★启用前注意保密
大湾区2023—2024学年第二学期期末联合考试
高二数学
本卷共6页，19小题，满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.等差数列中，，，则的公差（ ）
A.3 B.2 C.-2 D.-3
2.已知随机变量的分布列如下表：
1 2 3
则（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3.在实际中，许多现象都服从正态分布.若，记，，，经统计，某零件的尺寸大小X（单位：dm）服从正态分布，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知一组数据中y关于x的一元非线性回归方程为，已知，，，则（ ）
A.-1 B.1 C. D.
5.画条直线，将圆的内部区域最多分割成（ ）
A.部分 B.部分
C.部分 D.部分
6.若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.某校为研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用2×2列联表进行独立性检验.整理所得数据后发现，若依据的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动无关；若依据的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动有关，则的值可能为（ ）
附表：
0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
8.已知函数，为实数，的导函数为，在同一直角坐标系中，与的大致图象不可能是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列函数中，存在极值点的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知数列，其前项和记为，则（ ）
A.若是等差数列，且，则
B.若是等差数列，且，则
C.若是等比数列，且，其中为常数，则
D.若是等比数列，则也是等比数列
11.设A，B是两个随机事件，且，，，则（ ）
A.、相互独立 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.当时，函数的最小值为_______.
13.将5名志愿者全部分配到4个社区协助开展活动，每名志愿者只能到1个社区，每个社区至少1名，则不同的分配方法数为_______.
14.“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示，去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，则此数列的前46项和为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
16.（15分）
小家电指除大功率、大体积家用电器（如冰箱、洗衣机、空调等）以外的家用电器，运用场景广泛，近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，下表为连续5年中国智能小家电市场规模（单位；千亿元），其中年份对应的代码依次为1~5.
年份代码 1 2 3 4 5
市场规模 0.9 1.2 1.5 1.4 1.6
（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明：
（2）建立关于的经验回归方程（系数精确到0.01）.
参考数据：，，，；
参考公式：相关系数，若，则可判断与线性相关性较强，若，则可判断y与x线性相关性一般.
回归方程：中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，.
17.（15分）
某同学在研究二项式定理的时候发现：
，其中为的系数，它具有很多性质，如：
①；②；③；
请借助该同学的研究成果解决下列问题：
（1）计算：；（请用数字作答）
（2）若，且，证明：；
（3）设数列是公差不为0的等差数列，证明：对任意的，函数是关于的一次函数.
18.（17分）
为改善人口结构，我国自2021年5月31日起实施三胎政策.政策实施以来，某市的人口出生率得到了一定程度的提高，某机构对该市家庭生育情况进行抽查，抽取到第2个三胎家庭就停止抽取，记抽取的家庭数为随机变量，且该市随机抽取一户是三胎家庭的概率为，已知各家庭抽查结果相互独立.
（1）求；
（2）若抽取的家庭数X不超过n的概率不小于，求整数n的最小值.
19.（17分）
已知函数，.
（1）求曲线与的公切线的条数；
（2）若，，，求的取值范围.
