10.5可化为一元一次方程的分式方程及其应用 分层题型练习
知识点1：分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
注意：
分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.
分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.
知识点2：分式方程的解法
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
题型一 分式方程的定义
1．（23-24八年级下·全国·课后作业）给出下列关于x的方程：①，②，③，④．其中，分式方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查分式方程的概念，根据分式方程概念对上述方程进行判断，即可解题．
【详解】解：①，③，④是整式方程；②的分母中含有未知数x，是关于x的分式方程．
故分式方程有1个，
故选：A．
2．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）下列关于x的方程中（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是分式方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键；
根据分式方程的定义逐个分析判断即可．
【详解】分母中含有未知数，故是分式方程；
分母中不含有未知数，故不是分式方程；
关于x的方程分母b是常数，分母中不含有未知数，故不是分式方程；
关于x的方程分母a是常数，分母中不含有未知数，不是分式方程；
分母中是常数，不含有未知数，故不是分式方程；
综上所述：是分式方程的有1个；
故选：A．
3．（23-24八年级下·山西晋城·阶段练习）观察下列分式方程：①；②；③；…．根据他们所蕴含的规律，写出这一组分式方程中的第⑥个方程： ．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程，代数式规律的探索；探索出方程的规律是解题的关键；分式方程的规律是：方程左边是分式与1的和，其中分式的分母为未知数x，分子为从1开始的相邻两个自然数的积，方程右边是从3开始的奇数；根据此规律即可写出第⑥个方程．
【详解】解：根据规律知，第⑥个方程为：，
即，
故答案为：．
4．（23-24八年级上·吉林松原·期末）有下列方程：①，②，③（为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 （填序号）．
【答案】②
【分析】此题主要考查了分式方程的定义，利用分母中含有未知数的方程叫做分式方程，进而判断即可．
【详解】解：①是一元一次方程，
②是分式方程，
③（为不等于2的常数），是一元一次方程，
故答案为：②．
5．（2021八年级下·全国·专题练习）下列方程哪些是分式方程？
（1）；（2）；（3）；（4）（a是常数）．
【答案】（1）（2）是分式方程
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的字母的方程叫做分式方程即可判断．
【详解】解：（1）是分式方程；（2）是分式方程；（3）不是分式方程；（4）（a是常数）不是分式方程，
故（1）（2）是分式方程．
【点睛】本题考查了分式方程的定义，解题的关键是：会利用定义去判断是否为分式方程．
题型二 解分式方程
1．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）分式方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查解分式方程，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验求出分式方程的解，即可．
【详解】解：，
去分母得：，
解得：；
经检验，是原方程的解；
故选D．
2．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）分式方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键．将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解： ，
去分母得，，
解得：．
检验：，
是原方程的解．
故选：B．
3．（2024·河南省直辖县级单位·模拟预测）分式方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键，需要注意分式方程需要检验．先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
【详解】解：
方程两边同时乘以，得：
解得：
检验，当时，
所以原方程的解为：
故答案为：．
4．（2024·辽宁葫芦岛·二模）若关于x的方程的解是，则a的值为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了分式方程的解和解分式方程，利用分式方程的解的意义，将方程的解代入原方程是解题的关键．
将方程的解代入原方程，解关于的方程即可求得结论．
【详解】解：∵关于的分式方程的解为，
，
，
，
将代入原方程，，
∴是原方程的解，
，
故答案为：2．
5．（23-24八年级下·陕西西安·期末）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)无解
(2)
【分析】本题主要考查了解分式方程．先去分母，把分式方程化成整式方程，然后解整式方程，最后检验．
（1）方程两边都乘，得，解这个方程得，经检验：是增根，原分式方程无解；
（2）方程两边都乘，得，解这个方程得，经检验：是原分式方程的根，原分式方程的解为．
【详解】（1），
方程两边都乘，
得，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
解这个方程，得，
经检验： 是增根，
故原分式方程无解．
（2），
方程两边都乘，
得，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
经检验：是原分式方程的根，
故原分式方程的解为：．
题型三 根据分式方程解的情况求值
1．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，分式方程两边乘以，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，根据分式方程的解是负数，得出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：
