专题13 反比例函数及应用
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命题意图 考查反比例函数的概念，根据已知条件确定反比例函数的解析式，考查反比例函数的图象和性质，考查用反比例函数解决某些实际问题，以及反比例函数综合．考查阅读理解能力和运算求解能力． 考向分析 中考频度：★★★★☆ 难度系数：★★★★★ 考查反比例函数的概念，反比例函数的图象和性质，反比例函数的应用，反比例函数与其他函数结合，考查反比例函数综合时通常难度较大． 答题技巧 1．反比例函数与矩形面积 在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 2．待定系数法求反比例函数解析式 （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． 3．反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．
知识盘点
1．反比例函数的定义：
如果两个变量x，y之间的关系可以表示成（k为常数，且k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数．
2．反比例函数图象的特征：
反比例函数的图象是一条双曲线，它关于坐标原点成中心对称，两个分支在第一、三象限（k>0时）或第二、四象限（k<0时）．
3．反比例函数的图象和性质：
（1）当k>0时，，在每个象限内，y随x增大而减小；
（2）当k<0时，，在每个象限内，y随x增大而增大．
4．反比例函数（k≠0）系数k的几何意义：
从反比例函数（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．常见模型如图：
【母题来源】（2024 广西）
【母题再现】 已知点，，，在反比例函数的图象上，若，则有 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据反比例函数所在的象限即可判断． 【解答】解：， 反比例函数的图象在一、三象限， ， ， 故选：．
【母题来源】（2024 天津）
【母题再现】 若点，，，，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据值确定反比例函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，据此解答即可． 【解答】解：， 反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， 点，，，，，都在反比例函数的图象上， 点，分布在第三象限，，，，分布在第一象限，且， ，， ， 故选：．
【母题来源】（2024 新疆）
【母题再现】 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：①点与点关于原点对称；②点是的中点；③在的图象上任取点，和点，，如果，那么；④．其中正确结论的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】根据反比例函数图象的中心对称性质及反比例函数的性质逐项分析解答即可． 【解答】解：如图，作轴，垂足为， ①根据反比例函数图象关于原点成中心对称图形，故选项正确； ②点与点关于原点对称， ， 在和中， ， ， ， 轴， ， ， ， 是的中点， 是的中位线，故选项正确； ③在每个象限内，随的增大而减小，故选项错误； ④，故正确； 其中正确结论的是①②④，共3个． 故选：．
【母题来源】（2024 安徽）
【母题再现】 已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则的值为 A． B． C．1 D．3 【答案】 【分析】将代入一次函数中，求得，再将代入反比例函数中，求得的值． 【解答】解：将代入中， 得：， 将代入中， 得：， 故选：．
【母题来源】（2024 苏州）
【母题再现】 如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，则的值为 A． B． C． D． 【答案】 【分析】作轴，轴，可证明，利用面积比等于相似比的平方解答即可． 【解答】解：作轴，垂足为，轴，垂足为， 点在函数图象上，点在反比例函数图象上， ，， ， ，， ， ， ． 故选：．
【母题来源】（2024 宜宾）
【母题再现】 如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点、及的中点，轴，与轴交于点．则的值为 A． B． C． D． 【答案】 【分析】作辅助线如图，利用函数表达式设出、两点的坐标，利用，是中点，找到坐标之间的关系，利用平行线分线段成比例定理即可求得结果． 【解答】解：作过作的垂线垂足为，与轴交于点，如图， 在等腰三角形中，，是中点， 设，， 由中点为，， 在等腰三角形中， ， ， 的中点为， ，即， 由在反比例函数上得， ， 解得：， 由题可知，， ， 故选：．
【母题来源】（2024 深圳）
【母题再现】 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点落在反比例函数上，点落在反比例函数上，则 ． 【答案】8． 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，由可设，则，根据点落在反比例函数上得出的值，再由勾股定理求出的长，根据菱形的性质可得出点坐标，进而得出结论． 【解答】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， 设，则， 点落在反比例函数上， ， 解得（负值舍去）， ，， ，， ， 四边形为菱形， ， ，，即， 点落在反比例函数上， ， 故答案为：8．
