大同市 2025 届高三年级第一次学情调研监测
数学答案解析
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1. 答案：B
解析：图中阴影部分表示的集合为 CU B A，又 A ( 1,0), (0,0), (1,0), (0,1), (0, 1) ，所以阴影部
分表示的集合为 ( 1,0), (0,0), (0,1) ,故选 B.
2. 答案： A
1
解析：由向量垂直的坐标表示得3x2 1 2x 0，解得 x 1或 ，故选 A.
3
3.答案：D
cos sin 2 cos 2sin cos π
解析：因为 ( (0, )) ，
1 sin 1 cos2 1 sin 2 2sin2 2
1 π π 3
整理得sin ，又 (0, )，所以 ， tan ，故选 D.
2 2 6 3
4. 答案：D
解析：由 f x 的定义域知a 0 ,
1 1
当 0
1
所以 f 8，故选 D.
a
5. 答案：C
解析：将 2 名金牌导游分配到 3 个景区，有3 3 9种分配方法,若每个风景区都要有银牌导游，则将
银牌导游分成三组，各组人数分别为 1，1，3或 1，2，2.当银牌导游分成三组的人数为 1，1，3
C1C1C3 3
时，此时共有 5 4 3 A3 9 540 种；当银牌导游分成三组的人数为 1，2，2 时，此时共有
A22
C1 2 25C4 C2 A33 9 810种分配方法.所以不同分配方法有540 810 1350 种，故选 C.
A22
{#{QQABKY6QogigAIIAAAhCAQU4CkAQkBGAAYgOAFAMMAAAQQFABAA=}#}
6. 答案：A
1 cos2 x 1 3 3 1
解析：f (x) 3 sin 2 x cos2 x sin 2 x sin(2 x ) ,因为 0 ，
2 2 2 2 2 3
所以 x 0, 时，2 x ,2 .因为函数 f (x) 在区间 0， 内有最大值，无最3 3 3
2 3 1 7
小值，结合正弦函数图像得 2 ，解得 ，故选 A.
3 3 2 6 12
7. 答案： D
解析：由等差中项公式得4a2 4a ， 1 a3
又数列 a 为等比数列，所以得4a q 4a a q2，解得q 2， n 1 1 1
n
Sn a1(1 q
n ) 2n 1 S 2 1 S
所以 ，又 n 单调递增，所以当n 1时， n 取得最小值1，
n n 1 q n n n n
故选 D.
8. 答案：C
解析：因为a 0 ，又函数 y log x 单调递增，所以3a 2 4a 1，即0 a 1， 3
x
对于不等式a a y x y ，移项整理得ax x ay y ，
x
构造函数h(x) a x，由于h(x) 单调递减，所以 x y ，即 x y 0，故选 C.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要
求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有错选的得 0 分.
9. 答案： BCD
2 2
解析：设 z1 1 2i ， z2 2 i，显然 z1 z2 ，但 z1 z2 ，故 A 错；
设 z1 a bi， z2 c di，即可证明 z1z2 z1 z2 ，故 B 对；
根据复数的几何意义可知，复数 z1 在复平面内对应向量OZ ，复数 z2 对应向量OZ ，复数加减1 2
法对应向量加减法，故 z1 z2 和 z1 z2 分别为OZ 和1 OZ 为邻边构成平行四边形的两条对角2
线的长度，故C 对， D 对，故选 BCD.
{#{QQABKY6QogigAIIAAAhCAQU4CkAQkBGAAYgOAFAMMAAAQQFABAA=}#}
10. 答案： AC
解析：如图，利用补形思想，在正方体 ABCD A1B1C1D1的左侧
补一个全等的正方体，并平移 BD1到 AM ，则平面MAB1 M
P
为过 AB1 且与 BD1平行的平面，显然平面交 A1D1于点P ，
P 为 A1D1的中点，故 A对，B 错； 由于直线 B1P 与 AD
所成角为 A PB ，且 PAB 1 1 ， 1 1 90
故正切值为2 ，故C 对， D 错，故选 AC.
