专题11 不等式与不等式组
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命题意图 考查不等式的性质，考查用数轴表示不等式的解集，考查一次不等式（组）的解法，考查一次不等式的整数解，考查一次不等式（组）的的实际应用．考查阅读理解能力和运算求解能力． 考向分析 中考频度：★★★★☆ 难度系数：★☆☆☆☆ 考查用数轴表示不等式的解集，考查一次不等式（组）的解法；考查一次不等式（组）的应用． 答题技巧 1．要注意方程与不等式的区别：方程表示相等关系，不等式表示不等关系． 2．我们把能使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解．一个不等式的解可以有多个，它是指在某一范围内的数，用它代替不等式中的未知数，不等式成立． 3．不等式的解集在数轴上的表示 第一步，画数轴，注意“原点，正方向，单位长度”三者缺一不可； 第二步，确定“边界点”，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈； 第三步，定方向，大于或大于等于向右画，小于或小于等于向左画． 4．不等式的三个性质是不等式变形的重要依据．不等式的性质和等式的性质基本类似，其中性质3是不等式特有的性质，容易出错．当不等式两边同乘或除以一个负数时，不等号的方向要改变．反过来，若一个不等式在乘（或除以）一个数之后，不等号的方向改变了，则这个数是负数；若不等号的方向未改变，则这个数是正数．
知识盘点
1．不等式的概念
像3>2，2x<3这样用符号“<”或“>”表示大小关系的式子，叫做不等式．像a+2≠a-2这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
用不等号（“<”，“>”，“≥”，“≤”，“≠”）连接的式子，叫做不等式．
2．不等式的解及不等式的解集
（1）不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
（2）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．求不等式的解集的过程叫做解不等式．
（3）用数轴表示不等式的解集：不等式的解集表示的是未知数的取值范围，所以不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来．一般来说，一元一次不等式的解集用数轴表示有以下四种情况（设a<0）．
不等式的解集 数轴表示
x>a
x
x≤a
3．不等式的性质
不等式的性质1：不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．一元一次不等式的概念
含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
判定一元一次不等式的方法：
（1）看式子是不是由不等号连接而成；
（2）看化简（去括号、移项、合并同类项）后的不等式两边是否为整式（分母中是否含有未知数）；
（3）看是否只含有一个未知数；
（4）看未知数的次数是否为1．
一元一次不等式与一元一次方程的区别：一元一次不等式表示大小关系，由不等号连接；一元一次方程表示相等关系，由等号连接，等号没有方向．
5．一元一次不等式的解法
解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x>a（x≥a）或x
步骤 根据
去分母 不等式的性质2或3
去括号 去括号法则
移项 不等式的性质1
合并同类项 合并同类项法则
系数化为1 不等式的性质2或3
在去分母时不要漏乘不含分母的项，移项要变号，注意不等号方向是否改变．
6．列不等式解决实际问题
列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键词，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等的含义；
（4）列：根据题中的不等关系列出不等式；
（5）解：解出所列的不等式的解集；
（6）答：检验是否符合题意，写出答案．
7．一元一次不等式组的概念
类似于方程组，把几个具有相同未知数的一元一次不等式合起来，就组成一元一次不等式组．
8．一元一次不等式组的解集
一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
9．一元一次不等式组的解法
解一元一次不等式组的方法步骤：
第一步：分别求出不等式组中各个不等式的解集；
第二步：利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集．
用数轴表示不等式组的解集时，要时刻牢记：大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈．
10．一元一次不等式组的应用
列一元一次不等式组解应用题的步骤：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．
列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案．
【母题来源】（2024 包头）
【母题再现】 若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意列出不等式组进行计算求解即可． 【解答】解：由题意可得， 即， 解得：， 故选：．
【母题来源】（2024 浙江）
【母题再现】 不等式组的解集在数轴上表示为 A． B． C． D． 【答案】 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 故选：．
【母题来源】（2024 湖北）
【母题再现】 不等式的解集在数轴上表示正确的是 A． B． C． D． 【答案】 【分析】求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【解答】解：， ， 在数轴上表示为： ． 故选：．
【母题来源】（2024 苏州）
【母题再现】 若，则下列结论一定正确的是 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质逐项判定即可． 【解答】解：若，不等式两边加1可得，故不合题意，符合题意， 根据，得不到，，故、不符合题意． 故选：．