【母题来源】（2024 广州）
【母题再现】 如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为，交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④ 其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号） 【答案】①②③． 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征判断①，根据反比例函数值几何意义判断②，根据平移性质判断③④即可． 【解答】解：①，， ， 矩形的顶点在函数的图象上， ，故①正确； ②点、点在函数的图象上， ， ， 梯形，故②正确； ③当点在的中点处时，此时是正方形，，的最小值是；故③正确； ④在线段从左向右平移过程中越来越大，而越来越小，故不成立． 故正确的结论有①②③． 故答案为：①②③．
【母题来源】（2024 齐齐哈尔）
【母题再现】 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 ． 【答案】． 【分析】延长交轴于点，根据平行四边形面积可求出，继而可得点坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出值即可． 【解答】解：如图，延长交轴于点， ，， ， 是平行四边形， ， ， ， 点在反比例函数图象上， ． 故答案为：．
【母题来源】（2024 扬州）
【母题再现】 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，轴于点，，将沿翻折，若点的对应点落在该反比例函数的图象上，则的值为 ． 【答案】． 【分析】作轴，垂足为，利用对称性质和解直角三角形解答即可得到结果． 【解答】解：设点坐标为，则， ， ， 由对称可知：，， ， 作轴，垂足为， ，， ，， 点在反比例函数图象上， ①， 在中，， ，即②， 由①②解得． 故答案为：．
【母题来源】（2024 泰安）
【母题再现】 直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点． （1）求直线的表达式； （2）若，请直接写出满足条件的的取值范围； （3）过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积． 【答案】（1）一次函数表达式为；（2）或；（3）． 【分析】（1）分别将点、点代入中，求出、的值，再分别代入中，即可得出答案； （2）数形结合即可得出答案； （3）把代入中，求出点的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出答案． 【解答】解：（1）分别将点、点代入中， 即，， 解得：，， 点坐标为，点坐标为， 把点坐标，点坐标分别代入， 即 一次函数表达式为． （2）由图象可知， 当时，或． （3）把时代入中， 得， 点坐标为， ， ．
【母题来源】（2024 广东）
【母题再现】 【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线y＝ax（a＞0）上第一象限内的两个动点（OD＞OB），以线段BD为对角线作矩形ABCD，AD∥x轴．反比例函数y＝的图象经过点A． 【构建联系】 （1）求证：函数y＝的图象必经过点C． （2）如图2，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为（1，2）时，求k的值． 【深入探究】 （3）如图3，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接AC交BD于点P．以点O为圆心，AC长为半径作⊙O．若OP＝3，当⊙O与△ABC的边有交点时，求k的取值范围． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）k的取值范围为6≤k≤8． 【分析】（1）设B（m，ma），则，求出点，代入函数解析式中，得出函数的图象必经过点C； （2）证明△DHE∽△EFB，根据对应边成比例求出k的值； （3）根据⊙O过点A和过点B，求出临界值，从而求出k的取值范围． 【解答】解：（1）设B（m，ma），则， ∵AD∥x轴， ∴D点的纵坐标为， 将代入y＝ax中，得：， ∴， ∴， ∴， 将代入中得出，y＝am， ∴函数的图象必经过点C； （2）∵点B（1，2）在直线y＝ax上， ∴a＝2， ∴y＝2x， ∴A点的横坐标为1，C点的纵坐标为2， ∵函数的图象经过点A，C， ∴，A（1，k）， ∴， ∴DC＝k﹣2， ∵把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E， ∴，∠BED＝∠BCD＝90°， ∴， 如图，过点D作DH⊥y轴，过点B作BF⊥y轴， ∵AD∥x轴， ∴H，A，D三点共线， ∴∠HED+∠BEF＝90°，∠BEF+∠EBF＝90°， ∴∠HED＝∠EBF， ∵∠DHE＝∠EFB＝90°， ∴△DHE∽△EFB， ∴， ∵BF＝1，， ∴HE＝2，， ∴， 由图知，HF＝DC， ∴， ∴； （3）∵把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E，当点E，A重合， ∴AC⊥BD， ∵四边形ABCD为矩形， ∴四边形ABCD为正方形，∠ABP＝∠DBC＝45°， ∴，，BP⊥AC， ∵BC∥x轴， ∴直线y＝a为一，三象限的夹角平分线， ∴y＝x， 