2023-2024学年陕西省西安市莲湖区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）若a＜b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．﹣5+a＞﹣5+b B． C．c﹣a＜c﹣b D．ac2＞bc2
3．（3分）若将分式中的m，n的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍
C．不变 D．缩小为原来的
4．（3分）一个多边形的内角和比外角和大180°，则这个多边形的边数是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
5．（3分）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上．若PC＝2，OD＝5，则△POD的面积为（ ）
A．10 B．6 C．5 D．3
6．（3分）如图，上午8时，渔船从点A以25海里/时的速度向正西方向航行，上午10时到达点B．从点A测得灯塔C在南偏西30°方向上，距点A50海里．则点B到灯塔C的距离是（ ）
A．25海里 B．30海里 C．40海里 D．50海里
7．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．4a2﹣1＝（4a+1）（4a﹣1） B．﹣a2b+2ab＝﹣ab（a+2）
C．a2﹣6ab﹣9b2＝（a﹣3b）2 D．a2﹣8a+16＝（a﹣4）2
8．（3分）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上．若DE⊥AC，∠E＝38°，则∠B的度数为（ ）
A．64° B．65° C．68° D．72°
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）化简：＝ ．
10．（3分）因式分解：a2﹣16b2＝ ．
11．（3分）若点A（1﹣3m，2）与点B（5，2n+4）关于原点对称，则m﹣n＝ ．
12．（3分）若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是 ．
13．（3分）如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O，DE平分∠ADC，交AB于点E，连接CE，OE．若CE⊥DE，CD＝4，则OE的长是 ．
三、解答题（本大题共13小题，共81分.解答应写出过程）
14．（5分）解不等式．
15．（5分）因式分解：4xy3+4x2y2+y4．
16．（5分）解不等式组：．
17．（5分）解方程：．
18．（5分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D．若AC＝，CD＝5，BC＝13，求AB的长．
19．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AE∥BC，D是BC延长线上一点，连接ED．若∠B＝∠D，求证：AE＝CD．
20．（5分）先化简，再求值：，从0，1，2中选出合适的a的值，代入求值．
21．（6分）尺规作图，不写作法，保留作图痕迹：
（1）如图1，在△ABC的边BC上求作一点D，使得S△ABD＝S△ACD；
（2）如图2，在△ABC的边BC上求作一点E，使得点E到AB，AC的距离相等．
22．（7分）周末小雅一家准备自驾前往某景点游玩，她在导航上查到两条较短的路线：一是走国道，全程30千米，但因道路施工比较拥堵；二是走高速，全程40千米，平均速度是走国道的2倍，到达目的地的时间比走国道要早10分钟．求走国道到达该景点需要的时间．
23．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点（网格线的交点）上，每个小正方形网格的边长均为1．
（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C；
（2）将△A1B1C向右平移4个单位长度，作出平移后的△A2B2C1；
（3）在x轴上作一点P，使得PA1+PC1的值最小，其最小值为 ．
24．（8分）“观天下之大，方知一身之小；得万物之奥，皆因求思之深．”某校组织学生赴西安高校开展丰富多彩的研学活动．现有两家研学公司的研学内容、服务都相同，报价都是每人300元，但优惠方案不同：甲公司统一打九折；乙公司当人数少于500时，不打折，人数不少于500时，超过500的部分打八折．设甲、乙两家公司的费用分别为y甲，y乙，研学人数为x（x≥300）．
（1）请写出乙公司的费用y乙和研学人数x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）通过计算说明人数在什么范围内，学校选甲公司更合算．
25．（8分）阅读下列材料：
常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法彻底分解．如：“m2﹣mn+2m﹣2n”细心观察这个式子就会发现，前两项可以用提公因式法，后两项也可用提公因式法，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再用提公因式法就可以完成整个式子的因式分解了．过程：m2﹣mn+2m﹣2n＝（m2﹣mn）+（2m﹣2n）＝m（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m﹣n）（m+2）．将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题．
