( )
A.
B.
C. 若，，则
D. 若，则在方向上的投影向量的坐标为
10.已知正数，满足，则( )
A. B. 与可能相等
C. D. 的最小值为
11.如图，棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点包括边界，且平面，则下列说法正确的有( )
A. 动点轨迹的长度为
B. 三棱锥体积的最小值为
C. 与不可能垂直
D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若角满足，则 ______．
13.某班兴趣小组做了一次关于“电子产品对视力的影响”的问卷调查他们从岁，岁，岁，岁四个年龄段回收的问卷依次为份、份、份、份因调查需要，现从回收的问卷中按年龄段按比例分配分层随机抽取一个容量为的样本若在岁年龄段的问卷中抽取了份，则应在岁年龄段的问卷中抽取的份数为______．
14.已知，是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设为常数，函数．
设，求函数的严格增区间；
若函数为偶函数，求此函数在上的值域．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，点在棱上．
求证：平面；
若，点为的中点，求二面角的余弦值．
17.本小题分
年月日至月日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”阜阳三中高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组，其中第组频数的平方等于第组、第组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图如图所示解决下列问题：
求，的值；
若根据这次成绩，学校准备淘汰的同学，仅留的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？
某老师在此次竞赛成绩中抽取了名学生的分数：，，，，，已知这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和这两个分数，求剩余个分数的平均数与方差．
18.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且．
求角；
若为锐角三角形，，是线段的中点，求的长的取值范围．
19.本小题分
若定义在上的函数满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界，最小的称为函数的上确界．
求函数的上确界；
已知函数，证明：为函数的一个上界；
已知函数，若为的上界，求实数的取值范围．
参考数据：，．
答案解析
1.
【解析】解：，
，
．
故选：．
2.
【解析】解：由已知可得，
则，所以．
故选：．
3.
【解析】解：因为，所以，
因为，且与的夹角，
所以，
所以．
故选：．
4.
【解析】解：根据题意，圆台的上底面面积为，下底面面积为，
则该圆台的上、下底面的半径分别为和，
又由其母线长为，
则圆台的侧面积为．
故选：．
5.
【解析】解：设红队的得分数据分别为，，，，黄队的得分数据分别为，，，，
则红队数据的平均数为，可得，方差为，可得．
黄队数据的平均数为，可得，方差为，可得．
两组数据混合后，新数据的平均数为，
方差为
．
故选：．
6.
【解析】解：为锐角，且，
则，
所以．
故选：．
7.
【解析】解：设，则可化为
充分性：当时，函数在上单调递减，在上单调递减，且，
所以在上单调递增，因此充分性成立．
必要性：当时，在上单调递减，在上单调递减，且，
所以在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，且在上恒成立，
所以，则，
此时函数在上单调递减．
综上可知，当函数在上单调时，或，因此必要性不成立．
所以是的充分不必要条件．
故选：．
8.
【解析】解：当时，不能满足在区间极值点比零点多，所以；
函数在区间恰有三个极值点、两个零点，
，
，
求得，
故选：．
9.
【解析】解：对于：当时，满足，但是、无意义，故A错误；
对于：当，则，故B正确；
对于：若，则，故C正确；
对于：若，则，，
所以在方向上的投影向量的坐标为，故D正确．
故选：．
10.
【解析】解：因为正数，满足，
两边同时除以，得，A错误；
当时，显然符合题意，B正确；
因为，当且仅当，即，时取等号，
所以，C错误；
，当且仅当，即，时取等号，D正确．
故选：．
11.