当⊙O过点B时，如图所示，过点D作DH∥x轴交y轴于点H， ∵AD∥x轴， ∴H，A，D三点共线， ∵以点O为圆心，AC长为半径作⊙O，， ∴， ∴， ∴，，， ∵AB∥y轴， ∴△DHO∽△DAB， ∴， ∴， ∴HO＝HD＝4， ∴HA＝HD﹣DA＝4﹣2＝2， ∴A（2，4）， ∴k＝2×4＝8， 当⊙O过点A时，根据A，C关于直线OD对称知，⊙O必过点C，如图所示，连AO，CO，过点D作DH∥x轴交y轴于点H， ∵AO＝OC＝AC， ∴△AOC为等边三角形， ∵OP⊥AC， ∴， ∴，， ∴，， ∵AB∥y轴， ∴△DHO∽△DAB， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当⊙O与△ABC的边有交点时，k的取值范围为6≤k≤8．
【母题来源】（2024 广元）
【母题再现】 如图，已知反比例函数y1＝和一次函数y2＝mx+n的图象相交于点A（﹣3，a），B（a+，﹣2）两点，O为坐标原点，连接OA，OB． （1）求y1＝与y2＝mx+n的解析式； （2）当y1＞y2时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围； （3）求△AOB的面积． 【答案】（1）y1＝﹣，y2＝﹣； （2）﹣3＜x＜0或 ； （3）． 【分析】（1）先根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，求得a＝3，进一步利用待定系数法求得y1＝与y2＝mx+n的解析式； （2）根据图象即可求解； （3）利用S△AOB＝S△BOC+S△AOC即可求得． 【解答】解：（1）∵反比例函数y1＝和一次函数y2＝mx+n的图象相交于点A（﹣3，a），B（a+，﹣2）两点 ∴k＝， ∴a＝3， ∴点A（﹣3，3），B（ ， ∴k＝﹣3×3＝﹣9， ∴y1＝﹣， 把A（﹣3，3），B ，﹣2）代入y＝mx+n得 ， 解得， ∴y2＝﹣； （2）由图象可知，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为﹣3＜x＜0或 ； （3）若AB与y轴相交于点C， ∴C（0，1）， ∴S△AOB＝S△BOC+S△AOC ＝ ＝ ＝．
【母题来源】（2024 赤峰）
【母题再现】 在平面直角坐标系中，对于点，，给出如下定义：当点，，满足时，称点是点的等和点． （1）已知点，在，，中，是点等和点的有 ， ； （2）若点的等和点在直线上，求的值； （3）已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标． 【答案】（1），；（2）；（3）或． 【分析】（1）依据题意，根据等和点的意义逐个进行判断即可得解； （2）依据题意，设点的横坐标为，又点是点的等和点，从而可得点的纵坐标为，故点的坐标为，结合点在直线上，可得．进而可以得解； ． （3）依据题意得，，双曲线分布在第一、第三象限，再设直线与双曲线的交点分别为点、，由的取值范围是或，故的横坐标为4，的横坐标为，再把代入得，，求出可得反比例函数解析式，进而可设，点的横坐标为，又点是点的等和点，则点的纵坐标为，故，又点在直线上，可得，从而，求出后即可判断得解． 【解答】解：（1）由，得， ． 点是点的等和点． 由，得， ，， ． 不是点的等和点． 由，得， ． 点是点的等和点． 故答案为：，． （2）由题意，设点的横坐标为， 点是点的等和点， 点的纵坐标为． 点的坐标为． 又点在直线上， ． ． （3）由题意得，，双曲线分布在第一、第三象限． 设直线与双曲线的交点分别为点、， 如图，由的取值范围是或， 的横坐标为4，的横坐标为． 把代入得，， ． 把代入得，． ． 反比例函数的解析式为． 设，点的横坐标为， 点是点的等和点， 点的纵坐标为． ． 点在直线上， ． ． 或． 经检验，，是方程的解． 点的坐标为或．
【母题来源】（2024 湖北）
【母题再现】 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数为常数，的图象在第一象限的部分交于点． （1）求，，的值； （2）若是反比例函数的图象在第一象限部分上的点，且的面积小于的面积，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1），，；（2）． 【分析】（1）把点坐标代入求出，得到直线解析式，再把点坐标代入直线解析式求出，把点坐标代入反比例函数解析式求出值即可； （2）根据题意，列出不等式，解答即可． 【解答】解：（1）把点坐标代入得：， 解得， 直线解析式为， 把点坐标代入直线解析式得， 解得， 把点坐标代入反比例函数解析式得：， 解得， 反比例函数解析式为， （2）的面积小于的面积， ，即， 点在反比例函数图象上，且在第一象限， ， ．
【母题来源】（2024 苏州）
【母题再现】 如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点． （1）求，的值； （2）点为反比例函数图象上一动点（点在，之间运动，不与，重合），过点作，交轴于点，过点作轴，交于点，连接，求面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】（1），；（2）当时， 有最大值，此时． 【分析】（1）根据条件先求出点坐标，再利用待定系数法求出直线解析式，将坐标代入两个函数解析式得到的值； （2）先求出，再设点的坐标为，则，，，利用三角形面积列出函数，利用最值求出和面积最大值及点坐标即可． 【解答】解：（1），， ． 又， ． ， 点． 设直线的函数表达式为，将，代入得： ，解得， 直线的函数表达式为． 将点代入，得． ， 将代入反比例函数解析式得： ，解得． （2）延长交轴于点，交于点． ，， ， 轴， ，， ， ，， ， 设点的坐标为，则，，， ， 当时， 有最大值，此时．
