绝密★启用前
白山市2023-2024学年高二下学期7月期末考试
数学
本卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（ ）
A. B. C. D.
2.调查某校高三学生的身高和体重得到如图所示散点图，其中身高和体重的相关系数，则下列说法正确的是（ ）
A.学生身高和体重没有相关性
B.学生身高和体重呈正相关
C.学生身高和体重呈负相关
D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8255
3.已知离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3
若，则（ ）
A.2 B.3 C.6 D.7
4.2024年中国足球乙级联赛陕西联合的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同的区域，五位球迷相约看球赛，则五人中有三人在同一区域的不同座位的方法共有（ ）
A.30种 B.60种 C.120种 D.240种
5.已知，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
7.6月16日，2024中国·吉林边境森林马拉松系列赛长白山站开赛，约3000名跑者穿行长白林海.甲 乙 丙 丁4名志愿者随机派往领奖台 赛后恢复区 赛道服务站三个区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域.表示事件“志愿者甲派往领奖台区域”；表示事件“志愿者乙派往领奖台区域”；表示事件“志愿者乙派往赛后恢复区域”，则（ ）
A.事件与相互独立 B.事件与为互斥事件
C. D.
8.已知函数，对任意，总有成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知二项式的展开式的项数为奇数，其中只有4项为有理项，则（ ）
A.
B.展开式中第4项的二项式系数最大
C.展开式中常数项为15
D.展开式中各项系数之和为64
10.暑假结束后，为了解假期中学生锻炼身体情况，学生处对所有在校学生做问卷调查，并随机抽取了180人的调查问卷，其中男生比女生少20人，并将调查结果绘制得到等高堆积条形图.已知，其中，，在被调查者中，下列说法正确的是（ ）
A.男生中不经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多
B.男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人多8人
C.经常锻炼者中男生的频率是不经常锻炼者中男全的频率的1.6倍左右
D.在犯错误的概率不大于0.01的条件下，可以认为假期是否经常锻炼与性别有关
11.若实数和正数满足，我们则称为一对关联数.已知满足方程的关联数有且仅有两对，则实数的值可为（ ）
A. B. C. D.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.甲袋中有5个白球 7个红球，乙袋中有4个白球 2个红球，从两个袋中任选一袋，从中任取一球，则取到的球是白球的概率为__________.
13.据统计，某外卖公司在市的3000名外卖员每人的月成交单数，其中有600人的月成交单数超1100单，则该市外卖员月成交单数在区间内的人数约为__________.
14.若函数与函数的图象存在公切线，则实数的取值范围为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文宇说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）某大学研究机构选择了网络游戏这一项目作为研究，来了解网络游戏对大学生的影响.该机构共在某高校发放50份问卷调查，有34名男同学，16名女同学参加了这次问卷调查活动，调查的结果如下图：
（1）完成下面的列联表，并依据的独立性检验，能否认为大学生喜欢玩网游与性别有关？
性别 元过网游 没元过网游 合计
男生
女生
合计
（2）视本次问卷中的频率为概率，在该校所有学生中任意抽查5名学生，记其中玩过网游的人数为，求.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16.（15分）已知函数在处的切线与直线垂直.
（1）求；
（2）求的极值.
17.（15分）某加盟连锁店总部对旗下600个加盟店中每个店的日销售额（单位：百元）进行了调查，如图是随机抽取的50个加盟店的日销售额的频率分布直方图.若将日销售额在的加盟店评定为“四星级”加盟店，日销售额在的加盟店评定为“五星级”加盟店.
（1）根据上述调查结果，估计这50个加盟店日销售额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结果精确到0.1）；
（2）若该加盟连锁店总部旗下所有加盟店的日销售额，其中近似为（1）中的样本平均数，根据的分布估计这600个加盟店中“五星级”加盟占的个数（结果精确到整数）；
（3）该加盟连锁店总部决定对样本中“四星级”及“五星级”加盟店进一步调研，现从这些加盟店中随机抽取3个，设为抽取的“五星级”加盟店的个数，求的概率分布列与数学期望.
（参考数据：若，则）
18.（17分）为更好探索有机农业的发展，返乡新农人小王在试验田按有机标准改良土壤，经过了三年置换期后，在2017年采用轮作等方式种植有机胡萝卜，并记录了2017-2023年这7年的有机胡夢卜的亩产量，得到数据如下表；
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码 1 2 3 4 5 6 7
亩产量/吨/亩） 0.4 0.5 0.8 1.1 1.5 1.7 0.2
（1）从这7年的有机胡夢卜的亩产数据中任取3年的数据，若至少有2年的亩产量不低于0.5吨/亩，求3年的亩产量都高于0.5吨/亩的概率；
（2）已知这7年间有一年由于天气原因，导致胡萝卜损失很大.若剔除天气因素导致的异常，经计算，与有线性关系，求该经验回归方程，并预测在排除气候因素影响的情况下，2025年小王的有机胡萝卜的亩产量.
附：.
19.（17分）已知函数.
（1）求的最小值；
（2）设函数，讨论零点的个数.
白山市2023-2024学年高二下学期7月期末考试
数学答案
1.C 【解析】由函数，可得，则，所以当时，该质点的瞬时速度为.
2.B 【解析】由散点图可知，散点的分布集中在一条直线附近，所以学生身高和体重具有相关性，A不正确；又身高和体重的相关系数为，相关系数，所以学生身高和体重呈正相关，B正确，C不正确；从样本中抽取一部分，相关性可能变强，也可能变弱，所以这部分的相关系数不一定是D不正确.