【母题来源】（2024 河南）
【母题再现】 下列不等式中，与组成的不等式组无解的是 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据不等式组的解集的确定方法逐项判断即可． 【解答】解：， ； 、，无解，故此选项符合题意； 、的解集是，故此选项不符合题意； 、的解集是，故此选项不符合题意； 、的解集是，故此选项不符合题意； 故选：．
【母题来源】（2024 陕西）
【母题再现】 不等式的解集是 A． B． C． D． 【答案】 【分析】去括号，然后移项、合并同类项，把的系数化为1，即可得到不等式的解集． 【解答】解：去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 故选：．
【母题来源】（2024 安徽）
【母题再现】 已知实数，满足，，则下列判断正确的是 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由得出，代入可得，再求，分别代入选项判断即可． 【解答】解：，， ， ，即 ，故选项错误，不合题意． ，， ，故选项错误，不合题意． 由得，，， 由得，，， ，故选项正确，符合题意． ，选项错误，不合题意． 故选：．
【母题来源】（2024 南充）
【母题再现】 若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】 【分析】求出第二个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到即可确定的范围． 【解答】解：解不等式，得：， 关于的不等式组的解集为， ， ． 故选：．
【母题来源】（2024 遂宁）
【母题再现】 不等式组的解集在数轴上表示为 A． B． C． D． 【答案】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：由，得， 所以不等式组的解集在数轴上表示为： ． 故选：．
【母题来源】（2024 吉林）
【母题再现】 不等式组的解集是 ． 【分析】首先分别求得与的解集，继而求得不等式组的解集． 【解答】解：， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集是：． 故答案为：．
【母题来源】（2024 黑龙江）
【母题再现】 关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解个数可得答案． 【解答】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组恰有3个整数解， ， 即． 故答案为：．
【母题来源】（2024 武汉）
【母题再现】 求不等式组的整数解． 【答案】、0、1． 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的的整数解即可． 【解答】解：， 由①得，； 由②得，， 故此不等式组的解集为：， 故不等式组的整数解为、0、1．
【母题来源】（2024 黑龙江）
【母题再现】 为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元． （1）购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？ （2）若购买甲、乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？ （3）若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）购买一个甲种品牌毽子需要15元，一个乙种品牌毽子需要10元； （2）学校共有3种购买方案， 方案1：购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子； 方案2：购买62个甲种品牌毽子，7个乙种品牌毽子； 方案3：购买64个甲种品牌毽子，4个乙种品牌毽子； （3）在（2）的条件下，学校购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子时，商家获得利润最大，最大利润是340元． 【分析】（1）设购买一个甲种品牌毽子需要元，一个乙种品牌毽子需要元，根据“购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买个甲种品牌毽子，则购买个乙种品牌毽子，根据购买甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可得出各购买方案； （3）利用商家获得的总利润每个甲种品牌毽子的利润购进甲种品牌毽子的数量每个乙种品牌毽子的利润购进乙种品牌毽子的数量，可分别求出学校选择各方案商家可获得的总利润，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设购买一个甲种品牌毽子需要元，一个乙种品牌毽子需要元， 根据题意得：， 解得：． 答：购买一个甲种品牌毽子需要15元，一个乙种品牌毽子需要10元； （2）设购买个甲种品牌毽子，则购买个乙种品牌毽子， 根据题意得：， 解得：， 又，均为正整数， 可以为60，62，64， 学校共有3种购买方案， 方案1：购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子； 方案2：购买62个甲种品牌毽子，7个乙种品牌毽子； 方案3：购买64个甲种品牌毽子，4个乙种品牌毽子； （3）学校选择方案1商家可获得的总利润为（元； 学校选择方案2商家可获得的总利润为（元； 学校选择方案3商家可获得的总利润为（元． ， 在（2）的条件下，学校购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子时，商家获得利润最大，最大利润是340元．
【母题来源】（2024 北京）
【母题再现】 解不等式组：． 【答案】． 【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式组进行求解即可解决问题． 【解答】解：解不等式得， ， 解不等式得， ， 所以不等式组的解集为：．
【母题来源】（2024 贵州）
