本溪市2023～2024学年下学期期末考试
七年级数学试卷
（本试卷共23道题 满分100分 考试时长100分钟）
考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效
第一部分选择题（共20分）
一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们即使身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽己所能实现人生价值，袁枚所写的苔花的花粉直径约为0.000085米，则数据0.000085用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．“致中和，天地位焉，万物育焉，”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称美惊艳了千年的时光．以下四幅剪纸作品中，其图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．将油滴入水中，油会浮在水面上 B．任意买一张电影票，座位号是2的倍数
C．早上的太阳从西方升起 D．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
5．若，则的值为（ ）
A．9 B．－9 C．6 D．－6
6．如图，在等腰中，顶角，过点作的平行线，则的度数为（ ）
第6题图
A． B． C． D．
7．如图，要把水渠中的水引到点，则过点作，垂足为点，在点处开沟能使沟最短．能正确解释这一现象的数学依据是（ ）
第7题图
A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
8．下面是小轩同学完成的作业，他做对的题数是（ ）
判断题（正确的打“√”，错误的打“×”） ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行（√ ） ②同位角相等，两直线平行（ √ ） ③平行于同一条直线的两直线平行（ √ ） ④等腰三角形是轴对称图形（ √ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．五一郊游，小馨爸爸驾车行驶路程与时间的关系如图，则下列说法正确的是（ ）
第9题图
A．时速度越来越快，时速度减慢 B．时速度越来越快，时速度与原来持平
C．时速度越来越快，时速度为0 D．时速度保持不变，时速度为0
10．如图，点是三条角平分线的交点，的面积记为的面积记为的面积记为，关于之间的大小关系，正确的是（ ）
第10题图
A． B． C． D．
第二部分非选择题（共80分）
二、填空题（本题共5小题，每小题2分，共10分）
11．等腰三角形的周长为，若三角形的底边长为，腰长为，则与之间的关系式______．
12．一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区城的概率是______．
第12题图
13．在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球若干，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000
摸到白球的次数m 59 116 186 290 480 602
摸到白球的频率 0.59 0.58 0.62 0.58 0.60 0.602
任意摸出一个球，则“摸到白球”的概率约是______（结果精确到0.1）．
14．如图，等腰中，，面积为24．点在边上，点在边上，且垂直平分，点是边的中点，点在线段上移动，连接，，则的周长的最小值为______．
第14题图
15．如图，点在直线上，过点分别引两条射线，且，，将射线绕点顺时针旋转一周，在旋转过程中，当射线与射线所在的直线互相垂直时，射线旋转的度数是______．
第15题图
三、解答题（本题满分22分）
16．计算（第1小题4分，第2小题4分，第3小题8分，共16分）
（1） （2）
（3）先化简，再求值：其中
17．综合实践（本题满分6分）
某学校综合实践活动小组要测池塘两端A，B的距离，小华同学设计出如下方案：
由如图，先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使CD=CA，连接BC并延长到点E，使CE=CB，连接DE，量出DE的长即为A，B的距离．
你认为小华同学设计的方案是否可行？请说明理由．
第17题图
四、解答题（本题满分6分）
18．如图，，．判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
第18题图
五、解答题（第19题满分10分，第20题满分6分，共16分）
19．数学活动
【知识生成】
我国著名的数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．图1是一个边长为的正方形，从整体来看，它的面积可以表示为，分块来看，这个正方形有四块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为的长方形有2块，因此，该正方形的面积还可以表示为，这两种方法都是求同一个正方形的面积，于是得到．
图1 图2
【直接应用】
（1）已知：，求的值；
【解决问题】
（2）如图2，四边形是长方形，分别以为边向两边作正方形和正方形，若，两正方形的面积和为54，求长方形的面积；
【知识迁移】
（3）若，求的值．
20．尺规作图：
如图，线段和一副三角尺，其中．
求作：以线段为一条边作，使得．（要求：保留作图痕迹，不写作法）
第20题图
六、解答题（满分8分）
21．当弹簧受到重力的作用时会伸长，某学习小组用实验的方式研究了一个弹簧的长度与所挂物体重量之间的关系，并对每组数据进行了记录：
物体的重量x/kg 0 2 4 6 8 10 …
弹簧的长度y/cm 5 9 13 17 21 25 …
（1）直接写出与的关系式；并指出所挂物体重量每增加，弹簧长度如何变化？
（2）求出所挂物体重量为时，弹簧的长度；
（3）这根弹簧的弹性限度（即弹簧最长可以被拉长到的长度，超过这个长度，弹簧将失去弹性）为，则在弹性限度之内，该弹簧最多可以挂多重的物体？
第21题图
七、解答题（满分8分）
22．【阅读与思考】
下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：
对于依次排列的多项式是常数），当他们满足
，且是常数时，则称是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．
例：对于多项式来说
2，1，6，5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子．
【任务一】
（1）已知5，6，7，8是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子的值；
【任务二】
（2）若2，4，是一组平衡数，求的值；
【问题解决】
（3）当之间满足怎样的数量关系时，他们是一组平衡数？写出他们之间淋的关系，并说明理由．
八、解答题（满分10分）
23．新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形．
【初步尝试】
（1）如图1，在△ABC中，AB>AC，BC=4，P为边BC上一点，若△ABP与△ACP是积等三角形，求BP的长；
【理解运用】
（2）如图2，△ABD与△ACD为积等三角形，若AB=2，AC=4，且线段AD的长度为正整数，求AD的长．
【综合应用】
（3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由．
图1 图2 图3
本溪市2023~2024学年下学期期末考试参考答案
一、选择题（每题2分，共20分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B A A B D C D C
二、填空题（本题共5小题，每小题2分，共10分）
11．； 12．； 13．0.6； 14．10 15．或
三、解答题（本题满分22分）
16．计算（第1小题4分，第2小题4分，第3小题8分，共16分）
（1）；
（2）；
（3）先化简，再求值：其中．
解：
当时，
原式
17．综合实践（本题满分6分）
解：小华同学的方案可行
证明：在和中，
小华同学的方案可行．
四、解答题（本题满分6分）
18．如图，．判断与的位置关系并说明理由．
解：
证明：，
五、解答题（第19题满分10分，第20题满分6分，共16分）
19．解：（1），
（2）设正方形的边长为，正方形的边长为，则，，
．
（3）设，则，
20．尺规作图：
结论：即为所求．
六、解答题（满分8分）
21．解：（1）与的关系式为：；
所挂物体重量每增加，弹簧长度就伸长；
（2）当时，，
答：弹簧的长度为；
（5）令，则，
答：在弹性限度之内，该弹簧最多可以挂重的物体．
七、解答题（满分8分）
22．解：（1）
（2）是一组平衡数，
的结果为常数，
（3）．
证明：是平衡数，
结果为常数，
结果为常数，
八、解答题（满分10分）
23．（1）解：过点作于，
与是积等三角形
（2）解：如图2，延长至，使，连接，
与为积等三角形，
在和中，
在中
为正整数，
（3）是积等三角形
证明：如图3，过点作于点，
在和中，
与为积等三角形．