∴
解得： 且
∵关于的分式方程的解是负数，
∴，且
∴且，
故选：B．
2．（23-24八年级下·四川达州·期末）关于的方程的解是负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．且
【答案】D
【分析】本题主要考查了解分式方程，以及分式方程有意义的条件，解分式方程得出，根据分式方程有意义的条件可得出，即，根据分式方程的解为负数可得出，即可求出的取值范围．
【详解】解：
去分母得：，
则，且，即
又∵
∴，且
∴且．
故选：D．
3．（23-24八年级下·四川眉山·期末）已知关于的分式方程的解为正数，则实数的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了分式方程的解及分式有意义的条件，理解题意得出相应不等式求解是关键．先解关于的分式方程，求得的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求的取值范围．
【详解】解：去分母得：
，
方程的解为正数
解得：
即
故，
解得：
综上所述：实数的取值范围是且
故答案为：且
4．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题主要考查了解分式方程．先求出原方程的解，再根据题意可得且，即可求解．
【详解】解：
去分母得：，
解得：，
∵分式方程的解是正数，
∴且，
∴，且，
解得：且．
故答案为：且
5．（23-24八年级下·广东茂名·阶段练习）已知关于x的方程的解是正数，求m的取值范围．
【答案】且
【分析】本题考查了分式方程与解不等式的综合运用．了解方程有正数解必须具备两个条件：①有解，最简公分母不等于0；②有正数解，是解题的关键．
原式去分母得，然后按照方程有正数解的条件求m的取值范围即可．
【详解】解：去分母，得，解得：．
原式的解为正数，得且，
且．
题型四 分式方程无解问题
1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）若分式方程无解，则m的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了分式方程无解的情况，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到，代入整式方程即可求出m的值．
【详解】解：
去分母得：，
将代入得：，
则．
故答案为：1．
2．（23-24八年级下·陕西西安·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ）
A． B．1 C．或0 D．0或1
【答案】A
【分析】本题考查分式方程增根问题．根据题意变形为整式方程，再将增根代入即可得到本题答案．
【详解】解：∵关于x的分式方程有增根，
∴，
∵是方程的增根，
∴，解得：，
故选：A．
3．（23-24七年级下·浙江·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了分式方程的增根问题；
先把分式方程转化为整式方程，再确定增根的值，然后把增根代入整式方程即可求出m的值．
【详解】解：方程的两边同乘以得：，
∵关于x的分式方程有增根，
∴，即增根为，
把代入得：，
故答案为：2．
4．（2024八年级下·全国·专题练习）若以x为未知数的方程无解，则 .
【答案】或或
【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，包含两类无解的问题：方程增根无解和化简后系数为0无解．
解方程求得，分类讨论方程无解即可．
【详解】去分母得，
整理得，①
当时，方程①无解，此时原分式方程无解；
当时，原方程有增根为或.
当增根为时，，解得；
当增根为时，，解得.
综上所述，或或.
故答案为： 1或或 2.
5．（23-24八年级下·安徽宿州·阶段练习）已知关于的分式方程．
(1)若分式方程有增根，求的值；
(2)若分式方程无解，求的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先把分式方程化为整式方程，再结合增根，得出，然后代入，进行计算，即可作答．
（2）先把分式方程化为整式方程，再结合无解，进行分类讨论，即增根和都满足条件，即可作答．
【详解】（1）解：去分母，得．
由分式方程有增根，得．
．
把代入，得．
解得．
的值为．
（2）解：去分母，得．
①当分式方程有增根时，此分式方程无解，即时分式方程无解．
②将上式整理，得．
当，即时，分式方程无解．
综上，若分式方程无解，的值为或．
题型五 列分式方程
1．（23-24八年级下·河南南阳·期末）植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰，某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植棵树，乙班共植棵树，设乙班每小时植棵树，依题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是正确找出等量关系．设乙班每小时植棵树，则甲班每小时植棵树，由甲班植棵树所用的时间与乙班植棵树所用的时间相等，列方程即可求解．
【详解】解：设乙班每小时植棵树，则甲班每小时植棵树，
根据题意可得：，
故选：D．
2．（23-24八年级下·四川成都·期末）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，全书共收集了246个数学问题，分为九章，内容涵盖了算术、代数、几何等多个领域．其中记录的一道题译为现代文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度．设慢马的速度为x里/天，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为里/天，根据规定时间相等可得方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
【详解】设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为里/天，
根据题意，得：，
故选：A．
3．（23-24八年级下·陕西西安·期末）甲乙两人同时从A地出发，骑自行车行30千米到B地，甲比乙每小时少走3千米，结果乙先到1小时，若设乙每小时走x千米，则可列方程 .
