第5讲 空间向量及其应用
复习要点 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.4.理解直线的方向向量及平面的法向量.5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．
一 空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 在空间中，具有大小和方向的量
相等向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量
共线向量(或 平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量 平行于同一个平面的向量
二 空间向量的有关定理
1．共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
2．共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
3．空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝x＋y＋z.
三 数量积及坐标运算
1．数量积
非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
2．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量表示 坐标表示
数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 |a|
夹角余 弦值 cos〈a，b〉＝ (a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝
四 直线的方向向量和平面的法向量
1．直线的方向向量
就是指所在的直线和这条直线平行或重合的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．
2．平面的法向量
(1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有无数个，它们是共线向量．
(2)在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一确定的．
3．直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用
(1)直线l1的方向向量为u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为u2＝(a2，b2，c2)．
若l1∥l2，则u1∥u2 u1＝ku2 (a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)．
若l1⊥l2，则u1⊥u2 u1·u2＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
(2)直线l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)．
若l∥α，则u⊥n u·n＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
若l⊥α，则u∥n u＝kn (a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)．
(3)平面α1的法向量为u1＝(a1，b1，c1)，平面α2的法向量为u2＝(a2，b2，c2)．
若α1⊥α2，则u1⊥u2 u1·u2＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
若α1∥α2，则u1∥u2 u1＝ku2 (a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)．
常/用/结/论
1．在平面中A，B，C三点共线的充要条件是＝x＋y(其中x＋y＝1，x，y∈R)，O为平面内任意一点．
2．在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1，x，y，z∈R)，O为空间任意一点．
上面两个结论很相似，我们应学习这种由平面到空间，一些命题是如何演变的. 如下面的类比：在Rt△ABC中，＝＋.
在三棱锥O ABC中：OA，OB，OC两两垂直，OH⊥平面ABC，则有＝＋＋.
1．判断下列结论是否正确．
(1)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.(?)
(2)在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)．(√)
(3)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角．(?)
(4)在向量的数量积运算中，(a·b)·c＝a·(b·c)．(?)
2．已知a＝(λ＋1,0,2λ)，b＝(6,2μ－1,2)，若a∥b，则λ与μ的值分别为( )
A.， B．－，－
C．5,2 D．－5，－2
解析：若两向量平行，则有＝，2μ－1＝0，解得λ＝，μ＝.
答案：A
3．已知直线l在平面α外，且a＝(－2,2,5)是直线l的方向向量，b＝(6，－4,4)是平面α的法向量，则直线l与平面α的位置关系为________．
解析：∵a·b＝－2×6＋2×(－4)＋5×4＝0，且直线l在平面α外，∴直线l与平面α平行．
答案：平行
4．设u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,5)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则实数t的值是________．
解析：因为u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,5)分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，所以u⊥v，所以－2×6＋2×(－4)＋t×5＝0，解得t＝4.
答案：4
题型 空间向量的线性运算
典例1如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量．
(1) ；(2)；(3) ＋.
解：(1)∵P是C1D1的中点，
∴＝＋＋＝a＋＋
向量加法的多边形法则．
＝a＋c＋ ＝a＋c＋b.
(2)∵N是BC的中点，
∴＝＋＋＝－a＋b＋
＝－a＋b＋ ＝－a＋b＋c.
(3)∵M是AA1的中点，
∴＝＋＝＋
＝－a＋＝a＋b＋c.
又＝＋＝ ＋
以上都是采用向量的三角形加法法则向基向量转化的，也是用基底表示出目标向量．
＝ ＋a＝c＋a，
∴＋＝＋
＝a＋b＋c.
用已知向量表示某一向量的方法
(1)结合已知向量和所求向量观察图形．
(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．
(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知向量表示出来．向量线性运算一定要结合图形特点.
对点练1 如图所示，在三棱锥O ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量，，表示， .
解：连接ON(图略)．M＝M＋A＝＋ ＝＋( －O)
＝＋
＝－＋＋.
＝＋M＝ －＋ ＋＝＋＋.
