2023-2024学年天津市和平区耀华中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，，，则集合的真子集个数为( )
A. B. C. D.
2.若“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
3.函数的图象如图所示，则的解析式可能为( )
A. B.
C. D.
4.设，则( )
A. B. C. D.
5.某公司生产的某型号无人机近年的年销售量数据统计如表所示．
年份
年份代码
年销售量万件
根据表中的数据，用最小二乘法求得关于的经验回归方程为，则预测年该型号无人机的年销售量为( )
A. 万件 B. 万件 C. 万件 D. 万件
6.在的展开式中，含的项的系数是( )
A. B. C. D.
7.“厉行节约，反对浪费”蔚然成风，某市通过随机询问名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：
做不到“光盘” 能做到“光盘”
男
女
则下面的正确结论是( )
参考公式数据：
A. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“该市居民能否做到光盘与性别有关”
B. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“该市居民能否做到光盘与性别无关”
C. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“该市居民能否做到光盘与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“该市居民能否做到光盘与性别无关”
8.若在上恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
9.已知函数，函数为奇函数，则函数的零点个数为( )
A. B. C. D.
10.设，，，，若，的最大值为( )
A. B. C. D.
11.如图，用四种不同颜色给图中的，，，，，六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用( )
A. 种
B. 种
C. 种
D. 种
12.已知函数为常数，为自然对数的底数的图象在点处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数的取值范围是( )
A.
B. 或
C.
D. 或
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.已知，，且，则的最小值为 ．
14.已知随机变量服从正态分布，且，则 ______．
15.若的展开式中的系数是，则实数 ．
16.已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知关于的不等式：．
当时，解该不等式；
当为任意实数时，解该不等式．
18.本小题分
某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响．
Ⅰ假设这名射手射击次，求恰有次击中目标的概率
Ⅱ假设这名射手射击次，求有次连续击中目标，另外次未击中目标的概率；
Ⅲ假设这名射手射击次，每次射击，击中目标得分，未击中目标得分，在次射击中，若有次连续击中，而另外次未击中，则额外加分；若次全击中，则额外加分，记为射手射击次后的总的分数，求的分布列．
19.本小题分
已知函数为自然对数的底数．
Ⅰ若函数在点处的切线的斜率为，求实数的值．
Ⅱ当时，讨论函数的单调性；
Ⅲ若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．
答案解析
1.
【解析】解：因为集合，，，．
故B的真子集个数为个．
故选：．
2.
【解析】解：若“，使得成立”是假命题，
即“，使得能成立”是假命题，
即等价于“，使得恒成立”是真命题，
令，，
，当且仅当时取得最小值，
，
故实数的取值范围为
故选A．
3.
【解析】解：根据题意，由函数的图象，的定义域为，的图象关于原点对称，
且，当时，，
依次分析选项：
对于，，其定义域为，有，则为偶函数，其图象关于轴对称，不符合题意；
对于，，有，不符合题意；
对于，，其定义域为，有，为奇函数，其图象关于原点对称，
且，符合题意；
对于，，当时，，不符合题意．
故选：．
4.
【解析】解：，，
，，
即，，，
．
故选：．
5.
【解析】解：，，
又因为直线过点，
故，
解得，
则预测年该型号无人机的年销售量为万件．
故选：．
6.
【解析】解：的展开式中，含的项的系数
．
故选D．
7.
【解析】解：由题意可知，，
，
在犯错误的概率不超过的前提下，认为“该市居民能否做到光盘与性别有关”．
故选：．
8.
【解析】解：在上恒成立，
，
令，
则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
当时，取得极小值，也是最小值．
．
故选：．
9.
【解析】解：，
，
函数为奇函数，
，
解得，，；
故，
，
故在上是增函数，在上是减函数，
在上是增函数；
且，
，
函数的零点个数为，
故选B．
10.
【解析】解：，
，，
，
当且仅当时取等号．
故选：．
11.
【解析】解：图中每条线段的两个端点涂不同颜色，
可以根据所涂得颜色的种类来分类，
，，，用四种颜色，则有种涂色方法；
，，，用三种颜色，则有种涂色方法；
，，，用两种颜色，则有种涂色方法；
根据分类计数原理知共有种不同的涂色方法．
由题意知图中每条线段的两个端点涂不同颜色，可以根据所涂得颜色的种类来分类，当，，，用四种颜色，，，，用三种颜色，，，，用两种颜色，分别写出涂色的方法，根据分类计数原理得到结果．
12.
【解析】解：当，，则，
则在处的切线方程为，即
当时，切线和函数有且只有一个交点，
要使切线与该函数的图象恰好有三个公共点，
则当时，函数与有两个不同的交点，
即，在时，有两个不同的根，
设，
则满足，即，
解得或，
即实数的取值范围是或．
故选：．
13.
【解析】解：，，且，
则，
当且仅当时取等号，解得，结合，
，为方程的两根，
，或， 取等号，
的最小值为，
故答案为．
14.
【解析】解：，且，
，
．
故答案为：．
15.
【解析】解：的展开式的通项公式
，
令，解得．
的展开式中的系数是，
，得．
故答案为．
16.
【解析】解：令，
得
作出与的图象，
要使函数有个零点，
则与的图象有个不同的交点，
所以，
故答案为：．
17.解：根据题意，当时，不等式为，
变形可得，即，
解可得：，即不等式的解集为，
，即，变形可得，
当时，不等式为，即，其解集为，
当时，不等式变形可得，不等式的解集为，
当时，不等式变形可得，且，不等式的解集为，
当时，不等式为，不等式的解集为，
当时，不等式变形可得，且，不等式的解集为，
综上可得：当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为．
【解析】根据题意，当时，原不等式变形可得，解可得答案，
根据题意，原不等式变形可得，按的取值范围分种情况讨论，求出不等式的解集，综合即可得答案．
18.解：Ⅰ每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响
设为射手在次射击中击中目标的次数，则．
在次射击中，恰有次击中目标的概率
Ⅱ设“第次射击击中目标”为事件；
“射手在次射击中，有次连续击中目标，另外次未击中目标”为事件，则
Ⅲ由题意可知，的所有可能取值为，，，，，
的分布列是
【解析】Ⅰ由题意知每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响，设为射手在次射击中击中目标的次数，则利用二项分布的概率公式得到结果，
Ⅱ有次连续击中目标，另外次未击中目标包括三种情况，即连续的三次射击在第一位，在第二位，在第三位，这三种情况是互斥的，根据独立重复试验和互斥事件的概率公式得到结果．
Ⅲ为射手射击次后的总的分数，由题意知的所有可能取值为，，，，，结合变量对应的事件，写出变量的概率，写出分布列．
19.解：，，
，解得．
，．
令，解得，．
时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
不等式，化为：，
令，．
关于的不等式在区间上恒成立．
，
时，，，函数在上单调递减，满足题意．
时，，令，解得，或．
函数在上单调递增，在上单调递减．时，；．
满足题意．
时，，令，解得，或．
当时，，，函数在上单调递减，满足题意．
当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
时，，不满足，舍去．
综上可得：实数的取值范围是．
【解析】
，，利用，解得．
，令，解得，对分类讨论即可得出函数的单调性．
不等式，化为：，令，关于的不等式在区间上恒成立，对分类讨论得出函数的单调性，进而得出结论．
第1页，共1页