11. 答案：ACD
解析：设事件 A=“丢掉一个小球后任取两个小球均为红球”，事件B “丢掉的小球为红球”，事件 1
B “丢掉的小球为白球”，事件 C “丢掉一个小球后任取两个小球为一红一白”，则2
2
1 C 1 C
2 2 C1C1 4
P(B ) P(B ) ， P(A | B1)
3 ， P(A | B ) 4 ， P(C | B ) 3 4
1 2 2 2 1
，
2 2
2 C7 7 C7 7 C7 7
C14C
1
3 4P(C | B2 ) ，由全概率公式可得
C 27 7
1 1 1 2 3
P(A) P(B1)P(A | B1) P(B2)P(A | B2) .故 A 对；
2 7 2 7 14
1 4 1 4 4
P(C) P(B1)P(C | B1) P(B2)P(C | B2) ，故 B 错；
2 7 2 7 7
1 1 1 4
P(AB1) 2 7 1 P(B C) 1P(B1 | A) ，故 C 对；P(B1 | C)
1 2 7 ，故 D 对，
P(A) 3 3 P(C) 4 2
14 7
故选 ACD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 答案： B ，6（第一空 2 分，第二空 3 分）
解析： 由图可知女生人数为 60，则男生人数为 40，样本中 A 层的人数为 9＋40×10%＝13；样本中 B
层的人数为 24＋40×30%＝36；样本中 C 层的人数为 15＋40×25%＝25；样本中 D 层的人数为
9＋40×20%＝17；样本中 E 层的人数为 3＋40×15%＝9.故样本中 B 层的人数最多，样本中 E 层
的男生人数为 40×15%＝6.
13. 答案： 220
{#{QQABKY6QogigAIIAAAhCAQU4CkAQkBGAAYgOAFAMMAAAQQFABAA=}#}
3
解析：由题可得含 x 的项为C3x3C3( 2)3 C4x4C1
1 1 1
6 3 6 2( ) C1 ( 2)
1，故系数为 220 .
x
6
14. 答案：
2
解析：设 PF1 m， PF2 n ， P 为双曲线右支上一点，
1
因为面积 m n sin 120 2 3 ，所以得mn 8，
2
因为m n 2a ,
m2 n2 (2c)2 (m n)
2 2mn 4c2 4a2 2mn 4c2
所以得 cos120 ，
2mn 2mn 2mn
4a2即 4c2 3mn 24 c2 a2， 6，
c 6
因为 5 ，所以a .
a 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
15.（13分）解析：
asin B b c
(1) 证明:由题意得CD ，由正弦定理得 ,
sin ACB sin B sin ACB
sin B b ab
即 ，所以CD ,
sin ACB c c
2
由于c ab，所以CD c . …………………5分
c c
(2)由题意知CD c ， AD ，DB ,
2 2
2
c2
c 2 5 b c2 b2
所以cos ADC 4 4 ,
c2 c2
2 c
2 5
c a2 c2 a2
同理cos BDC 4 4 ,
c2 c2
由于 ADC BDC ,
5
所以a2 b2 c2 ,
2
a2 b2 c2 3
所以由余弦定理得cos ACB . …………………13 分
2ab 4
{#{QQABKY6QogigAIIAAAhCAQU4CkAQkBGAAYgOAFAMMAAAQQFABAA=}#}
16.（15分）解析:
（1）证明：取 PD的中点G ，连接GA，GN ，
G, N分别为PD, PC 的中点
1
GN / / CD
2
M为AB的中点，且ABCD为矩形
1 G
AM / / CD
2
GN / /AM
四边形AMNG为平行四边形
MN / / AG
MN 平面PAD，AG 平面PAD
MN / /平面PAD
又 MN 平面MNC，平面PAD 平面MNC l
MN / /l …………………6分
（2） PA 底面ABCD