（1）因式分解：x3﹣3x2﹣4x+12．
（2）已知m+n＝7，m﹣n＝3，求m2﹣n2+2m﹣2n的值．
（3）若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2+ab+c2﹣bc＝2ac，判断△ABC的形状，并说明理由．
26．（10分）【问题提出】
（1）如图1，在△ABC中，AD⊥BC，∠B＝30°，若BD＝3，求AD的长．
【问题解决】
（2）为响应市政府“建设美丽城市，改善生活环境”的号召，某小区欲建造如图2所示的四边形ABCD休闲广场．已知∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝120°，AB＝AD＝40米，在对角线AC上有一个凉亭O，测得OC＝30米．按规划要求，需过凉亭O修建一条笔直的小路MN，使得点M，N分别在边BC，CD上，连接AM，AN，其中四边形AMCN为健身休闲区，其他区域为景观绿化区．按此要求修建的这个健身休闲区（四边形AMCN）是否存在最小面积？若存在，求出最小面积；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年陕西省西安市莲湖区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则A不符合题意；
B中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则B不符合题意；
C中图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，则C符合题意；
D中图形不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则D不符合题意；
故选：C．
2．（3分）若a＜b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．﹣5+a＞﹣5+b B． C．c﹣a＜c﹣b D．ac2＞bc2
【解答】解：∵a＜b，
∴﹣5+a＜﹣5+b，
∴选项A不符合题意；
∵a＜b，
∴＜，
∴选项B符合题意；
∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴c﹣a＞c﹣b，
∴选项C不符合题意；
∵a＜b，
∴①c≠0时，ac2＜bc2；②c＝0时，ac2＝bc2，
∴选项D不符合题意．
故选：B．
3．（3分）若将分式中的m，n的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍
C．不变 D．缩小为原来的
【解答】解：∵分式中的m，n的值都扩大为原来的2倍，mn扩大为原来的4倍，m+n扩大为原来的2倍，
∴若将分式中的m，n的值都扩大为原来的2倍，则分式的值扩大为原来的2倍．
故选：A．
4．（3分）一个多边形的内角和比外角和大180°，则这个多边形的边数是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【解答】解：设则这个多边形的边数是n，
由题意得：（n﹣2） 180°﹣360°＝180°，
∴n＝5，
故选：C．
5．（3分）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上．若PC＝2，OD＝5，则△POD的面积为（ ）
A．10 B．6 C．5 D．3
【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，PC＝2，
∴PE＝PC＝2，
∴S△POD＝OD PE＝×5×2＝5，
故选：C．
6．（3分）如图，上午8时，渔船从点A以25海里/时的速度向正西方向航行，上午10时到达点B．从点A测得灯塔C在南偏西30°方向上，距点A50海里．则点B到灯塔C的距离是（ ）
A．25海里 B．30海里 C．40海里 D．50海里
【解答】解：如图，连接BC，
据题意得，∠CAD＝30°，AB＝25×2＝50，
∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°，
∵AC＝50，
∴AB＝AC，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝50（海里）．
故选：D．
7．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．4a2﹣1＝（4a+1）（4a﹣1） B．﹣a2b+2ab＝﹣ab（a+2）
C．a2﹣6ab﹣9b2＝（a﹣3b）2 D．a2﹣8a+16＝（a﹣4）2
【解答】解：A.4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1），故本选项不符合题意；
B．﹣a2b+2ab＝﹣ab（a﹣2），故本选项不符合题意；
C．a2﹣6ab﹣9b2≠（a﹣3b）2，故本选项不符合题意；
D．a2﹣8a+16＝（a﹣4）2，故本选项符合题意；
故选：D．
8．（3分）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上．若DE⊥AC，∠E＝38°，则∠B的度数为（ ）
A．64° B．65° C．68° D．72°
【解答】解：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，
∴AB＝AD，∠EAC＝∠BAD，
∵DE⊥AC，
∴∠EAC＝90°﹣∠E＝90°﹣38°＝52°，