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．设乙每小时走千米，则甲每小时走千米，根据题意“甲比乙每小时少走千米，结果乙先到1小时”列出方程即可．
【详解】解：设乙每小时走千米，则甲每小时走千米，
根据题意得：．
故答案为：．
4．（23-24八年级下·四川眉山·期末）重庆、昆明两地相距，渝昆高速公路开通后，在重庆、昆明两地间行驶的长途客车平均速度提高了，而从重庆到昆明的时间缩短了，求长途客车现在的平均速度．设长途客车现在的平均速度为，则根据题意可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设长途客车现在的平均速度为，则以前的平均速度为，根据从重庆到昆明的时间缩短了为等量关系列出分式方即可．
【详解】解：设长途客车现在的平均速度为，则以前的平均速度为，
根据题意有：，
故答案为：．
5．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）小王在书店和网上共买了套相同的书，网上的售价比书店的售价每套便宜元，已知网上购书共花了元，比书店购书多花了元，小王在书店和网上各买了多少套书？
(1)购书费用问题的数量关系是：单价= ．
(2)设小王在书店购买了套书，则在网上购买了套书．完成下列表格：
总费用（元） 数量（套） 单价（元）
书店 x
网上 25－x
(3)根据“网上的售价比书店的售价每套便宜元”这个条件，可列方程： ．
【答案】(1)总费用÷数量；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）购书费用问题的数量关系是：总费用＝数量×单价，据此填空即可；
（2）根据题意可知在书店购书花费1000元，单价为元，在网上购书花费1350元，，单价为元，填表即可；
（3）根据“网上的售价比书店的售价每套便宜元”可列出方程．
【详解】（1）由总费用＝数量×单价，可得：单价＝总费用÷单价．
故答案为：总费用÷单价．
（2）填表如下
总费用（元） 数量（套） 单价（元）
书店 1000 x
网上 1350
（3）根据题意，可列方程：．
故答案为：．
【点睛】本题考查列分式方程的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程．
题型六 分式方程的实际应用
1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．A，B两种机器人每小时分别搬运多少干克化工原料？（ ）
A．60，30 B．90，120 C．60，90 D．90，60
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的应用，设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克，根据“A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等”列分式方程求解即可．
【详解】解：设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：A型机器人每小时搬运90千克， B型机器人每小时搬运60千克．
故选：D．
2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）一艘货轮在静水中的航速为，它以该航速沿江顺流航行所用时间，与以该航速沿江逆流航行所用时间相等，则江水的流速为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了分式方程的应用，利用顺水速静水速水速，逆水速静水速水速，设未知数列出方程，解方程即可求出答案．
【详解】解：设江水的流速为，根据题意可得：
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
答：江水的流速为．
故选：D．
3．（2024·山西晋城·三模）某电力公司有A，B两种型号的高压线智能巡检机器人，A型机器人比B型机器人每小时多巡检，A型机器人巡检所用时间与B型机器人巡检所用时间相等，则A型机器人每小时巡检线路 km．
【答案】15
【分析】此题考查了分式方程的实际应用，设A型机器人每小时巡检线路，A型机器人巡检所用时间与B型机器人巡检所用时间相等，据此列方程，解方程并检验即可．
【详解】解：设A型机器人每小时巡检线路，，
解得
经检验是原分式方程的根，
故答案为：15．
4．（2024·浙江杭州·二模）某书店分别用400元和500元两次购进同一种书，第二次数量比第一次多10本，且两次进价相同，则该书店第一次购进 本．
【答案】40
【分析】设第一次购进x本书，则第二次购进本书，根据“两次进价相同”列出分式方程求解，正确理解题意列得分式方程是解题的关键．
【详解】解：设第一次购进x本书，则第二次购进本书，则
，
解得，
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
故答案为40．
5．（2024七年级下·全国·专题练习）某一项工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；
（3）若甲、乙两队合作4天，余下的工程由乙队单独也正好如期完成．
