江西省上饶市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2．已知数列是等差数列，若，则( )
A.14 B.21 C.28 D.42
3．“”是“且”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4．设为R上的奇函数，且当时，，则( )
A.12 B. C.13 D.
5．函数的导数( )
A. B. C. D.
6．已知函数在R上为减函数，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
7．已知，，，则a，b，c的大小关系为( )
A. B. C. D.
8．意大利数学家斐波那契（1175年~1250年）以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为.设n是不等式的正整数解，则n的最小值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
二、多项选择题
9．已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是( )
A.函数在上单调递增 B.函数在上单调递减
C.函数在处取得极大值 D.函数有最大值
10．下列说法正确的是( )
A.设已知随机变量X，Y满足，，则
B.若，则
C.若，设，则
D.若事件A，B相互独立且，则
11．已知函数，则下列结论正确的是( )
A.的单调递增区间是
B.的值域为R
C.
D.若，，，则
三、填空题
12．某种产品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：
x 1 3 4 5 7
y 15 20 30 40 45
根据上表数据得到y关于x的经验回归方程，则a的值为________.
13．若是奇函数，则________.
14．数列中，，.设是函数（且）的极值点.若表示不超过x的最大整数，则________.
四、解答题
15．已知函数的图象在点处的切线方程为.
（1）求a，b；
（2）求的单调区间和极值.
16．求下列函数的最值.
（1）求函数的最小值.
（2）已知，求函数的最大值.
17．已知数列的前n项和为，，且
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和
18．二手车经销商小王对其所经营的型号二手汽车的使用年数与销售价格（单位：万元/辆）进行整理，得到如下数据：
使用年数x 2 3 4 5 6 7
售价y 20 12 8 6.4 4.4 3
3.00 2.48 2.08 1.86 1.48 1.10
下面是z关于x的折线图：
（1）由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z与x的关系，请用相关系数加以说明；
（2）求y关于x的回归方程并预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约为多少？（b、a小数点后保留两位有效数字）
（3）基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7118元，请根据（2）求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年？
参考数据：
，，，
，，
，，.
参考公式：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，.
，、为样本平均值.
19．函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数有两个极值点，，曲线上两点，连线斜率记为k，求证：；
（3）盒子中有编号为1~100的100个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取20个小球，记抽取的20个小球编号各不相同的概率为p，求证：.
参考答案
1．答案：C
解析：由得，解得，故，
又因为，所以，
故选：C.
2．答案：B
解析：因为数列是等差数列，所以，解得，
所以.
故选：B.
3．答案：A
解析：可令，，，则满足，但“且”不成立，所以“”不是“且”的充分条件；
根据不等式的性质：由且，可得：.所以“”是“且”的必要条件.
故选：A
4．答案：C
解析：因为为R上的奇函数，所以，，
所以.
故选：C
5．答案：A
解析：，则.
故选：A.
6．答案：D
解析：由题意可得：，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：D.
7．答案：C
解析：令，则，
令，有，令，有，
故函数在单调递增，在单调递减，
故，即，，
令，则，
令，有，令，有，
故函数在单调递增，在单调递减，
故，即，，
综上：.
故选：C
8．答案：C
解析：由，
得，
得，得，
得，，
所以，
令，则数列即为斐波那契数列，
，则，
因为函数，都是增函数，
所以函数是增函数，
故数列为递增数列且，
所以数列亦为递增数列，
由，得，，，
，，，
因为，，
所以使得成立的n的最小值为8.
故选：C.
9．答案：BC
解析：由题意可知：当时，（不恒为0）；
当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增.
可知：A错误；B正确；
且函数在处取得极大值，故C正确；
虽然确定的单调性，但没有的解析式，故无法确定的最值，故D错误；
故选：BC.
10．答案：ACD
解析：对于A中，由，所以，所以A正确；
对于B中，由，所以，所以B错误；
对于C中，由，所以，所以C正确；
对于D中，因为A，B相互独立，所以，
且，所以D正确.
故选：ACD.
11．答案：BD
解析：的定义域为，
在定义域上恒成立，
所以的单调递增区间为，，故A错误；
当x趋近于0时，趋于，
当x趋近于1，且在1的左侧时，趋于，
所以的值域为R，故B正确；
，
所以，
又，
所以，故C错误；
，
因为，所以，又，
所以，即，故D正确.
故选：BD.
12．答案：12
解析：，，可得样本中心点
过，可得，所以.
故答案为:12.
13．答案：
解析：因为是奇函数，
定义域关于原点对称，
由，可得，
所以且，
所以，解得，
所以函数的定义域为，
则，即，解得，
此时，
符合题意，
所以.
故答案为：.
14．答案：1011
解析：，又是的极值点，所以，即，
又，所以，即.
数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故.
故，
所以
.
故答案为：1011
15．答案：（1），；
（2）单调递增区间为，，单调递减区间为；极大值为，极小值为
解析：（1）定义域为，，
将点代入中，
，.
所以，解得
（2），
，
x 2
＋ 0 － 0 ＋
极大值 极小值
的单调递增区间为，，单调递减区间为；
的极大值为，极小值为.
16．答案：（1）3；
（2）
解析：（1），，而，
当且仅当，即当时，该函数取得最小值3；
（2），，则，
当且仅当时，即当时，该函数取得最大值.
17．答案：（1），；
（2），
解析：（1）当时，，得，
当时，，得，
数列是公比为3的等比数列，
，;
（2）由（1）得：，
又①
②
两式相减得：，
故，
，.
18．答案：（1）；
（2）万元；
（3）年.
解析：（1）由题意，计算，
，
且，，，
所以，
所以与的相关系数大约为，说明z与x的线性相关程度很高；
（2）利用最小二乘估计公式计算
，
所以，
所以z关于x的线性回归方程是，
又，所以y关于x的回归方程是.
令，解得，即预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约1.46万元；
（3）当时，，
所以，解得，因此预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过年.
19．答案：（1）答案见解析；
（2）证明见解析；
（3）证明见解析
解析：（1）定义域为，，
对于方程，，
当，即时，，，在上单增，
当，即或时，方程有两不等根，
，，而，，
所以当时，，在上恒成立，在上单增；
当时，，或时，，时，，
所以在和上单增，在上单减，
综上，当时，在上单增；
当时，在和上单增，
在上单减；
（2）
，
所以要证，即证，即证，
也即证（*）成立.
设，函数，由（1）知在上单增，且，所以时，，所以（*）成立，原不等式得证；
（3）由题可得，
因为，，…，，
所以，
又由（2）知，，
取，有，
即，即，
所以.
