北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷
高一数学
2024.7
本试卷共6页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数( )
A. B. C. D.
2.已知，若，则实数( )
A. B. C. D.
3.在中，，则( )
A. B. C. D.
4.平面向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为，则( )
A. B. C. D.
5.已知是不重合的平面，是不重合的直线，下列命题中不正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
6.在平面直角坐标系中，已知，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.如图，已知正六棱锥的侧棱长为，底面边长为是底面上一个动点，，则点所形成区域的面积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数和的图象以每秒个单位的速度向左平移，的图象以每秒个单位的速度向右平移，若平移后的两个函数图象重合，则需要的时间至少为( )
A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒
9.已知函数，“存在，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.方波是一种非正弦曲线的波形，广泛应用于数字电路、定时器、逻辑控制、开关电源等领域．理想方波的解析式为，而在实际应用中多采用近似方波发射信号．如就是一种近似情况，则( )
A. 函数是最小正周期为的奇函数
B. 函数关于对称
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数的最大值不大于
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11.复数，则 ．
12.已知函数若非零实数，使得对都成立，则满足条件的一组值可以是 ， 只需写出一组
13.有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥．已知圆柱的底面半径为，高为，圆锥的高为，则这个木质工艺品的体积为 ；表面积为 ．
14.在中，，则 ， ．
15.如图，在棱长为的正方体中，点为的中点，点是侧面上包括边界的动点，点是线段上的动点，给出下列四个结论：
任意点，都有；
存在点，使得平面；
存在无数组点和点，使得；
点到直线的距离最小值是．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16.（本小题13分）
在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点．
求及的值；
求的值．
17.（本小题13分）
在中，分别是三个内角的对边，．
求的大小；
若，且边上的高是边上的高的倍，求及的面积．
18.（本小题14分）
如图，在三棱柱中，点分别为的中点．
求证：平面；
已知，从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知，使得三棱柱唯一确定，并求解下列问题：
条件：；
条件：；
条件：．
求证：；
求三棱锥的体积．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
19.（本小题15分）
已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式；
若函数，
求函数的单调递增区间；
求函数在区间内的所有零点的和．
20.（本小题15分）
如图，在中，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图．
求证：平面；
求点到平面的距离；
点为线段的中点，线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
21.（本小题15分）
若存在实数和周期函数，使得，则称是好函数．
判断是否是好函数，证明你的结论；
对任意实数，函数满足若是好函数，
当时，求；
求证：不是周期函数；
求证：是好函数．
参考答案
1.
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.；
14.；
15.
16.由题意可知：，
所以．
由题意可得：，
则，
所以．
17.由正弦定理可得，
因为，所以．
所以
所以
因为，所以，，
所以，所以，即．
因为边上的高是边上的高的倍，，
所以由等面积法知，
所以，
所以，
所以
18.证明：如图，取的中点为，连接，，
则且，在三棱柱中，且，
又为的中点，所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
若选条件：
由可得四边形为矩形，底面三角形形状不确定，此时三棱柱不唯一；
若选条件：
由，，平面，故平面，
又，故，所以，故三棱柱唯一，符合要求，
由于平面，平面，则，
又，平面，
故平面，平面，故，
若选条件：
由可得四边形为矩形，
又，故，
所以，故三棱柱唯一，符合要求，
由于平面，平面，则，
又，平面，
故平面，平面，故，
19.由图象可知：，
将点代入得，
令，
解得，
所以函数的单调递增区间为．
令，即，
所以或，
即或，
由可得，零点为，
故零点之和为．
20.如图所示，
根据题意，，且平面，
则平面，平面，则又已知．
，平面，则平面．
如图所示，连接设点到平面的距离．
由翻折前状态，可知．
由知道，，则，则．
由知道，，．
由平面等体积法知道．
即．
代入化简得到，则，则点到平面的距离．
存在，．
如图所示，取中点，连接在上取点，使得，连接．
由于点为线段的中点，则，．
又则，，则四边形为平行四边形．
则，平面，平面，则平面．
此时．
21.因为，其中为周期函数，所以为好函数，、
若为好函数，则存在实数和周期函数，使得，
所以为周期函数，又由二次函数性质知当且仅当时，
取最小值，这与是周期函数矛盾，
所以不是好函数．
由，，
可得．
若是周期函数，设是的一个周期，
则，这与矛盾，
所以不是周期函数．
因为是好函数，所以存在实数和周期函数，使得，
由知，否则是周期函数，矛盾．
令，
以下证是以为周期的周期函数，是的周期，
假设存在，使得，
则，矛盾．
所以
，
所以．
所以是好函数．
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