据上述条件解决下列问题：
①规定期限是多少天？写出解答过程；
②在不耽误工期的情况下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款
【答案】①规定期限20天；②方案（3）最节省
【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，注意：分式方程的解必须检验．
①设这项工程的工期是x天，根据甲队单独完成这项工程刚好如期完成，乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天，若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成以及工作量=工作时间×工作效率可列方程求解．
②再看费用情况：方案（1）、（3）不耽误工期，符合要求，可以求费用，方案（2）显然不符合要求．
【详解】解：①设规定期限x天完成，则有：
，
解得．
经检验得出是原方程的解；
答：规定期限20天．
②方案（1）：（万元）
方案（2）：（万元 ），但超过工期，不符合要求，
方案（3）：（万元）．
所以在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．
所以方案（3）最节省．
1．（23-24八年级下·陕西西安·期末）若关于的分式方程无解，则的值为 （ ）
A． B．或2 C．或2 D．
【答案】C
【分析】本题考查由分式方程无解求参数，涉及解分式方程等知识，先去分母，将分式方程化为整式方程，再根据参数，分类讨论解方程即可得到答案，熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键．
【详解】解：，
去分母得，即，
当，即时，无解；
当，即时，，
关于的分式方程无解，
，解得；
综上所述，当关于的分式方程无解，的值为或2，
故选：C．
2．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）对于分式，下列说法不正确的是（ ）
A．时，分式值为0 B．时，分式无意义
C．时，分式的值为正数 D．分式的值可能为1
【答案】D
【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的值，解分式方程等知识．熟练掌握分式有意义的条件，分式的值，解分式方程是解题的关键．
根据分式有意义的条件，分式的值，解分式方程对各选项判断作答即可．
【详解】解：由题意知，A中时，分式值为0，正确，故不符合要求；
B中时，分式无意义，正确，故不符合要求；
C中时，，分式的值为正数，正确，故不符合要求；
D中令，解得，此时方程无解，分式的值不可能为1，错误，故符合要求；
故选：D．
3．（23-24八年级下·江苏常州·期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】本题考查解含有字母的分式方程，解题的关键是注意最后得到的结果，一定要考虑增根的情况．先将m视为常数，求解出分式方程的解(包含m)，然后根据解的条件判断m的取值范围．
【详解】解∶去分母，得，
解得，
∵分式方程的解为正数，
∴且，
解得且，
故选∶C．
4．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）为提升城市充电基础设施建设，某公共停车场计划购进A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩的数量比用万元购买B型充电桩的数量多5个．设A型充电桩的单价为x万元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键．
设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为万元，根据用万元购买A型充电桩的数量比用万元购买B型充电桩的数量多5个可列方程．
【详解】解：设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为万元，
依题意得，，
故选：C．
5．（23-24七年级下·重庆北碚·期末）已知关于的分式方程解为非负整数，且关于的不等式组有解且至多三个整数解，则所有满足条件的整数的和为（ ）
A．6 B．5 C．9 D．13
【答案】A
【分析】本题主要考查解分式方程和一元一次不等式方程组，首先解得不等式方程组的解，根据题意找到的范围，再解的分式方程的解，结合分式方程的解和的范围求得的可能值即可．
【详解】解：
由，
解得，
由，
解得，
则不等式方程组的解为，，
∵关于的不等式组有解且至多三个整数解，
∴，
解得，
，
去分母得，，
去括号、移项得，，
系数化为得，，
∵为分式方程的增根，
∴，
解得，
∵的分式方程解为非负整数，
∴，
解得，
∴且，
∴当时，；
当时，，舍去；
当时，，舍去；
当时，，舍去；
当时，；
则所有满足条件的整数的和为．
故选：．
6．（23-24八年级下·四川成都·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是 ．
【答案】2
【分析】考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值．
【详解】解：方程两边都乘以，得：，