PDA为PD与底面ABCD所成角
当 45 时，由（1）有 AG PD
CD AD，CD PA
且AD PA A
CD 平面PAD
CD AG
CD PD D AG 面PCD
由（1）有 AG // MN
MN 平面PCD …………………15 分
17. （15分）解析：
（1）甲、乙两人共答对 2 道题目的情况分为：甲 2 乙 0，甲 1 乙 1，所以甲、乙共答对 2 道题目的概
C 2C1 2 1 C1C 2 2 1 1
率为 P 4 2 C
0
3 ( )
0 ( )3 4 2 C1 1 23 ( ) ( ) . …………………4分
C36 3 3 C
3
6 3 3 15
{#{QQABKY6QogigAIIAAAhCAQU4CkAQkBGAAYgOAFAMMAAAQQFABAA=}#}
C1C 2 1 C 2C1 3
（2）依题意， X 的可能取值为 1，2，3. 则P(X 1) 4 2 ， P(X 2) 4 2 ，
C36 5 C
3
6 5
C3C0 1
P(X 3) 4 2 ， X 的分布列为
C36 5
X 1 2 3
1 3 1
P
5 5 5
1 3 1
所以 E(X ) 1 2 3 2 . …………………10分
5 5 5
1 3 1 2
（3） D(X ) (1 2)2 (2 2)2 (3 2)2
5 5 5 5
2
设乙答对的题目个数为Y ，则Y ~ B(3, ) .
3
2 2 1 2
所以E(Y ) 3 2 , D(Y) 3 .
3 3 3 3
因为 E(X ) E(Y ) , D(X ) D(Y) ，可知甲乙答对题目的均值是一样的，而甲的方差小于乙的
方差，所以甲的发挥较稳定，所以可以选拔甲代表学校参加体验训练. ………………15分
18.（17分）解析：
c 3 2 2 2
（1）由题意得2a 4，则a 2，又 ，a b c
a 2
x2 2
可得b 1，所以椭圆的方程为 y 1 …………………3分
4
x2 2
（2）由（1）知椭圆的方程为 y 1
4
OQ
（i） 设 P x0 , y0 ， 0 由题意知Q x0 , y0 ，
OP
x 2
2 2
x
0 2 0 y0
2 x 2
因为 y0 1，又 1，即
0
y
2
0 1
4 16 4 4 4
OQ
所以 2，即 2 …………………9 分
OP
（ii）设 A x1, y1 , B x2 , y2 ，将 y kx m代入椭圆 E 的方程，
可得 1 4k2 x2 8kmx 4m2 16 0
由 0，可得4 16k 2 m2
{#{QQABKY6QogigAIIAAAhCAQU4CkAQkBGAAYgOAFAMMAAAQQFABAA=}#}
4m28km 16
又 x1 x ， x1x2 2 2 ， 1 4k 1 4k
2
4 16k 2 4 m2
所以 x1 x2
1 4k 2
因为直线 y kx m与 y 轴交点的坐标为 0 , m
1 2 m 16k
2 4 m2
所以 OAB 的面积 S m x1 x2
2 1 4k 2
2 16k 2 4 m2 m2 m2 m2
2 4
1 4k 2 1 4k
2
1 4k
2
m2
令 t ，将 y kx m代入椭圆C 的方程
1 4k 2
可得 1 4k2 x2 8kmx 4m2 4 0
0 1 4k2由 ，可得 m2
m2
所以0 t 1，所以S 2 4 t t 2 t2 4t
1 4k 2
所以S 2 3
2 2
当且仅当 t 1时，即m 1 4k 时取得最大值2 3
又 ABQ 面积为3S
所以 ABQ 面积的最大值为6 3 . …………………17 分
19.（17分）解析：
ax2
（1）因为 f (x) cos x(x R)，所以 f (x) ax sin x，记
2
h(x) f (x) ax sin x，则h (x) a cos x .
因为a 1， cos x 1，所以h (x) 0，所以h(x) 即 f (x)在 R 上单调递增.
而 f (0) 0，所以当 x ( ,0) 时， f (x) 0；
当 x (0, ) 时， f (x) 0.
