顺义区2023—2024学年第二学期期末质量检测
高二数学参考答案
一、选择题
ACBCD BBACC
二、填空题
11. 12.8, 13. 3 14. 15. -2,
三、解答题
(16)（本小题13分）
解：（Ⅰ）的展开式中，各项的系数之和为729，
令，得， --------------------------4分
解得. --------------------------6分
（Ⅱ）的展开式的通项为， --------8分
若存在含的项，则， --------10分
解得. --------12分
所以展开式中存在含的项，此项为. --------13分
(17)（本小题13分）
解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q,
∵数列是等比数列，且,
∴ , -------------------------------------------------------------------1分
∴ , --------------------------------------------------------------------2分
∴==2 . （或） --------------2分
又∵=8,
∴ , -------------------------------------------------------------------------------4分
∴--------------------------------------------------------5分
∴ -----------------------------------------------------------------6分
∴----------------------------------------------7分
是常数.
∴数列是等差数列， 首项 ,公差-----------------------------8分
（Ⅱ）（法一）
∵ , -------------------------------------------------10分
∴对称轴 , ----------------------------------------------------------------------------11分
∴时，最大，最大值为6.---------------------------------------------------------13分
（法二） ∵ ,
∴数列是递减数列. -------------------------------------------------------------9分
又由，可知： 当时， ;
当时， ;
当时， ;
-------------------------------------------------------------11分
∴.
∴时，最大 . --------------------------------------------12分
∵，
∴的最大值为6 . --------------------------------------------13分
(18)（本小题14分）
解:（Ⅰ）
∵,
∴. ————————————————————2分
. ————————————————————————4分
∴ f (x)在(0，f (0))处的切线方程为，即.———--————5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知.
令，可得或.
—————————————————————7分
当变化时，与的变化情况如下表所示.
x 0 1
- 0 +
f (x) 1 单调递减 极小值 单调递增 a+2
——————————————9分
∴在上单调递减，在上单调递增.
———————————10分
当，即时，. ———————————12分
当，即时，. ——————————14分
所以当时，的最大值为1；当时，的最大值为.
19.（本小题15分）
解：（Ⅰ）样本中学生在A餐厅用早餐的频率为，据此估计该学校2000名学生每日在A餐厅用早餐的人数为：. -------------------4分
（Ⅱ）从该学校用午餐的学生中随机抽取人，由样本的频率估计该学生在A餐厅用餐的概率. ---------------------------------------------------5分
的可能取值为,～.-----------------------------------6分
；
；
；
. ----------------------------------------10分
的分布列为
. -------------------------------------------12分
（Ⅲ）此问3分，结论和理由不唯一，阅卷时结合给出的理由酌情给分.
设事件为“随机抽查人，有人在B餐厅用晚餐”. 假设在B餐厅用晚餐的人数较上个星期没有变化，由样本估计从在学校用晚餐的学生中随机抽查1人，此人在B餐厅用晚餐的概率为.由上个星期的样本数据估计，
示例答案1:可以认为发生了变化.理由如下：
事件是一个小概率事件，一般认为小概率事件在一次随机试验中不易发生，如果发生了，可以认为在B餐厅用晚餐的人数较上个星期发生了变化；
示例答案2：无法确定有没有变化.理由如下：
比较小，一般不容易发生，随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，事件也是有可能发生的，所以无法确定有没有变化；
示例答案3：无法确定有没有变化.理由如下：
抽查的人数少，样本容量太小，可能抽到的大部分是在A餐厅用餐的学生（抽到了极端情形），所以抽查结果可能无法准确反映在两个餐厅的实际用餐人数.
-------------------------------------------15分
(20)（本小题15分）
解：（Ⅰ）若，
则，. ——————————————1分
所以，则 . ——————————————2分
令，即，解得;
令，即，解得.
所以在上单调递增，在 上单调递减 . ——————————4分
（Ⅱ）（ⅰ）法一：因为，所以.
易知在上单调递减，.——————————————6分
当即时，，在上单调递减，
因为，所以，所以在上单调递减，
所以无极值.—————————————————————————————7分
当即时，
由可得.
当变化时，与的变化情况如下表所示.
x (0,ln(2a)) ln(2a) (ln(2a),+∞)
h’(x) + 0
h(x) 单调递增 极大值 单调递减
∴在上单调递增，在上单调递减.
当时，有极大值
.—————————————————8分
①当即时，
，在上单调递减.
所以无极值.—————————————————————————————9分
②当即时，
因为，所以在上有且只有一个零点，记为.
当变化时，与的变化情况如下表所示.
x (0,x0) x0 (x0,ln(2a))
0 +
f (x) 单调递减 极小值 单调递增
所以，当时，有极小值.—————————————————————11分
（ⅰ）法二：
.
令，则———————————6分
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
———————————————————————7分
①当，即时，
在上单调递减，
所以无极值.—————————————————————————————8分
②当，即时，
当且时，.
又，使. ———————9分
所以当时，即 在上单调递减.
当时，即在上单调递增.
当时，有极小值.
有极小值时，的取值范围是.———————————————11分
（ⅱ）.
. ———————————————————————12分
. —————————————————————13分
,. ———————————————14分
———————————————————————————————15分
(21)（本小题15分）
解答：（Ⅰ）所能取到的最大值是3，所能取到的最小值是-3； —————4分
（Ⅱ）用反证法，假设任意，. —————5分
设是中最后一个小于零的项（由可知这样的项存在），并且由可知.
由，可知是整数列，
从而，所以，与矛盾.