分式方程有增根，
，即，
将代入，得：，
故答案为：2．
7．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了利用分式方程的解求参数的取值范围，先求出分式方程的解，根据关于x的分式方程的解为正数，分式有意义的条件，可得且，进而求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵关于x的分式方程的解为正数，
∴且，即，，
∴且，
∴且，
故答案为：且．
8．（23-24七年级下·安徽六安·期末）已知关于x的分式方程．
（1）若分式方程的根是，则的值为 ；
（2）若分式方程无解，则的值为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了解分式方程；
（1）把代入方程计算，即可求出的值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，由整式方程无解和分式方程无解求的值即可．
【详解】解：（1）分式方程的根是，
，
解得，
的值为；
（2）①去分母得：，
当时，方程无解，
，
②当分式方程有增根，
或，
当时，，
当时，，
，
的值为；
，
若分式方程无解，的值为或．
9．（23-24八年级下·广东清远·期末）为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足的方程是 ．
【答案】
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
如果设第一次有人捐款，那么第二次有人捐款，根据两次人均捐款额相等，可得等量关系为：第一次人均捐款额第二次人均捐款额，据此列出方程即可．
【详解】
解：设第一次有人捐款，那么第二次有人捐款，由题意，有
.
故答案为：．
10．（2024·重庆·模拟预测）若关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
【答案】
【分析】不等式组整理后，根据至少有两个整数解，确定出的范围，再由分式方程解为非负整数，确定出满足题意整数的值，求出之和即可．
【详解】解：由可得，
该一元一次不等式组至少有两个整数解，
，
解得，
关于的分式方程有非负整数解，
有，
整理可得，
又为整数，且，
即，
或或，
又，
或，
，
所有满足条件的整数的值之和是．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是由一元一次不等式组解集的情况求参数，分式方程的解，解题关键是熟练掌握分式方程的解．
11．（宁夏回族自治区中卫市第七中学2023-2024学年八年级下学期数学期末统考模拟试题（四））2024年宁夏银川西部“影视城”厚积薄发，“五一”期间旅游业火爆出圈．影视城某纪念品经销店购进A、B两种纪念品，用900元购进的A种纪念品与用1200元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比每件A种纪念品的进价多5元．求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元？
【答案】A种纪念品的进价为15元，则B种纪念品的进价为元．
【分析】本题主要考查分式方程，读懂题意列出方程是解题的关键．设A种纪念品的进价为x元，则B种纪念品的进价为元，根据题意列出分式方程，然后解方程并检验即可得出答案；
【详解】（1）解：设A种纪念品的进价为x元，则B种纪念品的进价为元，根据题意有
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
∴，
∴A种纪念品的进价为15元，则B种纪念品的进价为元．
12．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）某商店4月份购进一批T恤衫，进价合计3200元．由于该T恤衫十分畅销，商店又于5月份购进一批同品牌T恤衫，进价合计6800元，数量是4月份的2倍，但每件进价涨了2.5元．
(1)求商店4月份购进T恤衫多少件？
(2)这两批T恤衫开始都以每件60元出售，到6月初，商店把剩下的40件打九折出售，很快售完，求商店共获毛利润（销售收入减去进价总计）多少元？
【答案】(1)80件
(2)4160元
【分析】本题考查分式方程解决实际问题
（1）设商店4月份购进T恤衫x件，则5月份购进了件，4月份每件进价为元，5月份每件进价元，根据“每件进价涨了2.5元”即可列出方程，求解并检验即可解答；
（2）根据利润等于销售收入减去进价总计即可列式求解．
【详解】（1）解：设商店4月份购进T恤衫x件，则5月份购进了件．
由题意得：
解得：
经检验，是原方程的根且符合题意．
答：商店4月份购进T恤衫80件．
（2）解：依题意：5月份的购进T恤衫：（件）
（元）
答：商店共获毛利润4160元．
13．（23-24八年级下·山东济南·期末）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．已知篮球的单价比足球单价多40元，用1600元购买足球的数量是用1200元购买篮球数量的2倍．
(1)求足球和篮球的单价；
(2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过17500元，学校需要最少购买多少个足球？