所以函数 f (x) 在区间 ( ,0)单调递减，在区间 (0, )单调递增. ……………4分
{#{QQABKY6QogigAIIAAAhCAQU4CkAQkBGAAYgOAFAMMAAAQQFABAA=}#}
2 1 sin x
（2） 当a 1时， F(x) f (x) g(x) x2 cos x, x ( ,0) (0, )，
3 3 x
易得 F(x)为偶函数.要证 F(x) 0，只需证明 x 0 时 F(x) 0，
即证明 xF(x) 0 在 x 0 时成立.
1
记G(x) xF(x) x3 sin x xcos x， x 0 ，则
3
G (x) x(x sin x)，令m(x) x sin x，m (x) 1 cos x 0，
故m(x)在 (0, )单调递增，则m(x) m(0) 0，
故G (x) xm(x) 0，即G(x)在 (0, )单调递增，
则G(x) G(0) 0 .所以 xF(x) 0 ，又 x 0 ，所以F(x) 0. …………………9分
（3）由（2）知，要使 F(x) 0恒成立，只需保证 xF(x) 0 在 x 0 时成立.
a
记 H(x) xF(x) x3 sin x xcos x, x 0，
3
则 H (x) x(ax sin x)，x 0 .
a 1
若 a 1，则有 H (x) x3 sin x xcos x x3 sin x xcos x 0，符合题意；
3 3
若0 a 1，令M (x) ax sin x ，则M (x) a cos x ，设cos x0 a， x0 0，
2
则当 x (0, x )时，M (x) 0， 0
所以M (x) 在 0 , x0 单调递减，又M (0) 0，所以M (x) 0
所以H (x) xM(x) 0 ， H (x)在 (0, x0) 单调递减，且H(x) H(0) 0 ，与题意矛盾.
若 a 0 ，则当0 x 时，ax sin x 0，所以H (x) x(ax sin x) 0，
则 H (x)在 (0, ) 单调递减，H(x) H(0) 0 ，与题意矛盾.
综上所述，实数 a 的取值范围是 1, . …………………17分
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数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5m黑
色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
5.本试题共6页，满分150分，考浅时间120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.集合U=x,川x∈R,yeR,A={(xy)1x2+y2≤1，x∈乙，y∈Z},B={x,)川y=x-1,
则下面Venm图中阴影部分表示的集合为
A.{(1,0),(0,0),(0,1)}
B.{(-1,0),0,0),(0,)}
B
C.{(-1,0),0,0),0,-1)}
D.{(1,0),(0,0),(0,-1)}
2.已知向量a=1,-2),=(3x2-1,),若a1b,则x等于
A1或
B.-
c.2或
D
1
3
3
32
2
3.已知ae(0,且满足osa=
sin 2a
则iana=
1+sina 1+cos2a
A.3
B.±V3
C.t
3
D
3
3
高三数学试卷第·1页共6页
4.已知函数f(x)=
Vx+1,-1<龙<0
2x,x≥0.
若实数a满足fa)=fa-.则f(
A.2
B.4
C.6
D.8
5.五一小长假期间，某旅游公司为助力大同旅游事业的发展，计划将2名金牌导游和5名
银牌导游分别派往云冈石窟、古城华严寺、北岳恒山三个景区承担义务讲解任务，要求
每个景区都要有银牌导游前往，则不同的分配方法种数有
A.360
B.640
C.1350
D.1440
么已加随数5coa似+n2mo0在区阿b闲内有表大a.但天
2
最小值，则 的取值范周是
7.等比数列{an}中，Sn为其前n项和，a1=1,且4a,2a2,a3成等差数列，则a(n∈N)
的最小值为
B.
4-9
16
.
D.1
25
&.已知实数a>0,且满足不等式log,(3a+2)>log(4a+1),若a-a'
A.x+y>0
B.x+y>1
C.x->0
D.x-y>l1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的阳个选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分
9.已知复数1,2，下列说法正确的是
A若z=22,则z2=z22
B.z122=z1朝z2
C.3-2≤2+z2
D.31+22≤z+22
高三数学试卷第2.页共6页
