2024年辽宁省抚顺市新抚区中考数学质检试卷（四）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.温度由上升后的温度为( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是( )
A. B.
C. D.
4.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最小整数值是( )
A. B. C. D.
5.不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
6.下列说法正确的是( )
A. 为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用扇形统计图最合适
B. “煮熟的鸭子飞了”是一个随机事件
C. 一组数据的中位数可能有两个
D. 从分别标有、、的三张卡片中一次抽取张，卡片上的两个数的乘积为负数的概率是
7.如图，在中，，分别以点和为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点若，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，正五边形边长为，以为圆心，为半径画圆，图中阴影部分的面积为( )
A.
B.
C.
D.
9.甲、乙两人沿同一直线同时同向出发去往地，运动过程中甲、乙两人离地的距离与出发时间的关系如图所示，则甲到达地时两人相距( )
A.
B.
C.
D.
10.已知等腰三角形的周长是，底边长是腰长的函数，则下列图象中，能正确反映与之间函数关系的图象是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.华为公司上市的手机搭载的是自主研发的首款制程技术的手机芯片，，将用科学记数法表示为______．
12.若在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
13.分解因式： ______．
14.如图，在平面直角坐标系中，的边平行于轴，过点作的垂线，交于点，且，反比例函数为常数，且，的图象经过点，若的面积为，则的值为______．
15.如图，点是等边边上一动点，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，连接并延长交与点，若，，则的长是______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算：；
解二元一次方程组：．
17.本小题分
某校组织七、八年级全体学生参加了国防知识竞赛百分制，并规定分及以上为优秀，分为良好，分为及格，分及以下为不及格该学校七、八两个年级各有学生人，现随机抽取了七、八年级各名学生的成绩进行了整理与分析，下面给出了部分信息．
抽取七年级名学生的成绩如下：
抽取七年级名学生成绩的频数分布直方图如图所示．
数据分成组：，，，，
抽取八年级名学生成绩的扇形统计图如图所示．
七年级、八年级各抽取的名学生成绩的平均数、中位数、方差如下表：
年级 平均数 中位数 方差
七年级
八年级
请根据以上信息，回答下列问题：
补全七年级名学生成绩的频数分布直方图，求出表中的值；
估计七、八两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生共有多少人；
若本次竞赛成绩达到分及以上的同学可以获得参加挑战赛的机会，请根据样本数据估计，七、八两个年级中哪个年级获得参加挑战赛的机会的学生人数更多？并说明理由．
18.本小题分
某大型超市用元购进一批苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又紧急调拨元资金购进该品种苹果，但这次的进价比试销时的进价每千克多了元，购进苹果的千克数是试销时的倍．
试销时该品种苹果的进价是每千克多少元？
若两批苹果按相同的标价销售，要使两批苹果全部售完后获利不低于元不考虑其他因素，且最后的千克苹果按折“折”即定价的优惠售出，那么每千克苹果的标价至少是多少元？
19.本小题分
小澎家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头如图，出水把手完全开启后，把手的仰角，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上，是竖直线，，洗手盆及水龙头的相关数据如图：单位．
求此时把手端点到的距离；
求的长精确到
参考数据：，，
20.本小题分
某文具店购进一批纪念册，每本进价为元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于元且不高于元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量本与每本纪念册的售价元之间满足一次函数关系；当销售单价为元时，销售量为本；当销售单价为元时，销售量为本．
求出与的函数关系式；
设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
21.本小题分
如图，将矩形沿对角线翻折，点的对应点为点，以矩形的顶点为圆心、为半径画圆，与相切于点，延长交于点，连接交于点．
求证：．
当，时，求的长．
22.本小题分
正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，连接．
如图，当，时，求的度数；
如图，连接，当点恰好落在上时，求证：；
拓展推升
如图，若把正方形改成菱形，，点是边上一点，连接，将沿直线折叠后，点落在点处，的延长线与边相交于点，，当，时，请求出的面积．
23.本小题分
如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴另一交点为．
求抛物线的解析式，并直接写出点的坐标；
如图，点为第四象限抛物线上一动点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；
若点，是抛物线图象上的两点，若，之间的图象包括点，的最高点与最低点纵坐标的差为，求的值．
答案解析
1.
【解析】解：根据题意知，升高后的温度为，
故选：．
2.
【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
3.
【解析】解：它的俯视图是同心圆．
故选：．
4.
【解析】解：根据题意得且，
解得且，
所以的最小整数值为．
故选：．
5.
【解析】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：．
6.
【解析】解：为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用折线统计图最合适，
故A选项不正确，不符合题意；
“煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件，
故B选项不正确，不符合题意；
一组数据的中位数不可能有两个，
故C选项不正确，不符合题意；
从分别标有、、的三张卡片中一次抽取张，列表如下：
共有种等可能的结果，其中卡片上的两个数的乘积为负数的结果有：，，，，共种，
卡片上的两个数的乘积为负数的概率是，
故D选项正确，符合题意．
故选：．
7.
【解析】解：连接，如图，
，，
，
由作法得垂直平分，
，
，
，
在中，，
．
故选：．
8.
【解析】解：正五边形的外角和为，
每一个外角的度数为，
正五边形的每个内角为，
正五边形的边长为，
，
故选：．
9.
【解析】解：由图可知，乙的速度为，
甲的速度为：，
甲到达地的时间为：，
则甲到达地时两人相距：，
故选：．
10.
【解析】解：由题意得，，
所以，，
由三角形的三边关系得，，
解不等式得，，
解不等式的，，
所以，不等式组的解集是，
正确反映与之间函数关系的图象是选项图象．
故选：．
11.
【解析】解：．
故答案为：．
12.且
【解析】解：且，
且，
故答案为且．
13.
