德州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1-2页，第Ⅱ卷2-4页，共150分，测试时间120分钟．
注意事项：
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上．
第Ⅰ卷 选择题（共58分）
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）
1．已知复数z满足（i为虚数单位），则z的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．1
3．已知l，m是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
4．已知，则（ ）
A． B．3 C． D．
5．一个盒子里装有除颜色外完全相同的5个小球，其中有编号分别为1，2，3的红球3个，编号分别为2，3的白球2个，从盒子中任取2个小球（假设取到任何一个小球的可能性相同）．则在取出的2个小球中，至少有一个白球且小球编号最小值为2的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，则（ ）
A．15° B．60° C．75° D．105°
7．已知4个数据的平均值为6，方差为3，现加入数据4和8，则这6个数据的方差为（ ）
A．3 B．5 C． D．
8．已知三棱柱中，底面是边长为1的等边三角形，侧棱长为2，一质点从A出发沿三棱柱的棱前进，若经过的第一条棱为，且第条棱与第n条棱异面，则该质点经过2024条棱后运动的总路程为（ ）
A．2696 B．2098 C．2699 D．2700
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．已知复数，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．若，则z为纯虚数 D．若，则z为纯虚数
10．某同学记录了连续5天的平均气温，已知这组数据均为整数，将该组数据从小到大排列，中位数为20，唯一众数为22，极差为5，则（ ）
A．该组数据中最小的数据可能为16 B．该组数据的平均数不大于20
C．该组数据的60%分位数是21 D．该组数据的第二个数字是18
11．棱长为2的正方体中，用一平面去截，则下列说法正确的是（ ）
A．当截面为三角形时，截面一定为锐角三角形
B．当截面是梯形时，截面不可能为直角梯形
C．若E为的中点，平面截正方体所得截面面积为
D．过棱，，的中点作正方体的截面，截面多边形的周长为
第Ⅱ卷 非选择题（共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．抛掷两个质地均匀的骰子，则“抛掷的两个骰子的点数之和是6”的概率为______．
13．某种零件是由如图所示的平面图形以为轴旋转一周而成，其中，，，，，则该零件的体积为______．
14．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为2，则该多面体外接球的表面积为______．
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分13分）
已知X，Y两组各有5位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
X组：10，11，12，13，14， Y组：12，13，15，14，a
假设所有病人的康复时间相互独立，从X，Y两组随机各选1人，X组选出的人记为甲，Y组选出的人记为乙．
（1）如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
（2）如果，事件M：“甲康复时间为11天”，事件N：“甲乙康复时间之和为25天”，事件M，N是否相互独立？
16．（本小题满分15分）
已知在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，，，若，，点M为的中点，点N为的四等分点（靠近点P）．
（1）求证：平面平面；
（2）求点P到平面的距离．
17．（本小题满分15分）
某新能源汽车电池代工厂生产甲、乙两种型号的电池，为了解电池的某项指标，从这两种电池中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：
假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）估计乙型电池该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并估计甲型电池这一指标的75%分位数；
（2）现分别采用分层抽样的方式，从甲型电池指标在内取2件，乙型电池指标在内取4件，再从这6件中任取2件，求指标在和内各1件的概率．
18．（本小题满分17分）
如图，平面四边形中，，，，锐角的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足，，．
（1）求外接圆的半径R；
（2）求内切圆半径r的取值范围．
19．（本小题满分17分）
已知正的边长为，是边上的高，E，F分别是和边的中点．
（1）若将沿翻折成直二面角，如图所示．若棱锥的体积为，求a的值；
（2）若将沿翻折成二面角的平面角为60°，求与平面所成的角的正切值；
（3）设将沿翻折成二面角的平面角为（为锐角），与平面所成的角为，用表示．
高一数学试题参考答案
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）
1．D 2．B 3．B 4．A 5．C 6．C 7．D 8．C
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．ABD 10．BC 11．ABD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12． 13． 14．
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（1）如果，从X，Y两组随机各选1人，样本空间
，共有25种，
甲的康复时间比乙的康复时间长的情况有，共8种
所以概率为；
（2）当时，，
事件N的情况有，共4种
所以
事件MN：“甲康复时间为11天且甲乙康复时间之和为25天”的情况为．
故．
所以事件M，N不相互独立．
16．解：（1）在四棱锥中，平面，平面，
则，又，
而，，平面，于是平面，
又平面，则，
由，点M为中点，得，
而，，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面
（2）由（1）知平面，又平面，则，且
所以，，，
因为，，所以
所以由余弦定理得，所以，从而，
因为平面，所以
设点P到平面的距离为h，
所以三棱锥的体积．
所以．
17．解：（1）由频率分布直方图得乙型电池该项指标的平均值为：
．
设甲型电池的所有指标的75%分位数为a，
由于前四个矩形面积，
前五个矩形面积，
故，
解得，
即甲型电池的所有指标的75%分位数约为88．
（2）根据分层抽样得，来自甲型电池指标在和的各1件，分别记为A和B，来自乙型电池指标在和分别为3件和1件，分别记为，，和D，
从中任取两件，样本空间可记为
共包含15个样本点，
记事件E：指标在和各1件，则共包含3个样本点，
所以．
所以指标在和各1件的概率为．
18．解：（1）在中，因为，
所以
由，得，
于是，而，
因此，，
在中，，
解得，
在中，因为，，且
所以
由正弦定理整理得，
由余弦定理，得，又，因此，
于是外接圆的半径
（2）由（1）知：，则，即有
由，
得，
在中，由正弦定理，
所以，，
则
又因为为锐角三角形，所以，得，
所以
所以，
所以．
从而．
19．解：（1）因为，，将沿翻折成直二面角，
所以，平面，取中点M，则，
所以平面，且，
因为棱锥的体积为，
所以，解得．
（2）取中点，连接，取中点，连、连
由面
所以为二面角的平面角，即
所以为等边三角形
所以．
又因为
所以面
又因为
所以，
过作于
在中，
．
又因为面
所以为与面所成的角，
所以．
（3）过A作于，取中点，连、，
由（2）知为二面角的平面角，且．
在中，，，
由得，且面，
即为与面的夹角，
取中点，连，则．
所以，．
在中，，
所以，
所以．