∴∠BAD＝52°，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝64°．
故选：A．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）化简：＝ ﹣ ．
【解答】解：＝＝﹣，
故答案为：﹣．
10．（3分）因式分解：a2﹣16b2＝ （a+4b）（a﹣4b） ．
【解答】解：原式＝（a+4b）（a﹣4b）．
故答案为：（a+4b）（a﹣4b）．
11．（3分）若点A（1﹣3m，2）与点B（5，2n+4）关于原点对称，则m﹣n＝ 5 ．
【解答】解：∵点A（1﹣3m，2）与点B（5，2n+4）关于原点对称，
∴1﹣3m+5＝0，2n+4+2＝0，
解得m＝2，n＝﹣3，
∴m﹣n＝2+3＝5．
故答案为：5．
12．（3分）若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是 a≥0 ．
【解答】解：，
解不等式①得：x≤0，
解不等式②得：x＞a，
∵关于x的一元一次不等式组无解，
∴a≥0，
故答案为：a≥0．
13．（3分）如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O，DE平分∠ADC，交AB于点E，连接CE，OE．若CE⊥DE，CD＝4，则OE的长是 1 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC，BD交于点O，
∴AB＝CD＝4，AB∥CD，AD＝BC，AD∥BC，AO＝CO，
∴∠AED＝∠CDE，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AE＝AD，
∵CE⊥DE，
∴∠CDE＝90°，
∴∠BEC+∠AED＝180°﹣∠CDE＝90°，∠BCE+∠ADE＝180°﹣（∠ECD+∠EDC）＝90°，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BE＝BC，
∴AE＝BE＝BC＝AB＝2，
∴OE＝BC＝1，
故答案为：1．
三、解答题（本大题共13小题，共81分.解答应写出过程）
14．（5分）解不等式．
【解答】解：∵≤1，
∴2（2x+1）﹣3（3x+2）≤6，
4x+2﹣9x﹣6≤6，
4x﹣9x≤6﹣2+6，
﹣5x≤10，
则x≥﹣2．
15．（5分）因式分解：4xy3+4x2y2+y4．
【解答】解：原式＝y2（4xy+4x2+y2）
＝y2（2x+y）2．
16．（5分）解不等式组：．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x＞﹣1，
∴原不等式组的解集为：x≥1．
17．（5分）解方程：．
【解答】解：原方程去分母得：10﹣20x+15＝1，
解得：x＝1.2，
检验：当x＝1.2时，5﹣10x≠0，
故原方程的解为x＝1.2．
18．（5分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D．若AC＝，CD＝5，BC＝13，求AB的长．
【解答】解：因为CD⊥AB，所以∠CDA＝∠CDB＝90°．
在Rt△ADC中，AD＝．
在Rt△BDC中，BD＝．
所以AB＝AD+BD＝3+12＝15．
19．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AE∥BC，D是BC延长线上一点，连接ED．若∠B＝∠D，求证：AE＝CD．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠B＝∠D，
∴∠ACB＝∠D，
∴AC∥DE，
又∵AE∥BC，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∴AE＝CD．
20．（5分）先化简，再求值：，从0，1，2中选出合适的a的值，代入求值．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
∵当a＝0或1时，原分式无意义，
∴a＝2，
当a＝2时，原式＝＝．
21．（6分）尺规作图，不写作法，保留作图痕迹：
（1）如图1，在△ABC的边BC上求作一点D，使得S△ABD＝S△ACD；
（2）如图2，在△ABC的边BC上求作一点E，使得点E到AB，AC的距离相等．
【解答】解：（1）如图1中，点D即为所求；
（2）如图2中，点E即为所求．
22．（7分）周末小雅一家准备自驾前往某景点游玩，她在导航上查到两条较短的路线：一是走国道，全程30千米，但因道路施工比较拥堵；二是走高速，全程40千米，平均速度是走国道的2倍，到达目的地的时间比走国道要早10分钟．求走国道到达该景点需要的时间．
【解答】解：设走国道到达该景点需要的时间为x小时，则走高速到达该景点需要的时间为（x﹣）小时，
由题意得：＝×2，
解得：x＝0.5，
经检验，x＝0.5是原方程的解，且符合题意，
答：走国道到达该景点需要的时间为0.5小时．
23．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点（网格线的交点）上，每个小正方形网格的边长均为1．
（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C；
（2）将△A1B1C向右平移4个单位长度，作出平移后的△A2B2C1；
（3）在x轴上作一点P，使得PA1+PC1的值最小，其最小值为 ．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C即为所求．