1．（2024 开福区校级三模）若正比例函数与反比例函数的图象交于，则另一个交点坐标为
A． B． C． D．
2．（2024 容县一模）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点为顶点，分别作菱形和菱形，点，在轴上，以点为圆心，长为半径作，连接，图中阴影部分面积之和为
A． B． C． D．
3．（2024 长春一模）在温度不变的条件下，通过多次对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示．若压强由增压至，则气缸内气体体积的变化情况是
A．减小，减小了 B．增大，增大了
C．减小，减小了 D．增大，增大了
4．（2024 夏邑县二模）如图，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，点是轴上任意一点，连接，，则的面积为 ．
5．（2024 牙克石市二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，垂直于轴，以为对称轴作的轴对称图形，对称轴与线段相交于点，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，点，的对应点分别是点，．若点为的中点，且，则的值为 ．
6．（2024 阜阳二模）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为，交轴于点．若的面积为5，则 ．
7．（2024 潍城区二模）如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于，两点，点是轴上一动点，连接，．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若的面积为12，求点的坐标．
8．（2024 大冶市三模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点，分别交反比例函数与一次函数的图象于点，．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）当时，求线段的长．
（3）直接写出上的解集．
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1．【答案】
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
两函数的交点关于原点对称，
一个交点的坐标是，
另一个交点的坐标是．
故选：．
2．【答案】
【分析】将点代入反比例之中即可求出的值；连接交于，根据菱形性质得与互相垂直平分，则，，，，进而得，在中由勾股定理得，从而得为等边三角形，由此得，从而得，然后根据反比例函数比例系数的几何意义得，则，由此可得图形阴影部分面积之和．
【解答】解点在反比例的图象上，
；
连接交于点，设与交于点，如图所示：
四边形为菱形，
与互相垂直平分，，
点的纵坐标为，
，，
，，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
为等边三角形，
，
，
，
四边形为菱形，
和互相垂直平分，
根据反比例函数比例系数的几何意义得：，
，
图形阴影部分面积之和为：．
故选：．
3．【答案】
【分析】设这个反比例函数的解析式为，求得，代入和求得答案即可．
【解答】解：设这个反比例函数的解析式为，
时，，
，
，
当时，，
当时，，
，
气体体积压缩了，
故选：．
4．【答案】4．
【分析】根据反比例函数值的几何意义解答即可．
【解答】解：如图，连接，
过点作轴于点，
轴，
，
故答案为：4．
5．【答案】．
【分析】连接，对称轴与轴交于点，根据题意设，则，利用相似比求出，再根据线段比得到，据此推出值即可．
【解答】解：如图，连接，对称轴与轴交于点，
与关于对称，
，，，
点为的中点，设，则，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
丨丨，
反比例函数在第二象限，
．
故答案为：．
6．【答案】．
【分析】设点的坐标为，进而得到，，根据的面积为5，列出方程进行求解即可．
【解答】解：点在反比例函数上，
设点的坐标为，
轴，，
，，
，
的面积为5，
，
解得：
故答案为：．
7．【答案】（1）一次函数的表达式为：；（2）或．
【分析】（1）先求出点坐标，再根据待定系数法求出直线解析式即可；
（2）设点坐标为，则丨丨，根据，代入数据求出值即可得到点坐标．
【解答】解：（1），两点在反比例函数图象上，
，
，，
，，
，在一次函数的图象上，
．解得，
一次函数的表达式为：．
（2）由（1）可知：，，
由直线解析式可知，
设点坐标为，则丨丨，
，
，
整理得丨丨，
解得：，，
或．
8．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）由题意可知、的纵坐标为1，即可求得，，即可求解．
（3）根据反比例函数与一次函数的图象交于点，利用图象法求解即可．
【解答】解：（1）反比例函数与一次函数的图象交于点，
，，
，，
反比例函数为，一次函数为；
（2）轴于点，
轴，
，
、的纵坐标为1，
把代入，得，
把代入，得，
，，
．
（3）由图象可得的解集为：．
