专题17 全等三角形
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命题意图 全等三角形的判定和性质是初中数学融入到几何问题中的较为重要的一个知识点，主要是为了考查学生对全等的概念以及性质判定的应用熟悉度． 考向分析 中考频度：★★★☆☆ 难度系数：★★★★☆ 考查全等三角形有关的概念，全等三角形的判定和性质．考查利用辅助线解决几何问题． 答题技巧 1．全等形： （1）判断两个图形是不是全等形的方法：可以通过平移、翻折、旋转等方法，将两个图形叠合在一起观察是否完全重台，有时还可以借助于网格背景来观察比较． （2）全等形的形状相同，大小相等． 两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关． （3）判断两个图形是不是全等形的方法：把两个图形叠合在一起，看是否能够完全重合． 2．寻找全等三角形对应边、对应角的三种方法： （1）图形特征法： 最长边对最长边，最短边对最短边； 最大角对最大角，最小角对最小角． （2）位置关系法： ①公共角（对顶角）为对应角、公共边为对应边． ②对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角． （3）字母顺序法： 根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角． 3．根据对应顶点的字母写在对应位置上准确确定出全等三角形的对应边和对应角是解题关键． 4．全等三角形的性质 （1）全等三角形性质的应用：可用来证明两条线段相等，两个角相等． （2）平移、折叠、旋转属于全等变换，都能产生全等图形，利用全等的性质得到对应边相等、对应角相等解决问题． 5．判定两个三角形全等常用的思路方法如下： 6．找等角的常用方法证三角形全等时，常见的隐含等角有 （1）公共角； （2）对顶角相等； （3）等角加（或减）等角仍得等角； （4）角平分线得两等角； （5）同角（或等角）的余角或补角相等； （6）平行线得同位角、内错角相等； （7）垂直定义得两角相等； （8）一些自然规律：“太阳光线可以看作是平行线”“光的入射角等于反射角”等也是常见的隐含条件．
知识盘点
1．全等三角形概念
两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．
表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”．书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上．
全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换．
变换方式（常见）：平移、翻折、旋转．
全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等．
2．全等三角形的判定
（1）有三边对应相等的两个三角形全等，简记为（SSS）；
（2）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为（SAS）；
（3）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为（ASA）；
（4）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为（AAS）；
（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为（HL）．
3．全等三角形的性质
全等三角形的对应边、对应角分别相等．
【母题来源】（2024 宜宾）
【母题再现】 如图，在中，，，以为边作，，点与点在的两侧，则的最大值为 A． B． C．5 D．8 【答案】 【分析】由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解． 【解答】解：如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，， ，， ， ， ， 又，， ， ， 在中，， 当，，三点共线时，有最大值， 的最大值， 故选：．
【母题来源】（2024 成都）
【母题再现】 如图，，若，，则的度数为 ． 【答案】． 【分析】由，得，故． 【解答】解：， ， ， ， 故答案为：．
【母题来源】（2024 临夏州）
【母题再现】 如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与全等，点的坐标是 ． 【答案】． 【分析】根据点在第一象限（不与点重合），且与全等，得到，得到，，画出图形，利用数形结合的思想求解即可． 【解答】解：点在第一象限（不与点重合），且 与 全等， ， ，，如图所示： 由图可知：； 故答案为：．
【母题来源】（2024 遂宁）
【母题再现】 在等边三边上分别取点、、，使得，连结三点得到，易得，设，则． 如图①当时，； 如图②当时，； 如图③当时，； 直接写出，当时， ． 【答案】． 【分析】探究规律，利用规律解决问题． 【解答】解：如图①当时，； 如图②当时，； 如图③当时，； 当时，； 故当时，．
【母题来源】（2024 乐山）
