河北省承德市2023-2024学年高二下学期3月阶段性考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．3位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( )
A.5种 B.6种 C.8种 D.9种
2．已知函数的导函数为，且，则( )
A. B. C. D.
3．已知函数在R上可导，且满足，则函数在点处的切线的方程为( )
A. B. C. D.
4．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为( ).
A. B.
C. D.
5．若函数在区间内有极值点，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
6．定义域为的函数满足，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
7．已知，，，则有( )
A. B. C. D.
8．若函数与函数有公切线，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是( )
A.所有可能的方法有种
B.若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有61种
C.若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有20种
D.若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有60种
10．已知函数，，且，，，恒成立，则满足条件的a值可能是( )
A.1 B. C. D.
11．已知函数，则( )
A.当时，函数恰有1个零点
B.当时，函数恰有2个极值点
C.当时，函数恰有2个零点
D.当函数恰有2个零点时，必有一个零点为2
三、填空题
12．世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在年和年荣升为“四色定理”和“费马大定理”.如今，哥德巴赫猜想仍未解决.哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和.（质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数）.在不超过的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数取法有________种.
13．已知，若关于x的方程有3个不同实根，则实数a取值范围为______.
14．当时，恒成立，则实数a的取值范围是__________.
四、解答题
15．已知函数在点处的切线方程为.
（1）求实数a、b的值；
（2）求函数的极值.
16．设a为实数，函数，.
（1）求的极值；
（2）对于，，都有，试求实数a的取值范围.
17．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加.已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量.
（1）若年销售量增加的比例为，写出本年度的年利润p(万元)关于x的函数关系式；
（2）若年销售量关于x的函数为，则当x为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？
18．已知函数
（1）若，判断函数的单调性，并求出函数的最值.
（2）若函数有两个零点，求实数a的取值范围.
19．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当恒成立时，求a的取值范围；
（3）证明：.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意，3位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，
则每位同学都有2种报名方法，则这3位同学共有种不同的报名方法，
故选：C.
2．答案：C
解析：因为，所以，令，则，.
故选：C.
3．答案：D
解析：由，得到，
由导数的定义知，所以函数在点处的切线的方程为，
即，
故选：D.
4．答案：A
解析：由的图象可知，在和上单调递增，在上单调递减，
则当时，时，时，
所以不等式的解集为.
故选：A.
5．答案：C
解析：函数，，
若函数在区间上有极值点，
则在区间内有零点，
由可得，
因为在上单调递减，在上单调递增，又，，，
所以，
，
当时，，不符合题意，
所以实数a的取值范围是.
故选：C.
6．答案：B
解析：且，是奇函数，
设，则时，，在是减函数.
又是奇函数，也是奇函数，因此在是递减，
从而在上是减函数，
不等式为，即，.
故选：B.
7．答案：C
解析：把a，b，c变形得，，，
所以构造函数，，则，，.，，
令，则在上恒成立，
所以在区间上单调递增，因为，
所以在上恒成立，
所以函数在上单调递增，
所以，即.
故选：C.
8．答案：A
解析：设公切线与函数切于点，则切线方程为；设公切线与函数切于点，则切线方程为，所以有，，.
又，令，，.
设，则，在上为减函数，则，，故选A.
9．答案：BD
解析：对于A，每名同学有5种选择方法，则所有可能的方法有种，A不正确；
对于B，由选项A知，所有可能的方法有种，工厂甲没有同学去的方法有种，
所以工厂甲必须有同学去的不同的安排方法有种，B正确；
对于C，同学A必须去工厂甲，则同学B，C的安排方法有种，C不正确；
对于D，三名同学所选工厂各不相同的安排方法有种，D正确.
故选：BD.
10．答案：BD
解析：不妨设，，可得，
设，则，，
所以在区间上单调递减，
所以在上恒成立，
因为，
所以，
即在上恒成立，
当时，，
当时，，
令，，则，
所以在上单调递减，
当时，取的最小值为，即，
所以实数a的取值范围为.