题型 空间向量的共线、共面问题
典例2 如图所示，已知斜三棱柱ABC A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足A＝k，B＝k(0≤k≤1)．
(1)向量是否与向量，共面？
转化为是否可写成，的线性和的形式．
(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？
解：(1)连接B1A(图略)，∵A＝k， ＝k(0≤k≤1)，
∴＝＋＋
向量的线性运算最终转化成，的线性和．
＝k＋＋k＝k(＋)＋
＝k(＋)＋＝k＋＝－k
＝－k(＋)＝(1－k)－k，
∴由共面向量定理知向量M与向量，共面．
(2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN
特殊情形，单独讨论．
在平面ABB1A1内，∴MN不平行于平面ABB1A1；
当0
三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面
＝λ 即，共线 ＝x＋y 即，，三个向量共面．
对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O， ＝＋x＋y
对空间任一点O，＝x＋(1－x) 对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y)
对点练2(1)(多选)(2024·湖北武汉质检)下列说法中正确的是( )
A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B．若， 共线，则AB∥CD
C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝ ＋ ＋ ，则P，A，B，C四点共面
D．若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ( ， 不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件
(2)(2024·湖南长沙一中月考)已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为零的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为________．
解析：(1)由|a|－|b|＝|a＋b|，可知向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确；
若，C共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；
由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝ ＋ ＋，因为＋＋＝1，
可得P，A，B，C四点共面，所以C正确；
若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ(， 不共线)，
当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得－＝λ(－)，即＝λ，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确．
(2)∵A，B，C三点共线，∴存在实数k，使得＝k.
∵＝－， ＝－，∴－＝k(－)，化简整理，得＝(k＋1)－k.∵存在三个不为零的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，∴O＝－－，由共面向量定理得k＋1＝－，－k＝－，∴m＝(－k－1)λ，n＝kλ.由此可得，λ＋m＋n＝λ＋(－k－1)λ＋kλ＝0.
答案：(1)CD (2)0
题型 空间向量的数量积及其应用
典例3已知平行六面体ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.
(1)求线段AC1的长；
(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；
用基底表示出两个向量，严格按照向量夹角公式求解．
(3)证明：AA1⊥BD.
(1)解：如图所示，设＝a，＝b，＝c，
一组基底．
则|a|＝|b|＝1，|c|＝2.
a·b＝0，a·c＝b·c＝2×1×cos 120°＝－1.
∵＝＋＋＝a＋b＋c，
∴||2＝(a＋b＋c)2
“遇模想平方”，从而把模的计算化为数量积的计算．
＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c
＝1＋1＋22－2－2＝2.
∴||＝，即线段AC1的长为.
(2)解：∵＝a＋b＋c，＝b－c，
∴·＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b
计算对应向量数量积．
－a·c＋b2－b·c＋b·c－c2＝1＋12－22＝－2.
又||2＝(b－c)2＝b2＋c2－2b·c＝1＋4＋2＝7，∴||＝.
∴cos〈，〉＝＝＝－.
∴异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为.
须注意区别向量夹角并非异面直线的夹角，向量夹角的范围是[0，π]，而异面直线的夹角范围是.
(3)证明：∵＝c，＝b－a，
∴·＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝－1－(－1)＝0.∴⊥，即AA1⊥BD.
空间向量数量积的应用中的主要题型
(1)求夹角：设向量a，b所成的角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角．
(2)求长度(距离)：运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．
(3)解决垂直问题：利用a⊥b a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．
对点练3(2024·山东枣庄模拟)在空间直角坐标系Oxyz上，有一个等边三角形ABC，其中点A在z轴上．已知该等边三角形的边长为2，重心为G，点B，C在平面Oxy上，若O在z轴上的投影向量的模是z，则| |2＝________(用字母z表示)．
解析：如图，设BC的中点为M，连接AM，因为等边三角形ABC的重心为G，所以GM＝AM，设在z轴上的投影向量是，则ON＝OA，在z轴上的投影向量的模是z，所以OA＝3z，该等边三角形的边长为2，在Rt△OAB中，OB＝，同理可得OC＝，因为＝(＋＋)，所以||2＝( ＋＋O)2＝(2＋2＋2＋2·＋2·＋2·)＝＝－3z2.
答案：－3z2
题型 向量法证明平行、垂直
典例4如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点．
(1)求证：EF∥平面A1B1BA；
(2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1.
证明：因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.
因为AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1，
线面垂直是建立空间直角坐标系的基础，因此每一个题目，我们都非常关注线面垂直、面面垂直．
所以过E作平行于BB1的直线，以其为z轴，EC，EA所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系．建系技巧：①尽量利用已知线面垂直关系；②尽可能使更多的点落在坐标轴上．
因为AB＝3，BE＝，所以AE＝2，
所以E(0,0,0)，C(，0,0)，A(0,2,0)，B(－，0,0)，A1(0,2，)，则F.
(1)E＝，A＝(－，－2,0)，＝(0,0，)．
设平面A1B1BA的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则所以
取所以n＝(－2，，0)．
因为·n＝×(－2)＋1×＋×0＝0，所以⊥n.