【母题再现】 如图，是的平分线，，求证：． 【答案】见解答过程． 【分析】由角平分线的定义可得，利用可判定，从而可求得． 【解答】证明：是的平分线， ， 在和中， ， ， ．
【母题来源】（2024 内江）
【母题再现】 如图，点、、、在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）答案见解答过程； （2）． 【分析】（1）先根据得，由此可依据“”判定和全等； （2）由得，进而根据三角形内角和定理可得的度数． 【解答】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：，， 由（1）可知：， ， ．
【母题来源】（2024 云南）
【母题再现】 如图，在和中，，，．求证：． 【答案】见解析． 【分析】先根据题意得出，再由定理即可得出结论． 【解答】证明：， ，即， 在与中， ， ．
【母题来源】（2024 南充）
【母题再现】 如图，在中，点为边的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，求证：． 【答案】（1）答案见解答过程； （2）答案见解答过程． 【分析】（1）根据线段中点定义得，再根据得，，由此即可得出结论； （2）根据点为的中点，得直线为线段的垂直平分线，则，再由（1）得，则，据此即可得出结论． 【解答】（1）证明：点为的中点， ， ， ，， 在和中， ， ； （2）证明：点为的中点，， 直线为线段的垂直平分线， ， 由（1）可知：， ， ．
【母题来源】（2024 宜宾）
【母题再现】 如图，点、分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点．求证：． 【答案】答案见解答过程． 【分析】根据等边三角形的性质得，，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【解答】证明：为等边三角形， ，， 在和中， ， ， ．
【母题来源】（2024 吉林）
【母题再现】 如图，在 ABCD中，点O是AB的中点，连接CO并延长，交DA的延长线于点E．求证：AE＝BC． 【答案】见解析． 【分析】根据AAS证明△AOE≌△BOC即可得出结论． 【解答】证明：∵点O是AB的中点， ∴AO＝OB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠E＝∠BCO， 又∠AOE＝∠BOC， ∴△AOE≌△BOC（AAS）， ∴AE＝BC．
1．（2024 河口区校级模拟）如图，在中，，，垂足分别为、，、交于点，已知，，则的长是
A．4 B．5 C．1 D．2
2．（2024 离石区模拟）如图，用两对全等的三角形纸片拼成如图所示的六边形，，，则
A． B． C． D．
3．（2024 濠江区二模）如图，已知△，，，则的度数是
A． B． C． D．
4．（2024 黑龙江模拟）如图，点，，，在一条直线上，，，请添加一个条件 ，使（填一个即可）．
5．（2024 郫都区模拟）要测量河岸相对两点，的距离，已知垂直于河岸，先在上取两点，，使，再过点作的垂线段，使点，，在一条直线上，如图，测出米，则的长是 米．
6．（2024 铁东区校级模拟）将和如图放置．已知，，，求证：．
7．（2024 长沙一模）如图，，，点在边上，，和相交于点
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
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1．【答案】
【分析】由垂直于，垂直于，利用垂直的定义得到一对角为直角，再由一对对顶角相等，利用三角形的内角和定理得到一对角相等，再由一对直角相等，以及一对边相等，利用得到三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，由，即即可求出的长．
【解答】解：，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
则．
故选：．
2．【答案】
【分析】根据全等三角形的性质以及六边形的内角和，即可求解．
【解答】解：，，，
，，，，，，
，
，
六边形的内角和为，
，
故选：．
3．【答案】
【分析】根据全等三角形的性质可得，，进而可得，然后根据平行线的性质求出，即可求解．
【解答】解：△，，
，，
，
，
，
；
故选：．
4．【答案】（答案不唯一）．
【分析】根据全等三角形的判定定理解答即可．
【解答】解：添加．
，
，
，
，即，
在与中，
，
，
故答案为：（答案不唯一）．
5．
【分析】由、均垂直于，即可得出，结合、即可证出，由此即可得出，此题得解．
【解答】解：，，
，
在和中，，
，
．
故答案为：20．
6．【答案】见解答．
【分析】先根据等角的补角相等得到，再根据平行线的性质得到，，所以，然后利用“”可判断．
【解答】证明：，，
，
，
，，
，
在和中，
，
．
7．
【分析】（1）根据全等三角形的判定即可判断；
（2）由（1）可知：，，根据等腰三角形的性质即可知的度数，从而可求出的度数；
【解答】（1）证明：和相交于点，
．
在和中，
，．
又，
，
．
在和中，
，
．
（2），
，．
在中，
，，
，
．
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