【母题再现】 为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生． 根据以上信息，解答下列问题： （1）种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ （2）种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？ 【答案】（1）种植1亩甲作物需要5名学生，种植1亩乙作物需要6名学生； （2）至少种植甲作物5亩． 【分析】（1）设种植1亩甲作物需要名学生，种植1亩乙作物需要名学生，根据“种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设种植甲作物亩，则种植乙作物亩，根据种植10亩甲、乙两种作物所需学生人数不超过55人，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设种植1亩甲作物需要名学生，种植1亩乙作物需要名学生， 根据题意得：， 解得：． 答：种植1亩甲作物需要5名学生，种植1亩乙作物需要6名学生； （2）设种植甲作物亩，则种植乙作物亩， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为5． 答：至少种植甲作物5亩．
1．（2024 庐阳区校级三模）不等式的正整数解有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024 浙江模拟）若，则下列不等关系一定成立的是
A． B． C． D．
3．（2024 南山区校级模拟）不等式组的解集在数轴上表示正确的是
A． B．
C． D．
4．（2024 绿园区校级模拟）若，则下列不等式一定成立的是
A． B． C． D．
5．（2024 渠县校级模拟）若关于的不等式组的整数解共有三个，则的取值范围是
A． B． C． D．
6．（2024 吉林二模）不等式组的最小整数解为 ．
7．（2024 江阳区校级一模）关于的不等式组有且只有3个整数解，则常数的取值范围是 ．
8．（2024 雁塔区校级四模）解不等式组：．
9．（2024 湖南模拟）2023年9月15日至17日，第二届湖南旅游发展大会在郴州市隆重举行，大会吉祥物“山侠”和“水仙”，以郴州的“山之侠气”“水之仙气”为灵感创作．
（1）某商店用3600元共购进“山侠”和“水仙”两种吉祥物公仔110个，用于购买“山侠”公仔与购买“水仙”公仔的总费用相同，且“山侠”公仔的单价是“水仙”公仔的1.2倍．求该商店购进的“山侠”和“水仙”公仔的单价分别是多少元？
（2）吉祥物很受欢迎，公仔很快就卖完了，该商店计划用不超过10200元的资金再次购进“山侠”和“水仙”两种吉祥物公仔共300个．已知两种公仔的进价不变，求“山侠”公仔最多能购进多少个．
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1．【答案】
【分析】首先按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解该不等式，然后确定正整数解，即可获得答案．
【解答】解：，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
所以，该不等式的正整数解为1，2，共计2个．
故选：．
2．【答案】
【分析】运用不等式的性质判定各选项即可．
【解答】解：，
、，故选项正确；
、，故选项错误；
、时，，故选项错误；
、时，，故选项错误．
故选：．
3．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
4．【答案】
【分析】根据不等式性质逐项判断即可．
【解答】解：，
，故错误，不符合题意；
当，时，满足，但，故错误，不符合题意；
，
，
，故正确，符合题意；
当时，，故错误，不符合题意；
故选：．
5．【答案】
【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，根据不等式组有三个整数解得出，再求出答案即可．
【解答】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是，
关于的不等式组的整数解共有三个（是3，4，，
，
，
，
即的取值范围是．
故选：．
6．【答案】．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
不等式组的最小整数解为，
故答案为：．
7．【答案】．
【分析】解两个不等式得出其解集，再根据不等式组整数解的情况列出关于的不等式，解之即可．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组只有3个整数解，
不等式组的整数解为、0、1，
则，
解得，
故答案为：．
8．【答案】．
【分析】先求出每个不等式的解集，根据不等式的解集找出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
该不等式组的解集为．
9．【答案】（1）该商店购进“山侠”公仔的单价是36元，“水仙”公仔的单价是30元；
（2）“山侠”公仔最多能购进200个．
【分析】（1）设该商店购进“水仙”公仔的单价是元，则购进“山侠”公仔的单价是元，利用数量总价单价，结合该商店共购进“山侠”和“水仙”两种吉祥物公仔110个，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即购进“水仙”公仔的单价），再将其代入中，即可求出购进“山侠”公仔的单价；
（2）设再次购进个“山侠”公仔，则购进个“水仙”公仔，利用总价单价数量，结合总价不超过10200，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设该商店购进“水仙”公仔的单价是元，则购进“山侠”公仔的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：该商店购进“山侠”公仔的单价是36元，“水仙”公仔的单价是30元；
（2）设再次购进个“山侠”公仔，则购进个“水仙”公仔，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为200．
答：“山侠”公仔最多能购进200个．
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