又EF 平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA.
(2)易知＝(，0,0)为平面AEA1的一个法向量，
＝(0,2,0)为平面BCB1的一个法向量．
当然几何法更显优点．
因为·＝0，所以⊥E，
故平面AEA1⊥平面BCB1.
1．利用向量法证明平行问题
其实对于普通的垂直，平行关系常采用几何法．
(1)线线平行：方向向量平行．
(2)线面平行：平面外的直线的方向向量与平面的法向量垂直．
(3)面面平行：两平面的法向量平行．
2．利用向量法证明垂直问题的类型及常用方法
线线垂直 问题 证明两直线的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零
线面垂直 问题 证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直
面面垂直 问题 证明两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直
对点练4如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．
(1)求证：B1E⊥AD1.
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
(1)证明：以A为原点， ， ，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝a，
则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)．
故＝(0,1,1)，＝.
因为·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，
所以⊥，即B1E⊥AD1.
(2)解：存在满足要求的点P，
假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，
使得DP∥平面B1AE，此时＝(0，－1，z0)，
设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)．
＝(a,0,1)， ＝.
因为n⊥平面B1AE，所以n⊥，n⊥，
得
取x＝1，则y＝－，z＝－a，
故n＝.
要使DP∥平面B1AE，只需n⊥，
则－az0＝0，解得z0＝.
所以存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝.(共85张PPT)
第5讲 空间向量及其应用
第八章 立体几何
理清教材 强基固本
01
重难题型 全线突破
02
限时跟踪检测
03
理清教材 强基固本
答案
解析
重难题型 全线突破
答案
解析
限时跟踪检测
答案
解析
答案
解析
答案
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答案
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答案
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答案
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答案
解析
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谢 谢 观 看
O限时跟踪检测(四十三) 空间向量及其应用
一、单项选择题
1．下列说法正确的是( )
A．若p＝xa＋yb，则p与a，b不一定共面
B．若p与a，b共面，则p＝xa＋yb
C．若＝x＋y，则P，M，A，B共面
D．若P，M，A，B共面，则＝x＋y
2．设平面α的一个法向量为n＝(x,1，－2)，平面β的一个法向量为m＝(2，－2，y)，若α∥β，则xy＝( )
A．2 B．4 C．－2 D．－4
3．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是线段OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使MG＝2GN，如图，则正确用向量，，表示向量的是( )
A． ＝＋ ＋
B．＝＋＋
C．＝＋＋
D．＝＋＋
4．已知向量a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)．若a，b，c三个向量共面，则实数λ＝( )
A. B. C. D.
5．已知正四面体A BCD的棱长为1，且＝2，＝2，则·＝( )
A. B. C．－ D．－
6．若A，B，C不共线，对于空间任意一点O，都有＝＋＋，则P，A，B，C四点( )
A．不共面 B．共面
C．共线 D．不能确定
7．(2024·河北石家庄模拟)如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，＝2，点M在侧面AA1B1B内．若D1M⊥CP，则点M的轨迹为( )
A．线段 B．圆弧
C．抛物线的一部分 D．椭圆的一部分
8．(2024·四川内江、眉山等六市月考)如图，平行六面体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则AC1＝( )
A．1 B．2
C. D.
二、多项选择题
9．(2024·广东梅州模拟)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，AA1＝3，点M，N分别在棱AB和BB1上(不含端点)运动．若D1M⊥MN，则下列命题正确的是( )
A．MN⊥A1M
B．MN⊥平面D1MC
C．线段BN长度的最大值为
D．三棱锥C1 A1D1M体积不变
三、填空题与解答题
10．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，则以，为边的平行四边形的面积为________．
11．已知e1，e2是空间单位向量，e1·e2＝，若空间向量b满足b·e1＝2，b·e2＝，且对于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，则x0＝________，y0＝________，|b|＝________.
12．如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，CD⊥BC，AD＝2，AB＝BC＝3，PA＝4，M为AD的中点，N为PC上的点，且PC＝3PN.求证：MN∥平面PAB.
13．(2024·山东济南质检)如图，在三棱锥P ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)证明：AP⊥BC；
(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，证明：平面AMC⊥平面BMC.
14．(2024·河南洛阳模拟)如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2.
(1)求证：AC⊥BF.
(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
高分推荐题
15．如图，在四棱锥P ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB.
