2023-2024学年北京市大兴区高二下学期期末检测数学试题
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.在的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
2.若数列是等比数列，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.有名同学被安排在周一至周五值日，每人值日一天，其中同学甲只能在周三值日，那么这名同学值日顺序的不同编排方案种数为( )
A. B. C. D.
4.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )
A. B. C. D.
5.已知函数的导函数的图象如图所示，则的极大值点为( )
A. 和 B. C. D.
6.随机变量服从正态分布，若，则( )
A. B. C. D.
7.设为等比数列，若，，，，则是的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法一书中，记录了如图所示的“杨辉三角”若将这些数字依次排列构成数列，，，，，，，，，，，，，，，，则此数列的第项为( )
A. B. C. D.
9.已知等比数列的前项和为，公比为，且，则( )
A. 数列是递增数列 B. 数列是递减数列
C. 数列是递增数列 D. 数列是递减数列
10.已知函数若过点存在条直线与曲线相切，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11.设随机变量，则 ．
12.展开式中各项的系数和为 ．
13.袋子中有十个大小相同的小球，其中个白球，个黑球．每次从袋子中随机摸出个球，摸出的球不再放回．
在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率为 ．
两次都摸到白球的概率为 ．
14.随机变量的分布列如下：
其中，，成等差数列，则 ，若则方差 ．
15.已知某商品的日销售量单位：套与销售价格单位：元套满足的函数关系式为，其中，为常数．当销售价格为元套时，每日可售出套．
实数 ；
若商店销售该商品的销售成本为每套元只考虑销售出的套数，当销售价格 元套时精确到，日销售该商品所获得的利润最大．
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.（本小题共 14 分）
已知二项式，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，并解答下列问题：
求的值；
设，求展开式中所有奇数项的系数和．
条件：只有第项的二项式系数最大；
条件：第项与第项的二项式系数相等；
条件：所有二项式系数的和为．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17.（本小题共 14 分）
某种水果按照果径大小可分为四级：标准果、优质果、精品果、礼品果某采购商从采购的一批水果中随机抽取个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
个数
假设用频率估计概率．
从这个水果中有放回地随机抽取个，求恰好有个水果是礼品果的概率；
采用分层抽样的方法从这个水果中抽取个，再从抽取的个水果中不放回地随机抽取个，若表示抽到的精品果的数量，求的分布列和期望．
18.（本小题共 14 分）
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求的零点个数．
19.（本小题共 14 分）
某同学参加闯关游戏，需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得分，回答不正确得分，第三个问题回答正确得分，回答不正确得分．已知这位同学回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响，若回答这三个问题的总分不低于分就算闯关成功．
求至少回答正确一个问题的概率；
求这位同学回答这三个问题的总得分的分布列．
20.（本小题共 14 分）
已知函数，．
若是函数的极值点，求实数的值；
求函数的单调区间；
已知，当，试比较与的大小，并说明理由．
21.（本小题共 15 分）
若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质．
若具有性质，且，，求；
若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由；
设是无穷数列，已知求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”．
参考答案
1.
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13.
14.
15.；
16.若选：只有第项的二项式系数最大，则展开式中共有项，所以；
若选：第项与第项的二项式系数相等，即，所以；
若选：所有二项式系数的和为，则，所以；
因为，
令得，
令得，
两式相减得，所以，
即展开式中所有奇数项的系数和为．
17.设从这个水果中随机抽取个，其为礼品果为事件，则，
现有放回地随机抽取个，设抽到礼品果的个数为，则，
所以恰好有个水果是礼品果的概率为．
用分层抽样的方法从这个水果中抽取个，
其中精品果有个，非精品果有个，
再从中随机抽取个，则精品果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为，，，，
所以，，
，；
的分布列为：
则．
18.因为，所以，
所以切点为，，
所以切线的斜率为，
所以切线的方程为．
的定义域为：，
，
令，解得，或，
当时，，所以单调递增；
当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增；
所以当时，有极大值为，
当时，有极小值为，所以为函数的一个零点，
当时，，所以在上有一个零点，
故函数有个零点．
19.设至少回答正确一个问题为事件，则；
这位同学回答这三个问题的总得分的所有可能取值为，，，，，，
所以，，
，，
，，
随机变量的分布列是
20.因为，所以，
是的极值点，
，解得，经检验符合题意；
函数定义域为，，
当时，恒成立，所以在上单调递增，
的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，令，解得，
当时，；当时，；
的单调递增区间为；单调递减区间为；
综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
令，
则，
令，则，
函数在上单调递增，
又，，存在唯一零点，使得，
当时，；当时，；
当时，；当时，；
函数在上单调递减，在上单调递增，
，
又，即，，，
在上恒成立．
21.解：，，
，，，．
设无穷数列的公差为：，无穷数列的公比为，则，
，
，，，，
．
，
而，，，但是，不具有性质．
充分性：若是常数列，
设，则，
若存在，使得，则，
故具有性质．
必要性：若对于任意，具有性质，
则，
设函数，，
由，图象可得，对于任意的，二者图象至少有一个交点，
一定能找到一个，使得，
，，
故，
是常数列．
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