（2）如图，△A2B2C1即为所求．
（3）取点A1关于x轴的对称点A'，连接A'C1交x轴于点P，连接A1P，
此时PA1+PC1＝PA'+PC1＝A'C1，为最小值，
∴其最小值为＝．
故答案为：．
24．（8分）“观天下之大，方知一身之小；得万物之奥，皆因求思之深．”某校组织学生赴西安高校开展丰富多彩的研学活动．现有两家研学公司的研学内容、服务都相同，报价都是每人300元，但优惠方案不同：甲公司统一打九折；乙公司当人数少于500时，不打折，人数不少于500时，超过500的部分打八折．设甲、乙两家公司的费用分别为y甲，y乙，研学人数为x（x≥300）．
（1）请写出乙公司的费用y乙和研学人数x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）通过计算说明人数在什么范围内，学校选甲公司更合算．
【解答】解：（1）当300≤x＜500时，y乙＝300x；当x≥500时，y乙＝500×300+300×0.8（x﹣500）＝240x+30000，
∴y乙和x的函数关系式为y乙＝．
（2）根据题意，得y甲＝300×0.9x＝270x，
∴y甲与x的函数关系式为y甲＝270x（x≥300）．
y甲、y乙与x的函数图象如图所示：
当两图象相交时，得270x＝240x+30000，
解得x＝1000，
由图象可知，当300≤x＜1000时，y甲＜y乙，
∴当300≤x＜1000时，学校选甲公司更合算．
25．（8分）阅读下列材料：
常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法彻底分解．如：“m2﹣mn+2m﹣2n”细心观察这个式子就会发现，前两项可以用提公因式法，后两项也可用提公因式法，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再用提公因式法就可以完成整个式子的因式分解了．过程：m2﹣mn+2m﹣2n＝（m2﹣mn）+（2m﹣2n）＝m（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m﹣n）（m+2）．将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题．
（1）因式分解：x3﹣3x2﹣4x+12．
（2）已知m+n＝7，m﹣n＝3，求m2﹣n2+2m﹣2n的值．
（3）若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2+ab+c2﹣bc＝2ac，判断△ABC的形状，并说明理由．
【解答】解：（1）x3﹣3x2﹣4x+12
＝（x3﹣3x2）﹣（4x﹣12）
＝x2（x﹣3）﹣4（x﹣3）
＝（x2﹣4）（x﹣3）
＝（x+2）（x﹣2）（x﹣3）．
（2）进行因式分解，得：m2﹣n2+2m﹣2n＝（m2﹣n2）+（2m﹣2n）＝（m+n）（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m+n+2）（m﹣n），
将m+n＝7，m﹣n＝3代入，得：m2﹣n2+2m﹣2n＝（7+2）×3＝27．
（3）△ABC为等腰三角形，理由如下：
a2+ab+c2﹣bc＝2ac，
化简整理得，a2+ab+c2﹣bc﹣2ac＝0，
即（a2+c2﹣2ac）+（ab﹣bc）＝0，
（a﹣c）2+b（a﹣c）＝0，
（a﹣c）（a﹣c+b）＝0，
∵a、b、c为△ABC的三边长，
∴a﹣c+b≠0，
∴a﹣c＝0，即a＝c，
因此，△ABC为等腰三角形．
26．（10分）【问题提出】
（1）如图1，在△ABC中，AD⊥BC，∠B＝30°，若BD＝3，求AD的长．
【问题解决】
（2）为响应市政府“建设美丽城市，改善生活环境”的号召，某小区欲建造如图2所示的四边形ABCD休闲广场．已知∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝120°，AB＝AD＝40米，在对角线AC上有一个凉亭O，测得OC＝30米．按规划要求，需过凉亭O修建一条笔直的小路MN，使得点M，N分别在边BC，CD上，连接AM，AN，其中四边形AMCN为健身休闲区，其他区域为景观绿化区．按此要求修建的这个健身休闲区（四边形AMCN）是否存在最小面积？若存在，求出最小面积；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴△ABD为直角三角形，
∵∠B＝30°，BD＝3，
∴AD＝BD tan30°＝3×＝，
∴AD的长为；
（2）∵∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，АС＝АС，
∴△ABC≌△ACD （HL），
∵∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝∠DAC＝60°，∠ACB＝∠ACD＝30°，AC＝2AB＝80米，
∵OC＝30米，
∴AO＝80﹣30＝50（米），
S四边形AMCN＝S△ACM+S△ACN＝AC MH+AC NG＝AC×（MH+NG），
∵MH+NG≤MN，
∴当MO⊥AC，NO⊥AC时，MO和NO最小，S四边形AMCN最小，
此时，OM＝ON＝OC tan30°＝30×＝10（m），
∴S四边形AMCN＝S△ACM+S△ACN＝AC MH+AC NG＝AC×（MH+NG）＝×80×（10+10）＝800，
∴存在最小面积，四边形AMCN最小面积为800平方米．
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