所以假设不成立，从而存在，使得； ————— 9分
（Ⅲ）令，则.
因为，,…,，
所以
根据可知，注意到，并且中1与-1的个数相等.
当 时，
等号取到当且仅当.
当 时，
等号取到当且仅当.
综上所述，所能取到的最大值是
—————15分
（注：第三问，奇数偶数结果各占1分，证明过程各占2分.）顺义区2023-2024学年度第二学期期末质量监测
高二数学试卷
考 生 须 知 1.本试卷总分150分，考试时间120分钟. 2.本试卷共5页，分为选择题（40分）和非选择题（110分）两个部分. 3.试卷所有答案必须填涂或写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 4.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自己保留.
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）
(1)函数的零点是
（A） （B） （C）10 （D）
(2) 的值为
(A) (B) (C) (D)
(3)下列函数中，在上为减函数的是
（A） (B)
(C) (D)
(4) 已知等差数列前项和为，，，则的值为
（A） （B） （C） （D）
(5) 函数的导数为
（A） （B）
（C） （D）
(6) 下列函数中，图象不存在与轴平行的切线的是
(A) (B) (C) (D)
(7) 2016年11月30日，中国的“二十四节气”被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.二十四节气不仅是一种时间体系，更是一套具有丰富内涵的生活与民俗系统.《传统廿四节气歌》中的“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，每一句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的个节气.某个小组在参加“跟着节气去探究”综合实践活动时，要从个节气中选择个节气，且个节气不在同一个季节，那么不同的选法有
(A)60种 (B)种 (C)276种 (D)432种
(8) 若奇函数的定义域为在上的图象如图所示，
则不等式的解集是
（A）
（B）
（C）
（D）
(9) 碳14是透过宇宙射线撞击空气中的氮14原子所产生.碳14原子经过β衰变转变为氮原子. 由于其半衰期达5730年，经常用于考古年代鉴定.半衰期（Half-life）是指放射性元素的原子核有半数发生衰变时所需要的时间.对北京人遗址中某块化石鉴定时，碳14含量约为原来的1%，则这块化石距今约为(参考数据：)
(A)40万年 (B)20万年 (C)4万年 (D)2万年
（10）对于数列，若存在，使得对任意，有，则称为“有界变差数列”．给出以下四个结论：
① 若等差数列为“有界变差数列”，则的公差等于0；
② 若各项均为正数的等比数列为“有界变差数列”，则其公比q的取值范围是；
③ 若数列是“有界变差数列”，满足，则是“有界变差数列”；
④ 若数列是“有界变差数列”，满足，则是“有界变差数列”；
其中所有正确结论的个数是
(A)1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡上.）
（11）函数的定义域为 .
（12）已知各项均为正数的等比数列，，，则 ;
前项积 的最小值为 ．
（13）已知随机变量取所有值是等可能的，且，则___________.
（14）顺义石门农副产品批发市场是北京市重要的农产品集散地之一，该市场每天要对进场销售的蔬菜进行无公害检测.来自A，B，C三个产区的土豆在某天的进场数量（单位：吨）如下表：
产区 A B C
进场数量
工作人员用分层随机抽样的方法从进场销售的土豆中共抽取个进行了农药残留量检测(忽略土豆的个体大小差异)，再从这个土豆中随机抽取个进行重金属残留量检测，则来自A产区的土豆被抽到的概率为____________.
（15）已知函数
①当时，函数的最小值是 ；
②若函数无最小值，则实数的取值范围是 ．
三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
(16)(本小题13分）
已知的展开式中，各项的系数之和为729.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）判断展开式中是否存在含的项，若存在，求出该项；若不存在，说明理由.
(17)（本小题 13分）
已知各项均为正数的等比数列满足=8，，设.
（Ⅰ）证明：数列是等差数列；
（Ⅱ）记数列的前项和为，求的最大值．
(18)（本小题14分）
已知函数f (x)=x3+ax2+1.
（Ⅰ）求在点(0，f (0))处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求f (x)在区间[0,1]上的最大值.
(19)（本小题 15分）
某学校有A，B两个学生餐厅.在“厉行节约、反对浪费”主题宣传月活动中，为帮助餐厅把握每日每餐的用餐人数，科学备餐，该校学生会从全校随机抽取了名学生作为样本，收集他们在某日的就餐信息，经过整理得到如下数据：
早餐 午餐 晚餐
A餐厅 人 人 人
B餐厅 人 人 人
不在学校用餐 人 人 人
用频率估计概率，且学生对餐厅的选择相互独立，每日用餐总人数相对稳定.
（Ⅰ）若该学校共有名学生，估计每日在A餐厅用早餐的人数；
（Ⅱ）从该学校每日用午餐的学生中随机抽取人，设表示这人中在A餐厅用餐的人数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）一个星期后，从在学校每日用晚餐的学生中随机抽查了人，发现在B餐厅用晚餐的有人.根据抽查结果，能否认为在B餐厅用晚餐的人数较上个星期发生了变化？说明理由．
(20)（本小题15分）
已知函数，设.
（Ⅰ）若，求的单调区间；
（Ⅱ）若在区间上存在极小值m，
（ⅰ） 求的取值范围；
（ⅱ）证明：．
(21)（本小题15分）
若数列 满足，则称为数列．
记.
（Ⅰ）若数列满足，直接写出所能取到的最大值和最小值；
（Ⅱ）若数列满足，求证：存在，使得；
（Ⅲ）若数列满足，求所能取到的最大值（结果用含的代数式表示）.