【解析】解：原式
．
故答案为：．
14.
【解析】解：如图，延长交轴于点，
，的面积为，
，
轴，，
∽，
，
，
，
丨丨，
反比例函数图象在第二象限，
．
故答案为：．
15.或
【解析】解：是等边三角形，
，．
由旋转的性质得，，，
≌，
，．
，
∽，
，
如图，作于点，
，
，
，．
当点靠近点时，，
，
；
当点靠近点时，
，
，
．
故答案为：或．
16.解：
；
，
得：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
原方程组的解为：．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
利用加减消元法进行计算，即可解答．
17.解：七年级名学生成绩再范围的人数为：人，
补全七年级名学生成绩的频数分布直方图如下：
中位数是个数据由小到大排列第个数据：，第个数据：的平均数，
；
估计七年级此次竞赛成绩达到优秀的学生有人，
估计八年级此次竞赛成绩达到优秀的学生有人，
人，
估计七、八两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生共有人；
七年级获得参加挑战赛的机会的学生人数更多．
理由：七年级获得参加挑战赛的机会的学生人数为：人，
八年级中获得参加挑战赛的机会的学生人数为：人，
，
七年级获得参加挑战赛的机会的学生人数更多．
【解析】先求出七年级名学生成绩再范围的人数，再补全的频数分布直方图即可；根据中位数的确定方法即可求出的值；
用样本估计总体的思想即可估计七、八两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生共有多少人；
分别求出七、八两个年级本次竞赛成绩达到分及以上的同学人数，再比较即可作出判断，并说明理由即可．
18.解：设试销时该品种苹果的进价是每千克元，则第二批该品种苹果的进价是每千克元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
答：试销时该品种苹果的进价是每千克元；
试销时该品种苹果的千克数为千克，
则购进第二批该品种苹果的千克数是千克，
设每千克苹果的标价是元，
根据题意得：，
解得：，
答：每千克苹果的标价至少是元．
【解析】设试销时该品种苹果的进价是每千克元，则第二批该品种苹果的进价是每千克元，根据购进第二批苹果的千克数是试销时的倍．列出分式方程，解方程即可；
设每千克苹果的标价是元，根据两批苹果全部售完后获利不低于元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
19.解：点作，垂足为，并延长交于点，过点作，垂足为，
由题意得：
，，
在中，，，
，，
，，
答：把手端点到的距离为；
点作，垂足为，并延长交于点，过点作，垂足为，
由题意得：
，，，，
在中，，，
，，
，，，
，
，，
∽，
，
，
，
，
线段的长约为．
【解析】点作，垂足为，并延长交于点，过点作，垂足为，解直角三角形即可得到结论；
点作，垂足为，并延长交于点，过点作，垂足为，解直角三角形得到，根据相似三角形的判定和性质定理得到，于是得到结论．
20.解：设与的关系式为，
把与代入，
得：，
解得：，
与之间的函数关系式为；
由题意可得：
，
每本纪念册的售价不低于元且不高于元，
，
当时，最大，，
答：该纪念册销售单价定为元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是元．
【解析】利用待定系数法求解可得；
根据所获得总利润每本利润销售数量列出函数解析式，配方成顶点式可得答案．
21.证明：连接，则，
，
四边形是矩形，
，，
，
与相切于点，
，
，
，
．
解：，，，
，
，
，
，，
，
由折叠得，
，
，，
，
，
的长是．
【解析】连接，则，由矩形的性质得，则，由切线的性质得，则，所以，则；
由，，，得，则，所以，所以，由折叠得，求得，则，，所以，即可根据弧长公式求得．
22.解：，
，
，，
由翻折可知，
，
，
，
．
证明：，，，
≌，
，
由翻折可知，，，
，
，
四边形为正方形，
，
，
，，
，
又，
∽，
：：，
．
解：过作，交延长线于点，如图，
，
，
在中，，
，
，
在中，由勾股定理得，
即，
由翻折知，，
又，
∽，
，
，
即，
，
，
．
【解析】根据题意及折叠的性质得到，根据平行线的性质得到，即可解答；
根据题意证明≌，根据折叠的性质及正方形的性质得到，进而证得∽，列出比例式即可得证；
过作，交延长线于点，根据勾股定理及折叠的性质证明∽，列出比例式代入数值求解，即可解答．
23.解：直线与轴交于点，与轴交于点，
，，
抛物线经过，两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为，
当时，，
解得：，，
点的坐标为；
如图，过点作轴交于，过点作轴交于，
则，
，
设，则，
，
轴，轴，
，
∽，
，
，
当时，的最大值为；
，
该函数图象的对称轴是直线，顶点坐标为，
当时，，则，
点，之间的图象的最高点是点，最低点是点，
，
解得：， 舍去；
当时，，则，
点，之间的图象的最高点是点，最低点是顶点，
，
解得：；
当时，，则，
点，之间的图象的最高点是点，最低点是顶点，
，
解得：不符合题意，舍去；
当时，，
点，之间的图象的最高点是点，最低点是点，
，
解得：舍去，；
综上所述，的值是或．
【解析】先求出，，再运用待定系数法即可求得抛物线解析式，令，解方程即可求得点的坐标；
过点作轴交于，过点作轴交于，则，设，则，可得，由，得∽，可得，运用二次函数的性质即可求得答案；
当时，点，之间的图象的最高点是点，最低点是点，可得，当时，点，之间的图象的最高点是点，最低点是顶点，可得，当时，点，之间的图象的最高点是点，最低点是顶点，可得，当时，点，之间的图象的最高点是点，最低点是点，可得，分别解方程并检验可得答案．
第1页，共1页