【答案】(1)足球的单价是80元，篮球的单价是120元
(2)163个
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，
（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是元，利用数量＝总价÷单价，结合用1600元购买足球的数量是用1200元购买篮球数量的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出足球的单价，再将其代入中，即可求出篮球的单价；
（2）设购买m个足球，则购买个篮球，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过17500元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．
熟练掌握找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解决此题的关键．
【详解】（1）设足球的单价是元，则篮球的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：足球的单价是80元，篮球的单价是120元；
（2）设购买个足球，则购买个篮球，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最小值为163，
答：最少购买163个足球．
14．（2024·山西大同·模拟预测）“植”此青绿，共赴青山．2024年植树节，某学校计划采购一批银杏树苗和白杨树苗，经了解，每棵银杏树苗比每棵白杨树苗贵10元，用400元购买银杏树苗的棵数与用300元购买白杨树苗的棵数相同．
(1)分别求每棵银杏树苗、白杨树苗的价格．
(2)学校最终决定购买银杏树苗、白杨树苗共100棵，若用于购买两种树苗的总费用不超过3200元，那么最多可购买多少棵银杏树苗？
【答案】(1)每棵银杏树苗的价格是40元，每棵白杨树苗的价格是30元
(2)最多可购买20棵银杏树苗
【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，弄清等量关系和不等关系并列出分式方程和不等式成为解题的关键．
（1）设每棵银杏树苗的价格是x元，则每棵白杨树苗的价格是元．
根据等量关系“用400元购买银杏树苗的棵数与用300元购买白杨树苗的棵数相同”列出分式方程求解即可；
（2）设购买m棵银杏树苗，则购买棵白杨树苗，根据用于购买两种树苗的总费用不超过3200元列出一元一次不等式求解即可．
【详解】（1）解：设每棵银杏树苗的价格是x元，则每棵白杨树苗的价格是元．
根据题意得．解得．
经检验，是原方程的解．
．
答：每棵银杏树苗的价格是40元，每棵白杨树苗的价格是30元．
（2）解：设购买m棵银杏树苗．则购买棵白杨树苗，
根据题意，得．
解得．
答：最多可购买20棵银杏树苗．
15．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）2024年是甲辰龙年，龙作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，其形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某商店销售A，B两款与龙相关的吉祥物，已知每个A款吉祥物的售价比每个B款吉祥物的售价高20元，顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同．
(1)求每个B款吉祥物的售价；
(2)为了促销，商店对A款吉祥物打八八折销售，B款吉祥物售价不变．李老师为激励学生奋发向上，准备用不超过360元的钱购买A，B两款吉祥物共10个来奖励学生，则李老师最多可购买多少个A款吉祥物？
【答案】(1)30元
(2)李老师最多可购买4个A款吉祥物
【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用问题，根据题意找到相等关系和不等关系是解题的关键．
（1）设每个B款吉祥物的售价为x元，则每个A款吉祥物售价为元，根据顾客花顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，列出分式方程求解即可；
（2）设李老师购买m个A款吉祥物，则购买个B款吉祥物，根据用不超过360元的钱购买A，B两款吉祥物共10个来奖励学生列出一元一次不等式求解即可．
【详解】（1）解：设每个B款吉祥物的售价为x元，则每个A款吉祥物售价为元，
根据题意得，解得．
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：每个B款吉祥物的售价为30元．
（2）解：设李老师购买m个A款吉祥物，则购买个B款吉祥物，
根据题意得．解得．
又∵m为正整数，
∴m的最大值为4．
∴李老师最多可购买4个A款吉祥物．
10.5可化为一元一次方程的分式方程及其应用 分层题型练习
知识点1：分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
注意：
分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.