【解析】解：取中点，的中点，连接，，，，则，
正方体中易知，从而，
又平面，而平面，所以平面，
又正方体中与平行且相等，从而与平行且相等，则是平行四边形，所以，同理可得证平面，
，，平面，所以平面平面，
平面平面，所以当时，平面，即线段为点的轨迹，，A正确；
三棱锥中，到平面的距离为定值，当与重合时，的面积最小值，此时，所以体积最小值为，B正确；
连接，，正方体中易知，
平面，而平面，所以，
，，平面，则平面，
设平面即与的交点为，此时平面，
所以，错；
由选项B讨论可知当与点重合时，三棱锥的体积，取中点，连接，则，
正方体中同理选项C中证明可证平面，所以平面，
正方体中与交于点且为，的中点，是直角三角形且，则是的外心，
因此三棱锥的外接球的球心在直线上，设外接球半径为，即，又，，
由平面，平面得，
由勾股定理得，解得，所以外接球的表面积为，错．
故选：．
12.
【解析】解：
．
故答案为：．
13.份
【解析】解：因为岁年龄段回收了份问卷，而样本在岁年龄段的问卷中抽取了份，
所以抽样比为，
因为分层抽取的样本的容量为，故回收的问卷品数为份，
可得份，
所以在岁年龄段中抽取的问卷为份．
故答案为：份．
14.
【解析】解：因为是奇函数，是偶函数，满足，
可得，
联立方程组，解得，
又因为对任意的，都有成立，
所以，所以成立，
构造，
所以由上述过程可得在单调递增，
若，则对称轴，解得；
若，在单调递增，满足题意；
若，则对称轴恒成立；
综上可得，，即实数的取值范围为．
故答案为：．
15.解：当时，函数，
令，，
得，．
所以此函数的单调递增区间为，；
由题意，得函数的定义域为，
因为函数为偶函数，
所以对于任意，均有成立，
即，
即对于任意实数均成立，
只有当时成立，此时．
因为，所以，
故此函数的值域为．
【解析】结合辅助角公式先化简，然后结合正弦函数的单调性即可求解；
结合偶函数的定义先求出，然后结合余弦函数的性质即可求解函数的值域．
16.解：证明：因为平面，平面，
所以，
因为为菱形，所以，
又，平面，平面，
所以平面．
如图，连接，则平面，
由平面，平面，平面，
得，，
故即为二面角的平面角，
在菱形中，，，
所以，
又，所以，
由点为的中点，得，
所以为等腰三角形，
在内过点作高，垂足为，则，
所以，
即二面角的余弦值为．
【解析】先根据线面垂直的性质定理得，再结合菱形性质利用线面垂直的判定定理证明即可．
根据二面角的平面角定义作出二面角的平面角，然后利用直角三角形的边角关系求解即可．
17.解：由题意知，所以，
解得，
又，
解得．
所以，；
成绩落在内的频率为：，
落在内的频率为：，
设第百分位数为，则，
解得，所以晋级分数线划为分合理；
，
故，
又，，
剔除其中的和两个分数，设剩余个数为，，，，，
平均数与标准差分别为，，
则剩余个分数的平均数：，
方差：．
【解析】由其中第组频数的平方等于第组、第组频数之积，求出的值，频率分布直方图面积和为，求的值；
利用频率分布直方图计算第百分位数即可；
根据平均数和方差的计算公式求出结果．
18.解：中，内角，，的对边分别为，，，且．
由正弦定理得，
所以，
由余弦定理得，
又，所以；
为锐角三角形，，是线段的中点，
因为，所以．
又，
所以，
由正弦定理得，所以，，
所以，
又为锐角三角形，所以，解得，所以，
所以，所以
所以，即的长的取值范围是．
【解析】根据正弦定理和余弦定理求解即可；
根据正弦定理和向量的相关知识求解即可．
19.解：依题意，
故，，
故的上确界为；
证明：令，
故原函数化为，
由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
且借助参考数据可得，
故，故为函数的一个上界；
依题意，在上恒成立，即对恒成立，
令，故对恒成立，
所以，
设，
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的最大值为，在上的最小值为，
所以实数的取值范围为．
【解析】依题意，由正弦函数的性质可得，进而求出函数的上确界；
令，故原函数化为，再结合对勾函数的性质证明即可；
依题意，对恒成立，令，故对恒成立，所以，再利用对勾函数的性质求解即可．
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