3.C 【解析】由题意知，由得，解得，故，故.
4.C 【解析】要使五人中有三人在同一区域，可以分成三步完成：第一步，先从五人中任选三人，有种方法；第二步，再选这三人所在的区域，有种方法；第三步，将另外两人从余下的两个区域里任选，有种方法.由分步乘法计数原理，共有种方法.
5.D 【解析】令，有，故A正确；是项的系数，，故B正确；令，有，所以，故C正确；对原等式两边同时求导，有，令，有，故D错误.
6.B 【解析】由题得，由题知在中，最大值只有，即在中，最大值只有，由二项式系数的对称性可知.
7.D 【解析】由题意易知分组情况为，即所有安排方案有种，领奖台区域可能安排2人或1人，所以域可能安排2人或1人，所以，同理，而，由相互独立事件的充要条件可知，事件与不相互独立，故A错误；显然，事件与能同时发生，不为互斥事件，故B错误；由条件概
率公式知，故错误；，故D正确.
8.C 【解析】依题意，，显然，则有，于是，令，求导得，当，即时，，函数在上单调递增，，即；当，即时，当时，，函数在上单调递减，，此时，不符合题意，所以实数的取值范围为.
9.BC 【解析】二项式的展开式中共有项，又为奇数，所以为偶数，故A错误；又展开式的通项为，由只有4项为有理项知，，所以，则展开式中第4项的二项式系数最大，故B正确；当时，展开式中常数项为，故C正确；对，令，得展开式中各项的系数之和为0，故D错误.
10.BCD 【解析】设男生人数为，则女生人数为，由题得，解得，即在被调查者中，男 女生人数为80，100，可得到如下列联表，
性别 锻炼情况 合计
经常锻炼 不经常锻炼
男 48 32 80
女 40 60 100
合计 88 92 180
由表可知，A显然错误，男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多B正确；在经常锻炼者中是男生的频率为，在不经常锻炼者中是男生的频率为C正确；零假设：假期是否经常锻炼与性别无关，则，根据小概率值的独立性
检验，我们推断不成立，即认为假期是否经常锻炼与性别有关，此推断犯错误概率不大于0.01，D正确.
11.BC 【解析】令，可知在上单调递增.由题得，则，所以，所以，所以方程为，令，所以，当时，单调递减；当时，单调递增，所以，又当时，，且，画出的大致图象如下：
由图可知若满足方程的有两个解，当且仅当，故选BC.
12. 【解析】设事件表示“选中甲袋”，表示“选中乙袋”，表示“取到的球是白球”，则，故.
13.1800 【解析】由题得，所以，所以该市外卖员月成交单数在区间内的人数约为.
14. 【解析】由题意得，所以，设公切线与曲线切于点，与曲线切于点，则，则，当时，，函数与的图象存在公切线，符合题意；当时，，即，故，令，则，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，故，故，综合得实数的取值范围为.
15.解：（1）由题意可得列联表如下.
性别 玩过网游 没玩过网游 合计
男生 22 12 34
女生 8 8 16
合计 30 20 50
零假设：大学生喜欢玩网游与性别无关，
则
根据的独立性检验可知，假设成立，所以大学生喜欢玩网游与性别无关.
（2）用频率估计概率，可知大学生玩过网游的概率为
由题意可知，玩过网游的人数
所以.
16.解：（1）由可得，
则.
因为切线与直线垂直，
所以，解得.
（2）由（1）知，
令得，或
当时，，
所以的单调递增区间为；
当时，，所以的单调递减区间为.
因此当时，取得极大值1；当时，取得极小值.
17.解：（1）由频率分布直方图得样本中日销售额为，
的频率分别为，
所以估计这50个加盟店日销售额的平均数为
（百元）.
（2）由（1）知.
因为，所以，
所以，
所以估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数为.
（3）“四星级”加盟店有
“五星级”加盟店有（个），
所以的所有可能取值为，
，
.
所以的概率分布列为
0 1 2 3
（13分）
所以.
18.（1）由表知，这7年的有机胡萝卜的亩产数据中，有5年的亩产量不低于0.5吨/亩，2年的亩产量低于0.5吨/亩，（1分）
记“这7年中任取3年，至少有2年的亩产量不低于0.5吨/亩”，“这7年中任取3年，3年的亩产量都高于0.5吨/亩”，
则
所以.
（2）由表可知，2023年的数据异常，剔除2023年的数据，
则剩余6年的数据中，
所以，
所以，
所以与的经验回归方程为.
当时，（吨/亩）.
所以在排除气候因素影响的情况下，预测2025年小王的有机胡夢卜的亩产量为2.54吨/亩.（17分）
19.解：（1）的定义域为，
则当时，；当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
因此的最小值为.
（2），且，
令，得，
令，则与有相同的零点，
且，
令，则，
因为当时，则，所以在区间上单调递增，
又，所以，使，
且当时，，即；当时，，即，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
因此的最小值为
由，得，即，
令，则在区间上单调递增，
因为，所以，则，
所以，即
所以的最小值，
所以当时，没有零点；
当时，有一个零点；
当时，因为，
当时，；当时，，
所以有两个零点.
综上，当时，的零点个数为0；
当时，的零点个数为1；
当时，的零点个数为2.