结合选项满足条件的a值可能是；.
故选：BD.
11．答案：ABD
解析：因为，
所以，
令，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
对于A：当时，，即恒成立，
所以在R上单调递增，
又，，
所以函数恰有1个零点，A正确；
对于B：当时，，
令，有，设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，作出图象如下图：
又，所以方程必有2个根，
即必有两个零点，设为，，且，
当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
所以函数在上单调递增，在单调递减，在上单调递增，
即函数恰有2个极值点，B正确；
对于CD：当函数有2个零点时，或，
所以或，
将或代入得
或，
解得或，故C错误，D正确.
故选：ABD.
12．答案：6
解析：不超过17的质数有：2、3、5、7、11、13、17，共7个，
在这7个数中随机选取两个不同的数，其和为奇数，则2必取，
然后在剩余6个奇数中任选一个即可，
所以，不同的取法种数为6种.
故答案为：6.
13．答案：
解析：当时，，，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
且，当时，恒为正，
当时，，，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
且，
画出的图象如下：
要想关于x的方程有3个不同实根，则要函数与有3个不同的交点即可，
显然当时，符合要求.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为当时，恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，可得，
所以在上单调递增，且，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
所以，即可.
令，可得，
令，则，解得，
当时，,
当时，,
所以在上单调递增，在上单调递减,
所以，
所以，解得，
所以实数a的取值范围是.
15．答案：（1），
（2）极小值为1，无极大值
解析：（1）因为，则，
因为函数在点处的切线方程为，
则，解得.
（2）函数的定义域为，则，
由可得，列表如下：
x 1
- 0 +
减 极小值 增
所以，函数的单调减区间为，单调增区间为，
故函数的极小值为，无极大值.
16．答案：（1）极大值为a，极小值为
（2）
解析：（1）函数的定义域为R，，
令，可得或2，列表如下：
x 0 2
+ 0 - 0 +
递增 极大值 递减 极小值 递增
故函数的极大值为，极小值为.
（2）对于，，都有，则.
由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，，
因为，且时，，
当时，，
故函数在上单调递减，再上单调递增，，，
故，
由题意可得，故.
17．答案：（1）
（2）当时，本年度的年利润最大，最大年利润为万元
解析：（1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为，出厂价为，年销售量为.
因此本年度的年利润
.
（2）本年度的年利润为
，
则，
令，解得或(舍去).
当时，，当时，，
所以时，有最大值.
所以当时，本年度的年利润最大，最大年利润为万元.
18．答案：（1）在上单调递减，在上单调递增，最小值为，无最大值
（2）
解析：（1）易知函数的定义域为，
当时，，
所以，
当时，；当，；
所以在上单调递减，在上单调递增；
由此可得，的最小值为，无最大值.
（2）因为，所以.
当时，在上恒成立，所以在上单调递增，
故可得函数至多只有一个零点，不符合题意；
当时，令，设该方程的解为，
则在上，；在上，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
为了满足有两个零点，则有①
因为是方程的解，所以，两边取对数可得②，
将②式代入①式可得，所以a的取值范围为.
且当时，由②式得，，所以在上仅有1个零点；当时，，故可得在上仅有1个零点；
综上，若函数存在两个零点，则实数a的取值范围是.
19．答案：（1）答案见解析
（2）
（3）证明见解析
解析：（1），，
当时，易知，所以函数在R上单调递减，
当时，令，解得，
令，解得，即在上单调递增，
令，得，即在上单调递减，
综上，当时，函数在R上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）令，，
，故恒成立，即，
，令，则，
所以在上单调递增，
当时，，又，
有，，即单调递减，
，，即单调递增，
所以，
所以当时，成立；
当时，可得，，
所以，
又，
所以存在，使得，即，
，，，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
，由可得，
，
综上，a的取值范围为；
（3）由（2）知，当时，有，即，
令，，得，
，
，
即.