分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.
知识点2：分式方程的解法
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
题型一 分式方程的定义
1．（23-24八年级下·全国·课后作业）给出下列关于x的方程：①，②，③，④．其中，分式方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）下列关于x的方程中（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是分式方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（23-24八年级下·山西晋城·阶段练习）观察下列分式方程：①；②；③；…．根据他们所蕴含的规律，写出这一组分式方程中的第⑥个方程： ．
4．（23-24八年级上·吉林松原·期末）有下列方程：①，②，③（为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 （填序号）．
5．（2021八年级下·全国·专题练习）下列方程哪些是分式方程？
（1）；（2）；（3）；（4）（a是常数）．
题型二 解分式方程
1．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）分式方程的解为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）分式方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河南省直辖县级单位·模拟预测）分式方程的解为 ．
4．（2024·辽宁葫芦岛·二模）若关于x的方程的解是，则a的值为 ．
5．（23-24八年级下·陕西西安·期末）解方程：
(1)
(2)
题型三 根据分式方程解的情况求值
1．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
2．（23-24八年级下·四川达州·期末）关于的方程的解是负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．且
3．（23-24八年级下·四川眉山·期末）已知关于的分式方程的解为正数，则实数的取值范围是 ．
4．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是 ．
5．（23-24八年级下·广东茂名·阶段练习）已知关于x的方程的解是正数，求m的取值范围．
题型四 分式方程无解问题
1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）若分式方程无解，则m的值为 ．
2．（23-24八年级下·陕西西安·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ）
A． B．1 C．或0 D．0或1
3．（23-24七年级下·浙江·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是 ．
4．（2024八年级下·全国·专题练习）若以x为未知数的方程无解，则 .
5．（23-24八年级下·安徽宿州·阶段练习）已知关于的分式方程．
(1)若分式方程有增根，求的值；
(2)若分式方程无解，求的值．
题型五 列分式方程
1．（23-24八年级下·河南南阳·期末）植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰，某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植棵树，乙班共植棵树，设乙班每小时植棵树，依题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·四川成都·期末）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，全书共收集了246个数学问题，分为九章，内容涵盖了算术、代数、几何等多个领域．其中记录的一道题译为现代文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度．设慢马的速度为x里/天，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24八年级下·陕西西安·期末）甲乙两人同时从A地出发，骑自行车行30千米到B地，甲比乙每小时少走3千米，结果乙先到1小时，若设乙每小时走x千米，则可列方程 .