解析版
一、单项选择题
1．下列说法正确的是( )
A．若p＝xa＋yb，则p与a，b不一定共面
B．若p与a，b共面，则p＝xa＋yb
C．若＝x＋y，则P，M，A，B共面
D．若P，M，A，B共面，则＝x＋y
解析：A项，若p＝xa＋yb，则p与a，b一定共面；B项，若a，b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb就不成立；C正确；D项，若M，A，B共线，点P不在此直线上，则＝x＋y不成立．故选C.
答案：C
2．设平面α的一个法向量为n＝(x,1，－2)，平面β的一个法向量为m＝(2，－2，y)，若α∥β，则xy＝( )
A．2 B．4 C．－2 D．－4
解析：因为α∥β，所以m∥n，所以存在实数λ，使得n＝λm，所以解得所以xy＝－4，故选D.
答案：D
3．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是线段OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使MG＝2GN，如图，则正确用向量，，表示向量的是( )
A． ＝＋ ＋
B．＝＋＋
C．＝＋＋
D．＝＋＋
解析：连接ON(图略)．
＝＋
＝＋M
＝＋( －)
＝＋
＝＋＋.故选C.
答案：C
4．已知向量a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)．若a，b，c三个向量共面，则实数λ＝( )
A. B. C. D.
解析：由题意，设c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，所以解得
故选D.
答案：D
5．已知正四面体A BCD的棱长为1，且＝2，＝2，则·＝( )
A. B. C．－ D．－
解析：因为＝2，＝2，所以EF∥BD，EF＝BD，即＝，
则·＝·
＝||||cos ＝－.
答案：D
6．若A，B，C不共线，对于空间任意一点O，都有＝＋＋，则P，A，B，C四点( )
A．不共面 B．共面
C．共线 D．不能确定
解析：由已知可得
－＝－＋＋
＝－＋＋－，
可得＝－(－)＋(－)＝－＋，
所以，，共面但不共线，
故P，A，B，C四点共面．
答案：B
7．(2024·河北石家庄模拟)如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，＝2，点M在侧面AA1B1B内．若D1M⊥CP，则点M的轨迹为( )
A．线段 B．圆弧
C．抛物线的一部分 D．椭圆的一部分
解析：如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为3，则P(3,0,2)，C(0,3,0)，D1(0,0,3)，M(3，y，z)，＝(3，y，z－3)，＝(3，－3,2)，所以·＝9－3y＋2(z－3)＝0，整理为3y－2z－3＝0，即点M的轨迹是平面ABB1A1内，直线3y－2z－3＝0上的一段线段．
答案：A
8．(2024·四川内江、眉山等六市月考)如图，平行六面体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则AC1＝( )
A．1 B．2
C. D.
解析：∵＝＋＋，
∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2×1×1×＋2×1×1×＋2×1×1×＝2，
∴AC1＝.
答案：D
二、多项选择题
9．(2024·广东梅州模拟)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，AA1＝3，点M，N分别在棱AB和BB1上(不含端点)运动．若D1M⊥MN，则下列命题正确的是( )
A．MN⊥A1M
B．MN⊥平面D1MC
C．线段BN长度的最大值为
D．三棱锥C1 A1D1M体积不变
解析：在正方体ABCD A1B1C1D1中，以点D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
则A1(3,0,3)，D1(0,0,3)，C(0,3,0)，B(3,3,0)，
设M(3，y,0)，N(3,3，z)，y，z∈(0,3)，则＝(3，y，－3)，＝(0,3－y，z)，而D1M⊥MN，
则·＝y(3－y)－3z＝0，即z＝y(3－y)．
对于A选项，连接A1M，＝(0，y，－3)，则·＝y(3－y)－3z＝0，则⊥，MN⊥A1M，A正确；
对于B选项，连接CM，CD1，＝(3，y－3,0)， ·＝(y－3)(3－y)＝－(3－y)2<0，即CM与MN不垂直，从而MN与平面D1MC不垂直，B不正确；
对于C选项，＝(0,0，z)，则线段BN长度||＝z＝≤，当且仅当y＝时等号成立，C正确；
对于D选项，连接A1C1，MC1，不论点M如何移动，点M到平面A1D1C1的距离均为3，而VC1 A1D1M＝VM A1D1C1＝×3·S△A1D1C1＝，所以三棱锥C1 A1D1M体积为定值，即D正确．
答案：ACD
三、填空题与解答题
10．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，则以，为边的平行四边形的面积为________．
解析：由题意可得
＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，
所以cos〈，〉＝
＝＝，所以sin〈，〉＝，
所以以，为边的平行四边形的面积S＝2×||||sin〈，〉＝14×＝7.
答案：7
11．已知e1，e2是空间单位向量，e1·e2＝，若空间向量b满足b·e1＝2，b·e2＝，且对于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，则x0＝________，y0＝________，|b|＝________.