4．（23-24八年级下·四川眉山·期末）重庆、昆明两地相距，渝昆高速公路开通后，在重庆、昆明两地间行驶的长途客车平均速度提高了，而从重庆到昆明的时间缩短了，求长途客车现在的平均速度．设长途客车现在的平均速度为，则根据题意可列方程为 ．
5．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）小王在书店和网上共买了套相同的书，网上的售价比书店的售价每套便宜元，已知网上购书共花了元，比书店购书多花了元，小王在书店和网上各买了多少套书？
(1)购书费用问题的数量关系是：单价= ．
(2)设小王在书店购买了套书，则在网上购买了套书．完成下列表格：
总费用（元） 数量（套） 单价（元）
书店 x
网上 25－x
(3)根据“网上的售价比书店的售价每套便宜元”这个条件，可列方程： ．
题型六 分式方程的实际应用
1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．A，B两种机器人每小时分别搬运多少干克化工原料？（ ）
A．60，30 B．90，120 C．60，90 D．90，60
2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）一艘货轮在静水中的航速为，它以该航速沿江顺流航行所用时间，与以该航速沿江逆流航行所用时间相等，则江水的流速为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山西晋城·三模）某电力公司有A，B两种型号的高压线智能巡检机器人，A型机器人比B型机器人每小时多巡检，A型机器人巡检所用时间与B型机器人巡检所用时间相等，则A型机器人每小时巡检线路 km．
4．（2024·浙江杭州·二模）某书店分别用400元和500元两次购进同一种书，第二次数量比第一次多10本，且两次进价相同，则该书店第一次购进 本．
5．（2024七年级下·全国·专题练习）某一项工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；
（3）若甲、乙两队合作4天，余下的工程由乙队单独也正好如期完成．
据上述条件解决下列问题：
①规定期限是多少天？写出解答过程；
②在不耽误工期的情况下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款
1．（23-24八年级下·陕西西安·期末）若关于的分式方程无解，则的值为 （ ）
A． B．或2 C．或2 D．
2．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）对于分式，下列说法不正确的是（ ）
A．时，分式值为0 B．时，分式无意义
C．时，分式的值为正数 D．分式的值可能为1
3．（23-24八年级下·江苏常州·期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
4．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）为提升城市充电基础设施建设，某公共停车场计划购进A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩的数量比用万元购买B型充电桩的数量多5个．设A型充电桩的单价为x万元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24七年级下·重庆北碚·期末）已知关于的分式方程解为非负整数，且关于的不等式组有解且至多三个整数解，则所有满足条件的整数的和为（ ）
A．6 B．5 C．9 D．13
6．（23-24八年级下·四川成都·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是 ．
7．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围是 ．
=8．（23-24七年级下·安徽六安·期末）已知关于x的分式方程．
（1）若分式方程的根是，则的值为 ；
（2）若分式方程无解，则的值为 ．
=9．（23-24八年级下·广东清远·期末）为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足的方程是 ．
=10．（2024·重庆·模拟预测）若关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
11．（宁夏回族自治区中卫市第七中学2023-2024学年八年级下学期数学期末统考模拟试题（四））2024年宁夏银川西部“影视城”厚积薄发，“五一”期间旅游业火爆出圈．影视城某纪念品经销店购进A、B两种纪念品，用900元购进的A种纪念品与用1200元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比每件A种纪念品的进价多5元．求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元？
12．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）某商店4月份购进一批T恤衫，进价合计3200元．由于该T恤衫十分畅销，商店又于5月份购进一批同品牌T恤衫，进价合计6800元，数量是4月份的2倍，但每件进价涨了2.5元．
(1)求商店4月份购进T恤衫多少件？
(2)这两批T恤衫开始都以每件60元出售，到6月初，商店把剩下的40件打九折出售，很快售完，求商店共获毛利润（销售收入减去进价总计）多少元？
13．（23-24八年级下·山东济南·期末）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．已知篮球的单价比足球单价多40元，用1600元购买足球的数量是用1200元购买篮球数量的2倍．
(1)求足球和篮球的单价；
(2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过17500元，学校需要最少购买多少个足球？
14．（2024·山西大同·模拟预测）“植”此青绿，共赴青山．2024年植树节，某学校计划采购一批银杏树苗和白杨树苗，经了解，每棵银杏树苗比每棵白杨树苗贵10元，用400元购买银杏树苗的棵数与用300元购买白杨树苗的棵数相同．
(1)分别求每棵银杏树苗、白杨树苗的价格．
(2)学校最终决定购买银杏树苗、白杨树苗共100棵，若用于购买两种树苗的总费用不超过3200元，那么最多可购买多少棵银杏树苗？
15．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）2024年是甲辰龙年，龙作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，其形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某商店销售A，B两款与龙相关的吉祥物，已知每个A款吉祥物的售价比每个B款吉祥物的售价高20元，顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同．
(1)求每个B款吉祥物的售价；
(2)为了促销，商店对A款吉祥物打八八折销售，B款吉祥物售价不变．李老师为激励学生奋发向上，准备用不超过360元的钱购买A，B两款吉祥物共10个来奖励学生，则李老师最多可购买多少个A款吉祥物？