解析：问题等价于|b－(xe1＋ye2)|当且仅当x＝x0，y＝y0时取到最小值1，左边平方，得|b|2＋x2＋y2－4x－5y＋xy，
在x＝x0，y＝y0时取到最小值1，
即|b|2＋x2＋y2－4x－5y＋xy
＝x2＋(y－4)x＋y2－5y＋|b|2
＝2＋(y－2)2－7＋|b|2，
所以解得
答案：1 2 2
12．如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，CD⊥BC，AD＝2，AB＝BC＝3，PA＝4，M为AD的中点，N为PC上的点，且PC＝3PN.求证：MN∥平面PAB.
解：方法一(几何法)：如图，在平面PBC内作NH∥BC交PB于点H，连接AH，在△PBC中，NH∥BC，且NH＝BC＝1，AM＝AD＝1，
又AD∥BC，∴NH∥AM且NH＝AM，
∴四边形AMNH为平行四边形，
∴MN∥AH，
又AH 平面PAB，MN 平面PAB，
∴MN∥平面PAB.
方法二(向量法)：在平面ABCD内作AE∥CD交BC于点E，则AE⊥AD.
以AE，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则P(0,0,4)，M(0,1,0)，C(2，2,0)，N，B(2，－1,0)，A(0,0,0)，
故＝， ＝(0,0,4)， ＝(2，－1，0)．
设＝m＋n，
∴＝m(2，－1,0)＋n(0，0,4)，
∴m＝，n＝，∴，A，A共面．
∴∥平面PAB.又MN 平面PAB，
∴MN∥平面PAB.
方法三(法向量)：建系写点坐标如方法二．
设m＝(x1，y1，z1)为平面PAB的一个法向量，则由m⊥，m⊥，得
∴
令x1＝1，则m＝(1,2，0)．
∴·m＝×1－×2＋×0＝0.∴m⊥，∴∥平面PAB.
又MN 平面PAB，∴MN∥平面PAB.
13．(2024·山东济南质检)如图，在三棱锥P ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)证明：AP⊥BC；
(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，证明：平面AMC⊥平面BMC.
证明：(1)如图，以O为原点，以射线OD为y轴正半轴，以射线OP为z轴正半轴，建立空间直角坐标系O xyz.
则O(0,0,0)，A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)．
＝(0,3,4)，＝(－8,0,0)，
由此可得·＝0，
所以⊥，即AP⊥BC.
(2)由(1)，知AP＝5，
又AM＝3，且点M在线段AP上，
∴＝＝.
又＝(－4，－5,0)，
∴＝＋＝，
∴·＝(0,3,4)·＝0，
∴⊥，即AP⊥BM，
又根据(1)的结论，知AP⊥BC，且BM∩BC＝B，
∴AP⊥平面BMC，又AP 平面AMC，
故平面AMC⊥平面BMC.
14．(2024·河南洛阳模拟)如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2.
(1)求证：AC⊥BF.
(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(1)证明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF 平面ADEF，∴AF⊥平面ABCD.
∵AC 平面ABCD，∴AF⊥AC.
∴过A作AH⊥BC于H(图略)，
则BH＝1，AH＝，CH＝3，
∴AC＝2，∴AB2＋AC2＝BC2，∴AC⊥AB.
∵AB∩AF＝A，∴AC⊥平面FAB.
∵BF 平面FAB，∴AC⊥BF.
(2)解：存在．
由(1)知，AF，AB，AC两两垂直．
以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2，0)，E(－1，，2)．
假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合，
设＝λ，则λ>0，P.
设平面PAC的法向量m＝(x，y，z)．
由＝，＝(0，2，0)，
得
即令x＝1，则z＝，
所以m＝为平面PAC的一个法向量．
同理，可求得n＝为平面BCEF的一个法向量．
当m·n＝0，即λ＝时，平面PAC⊥平面BCEF，
所以在线段BE上存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF，此时＝.
高分推荐题
15．如图，在四棱锥P ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB.
(1)证明：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设AD＝a，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)，F.
＝， ＝(0，a,0)．
因为·＝0，所以⊥，即EF⊥CD.
(2)解：设G(x,0，z)，则＝，
＝(a,0,0)， ＝(0，－a，a)，
若使GF⊥平面PCB，则需·＝0，且·＝0，
由·＝·(a,0,0)＝a＝0，得x＝，
由·＝·(0，－a，a)＝＋a＝0，得z＝0.
所以G点坐标为，即G为AD的中点时，GF⊥平面PCB.
